CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
1. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b
, trong đó a, b là những số thực và số
thoả
= –1. Kí hiệu là z = a + b
với a là phần thực, b là phần ảo,
là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
= {a + b
/ a, b(
và
= –1}. Ta có
(
.
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.
= a(
(

Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b
= b
. Đặc biệt
= 0 + 1.

Số 0 = 0 + 0.
vừa là số thực vừa là số ảo.
Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + b
và z’ = a’ + b’
.
Ta có z = z( (

VD: Tìm các số thực x, y biết:
(2x – 3) – (3y+1)
= (2y + 1) + (3x – 7)
(1) (1) (

Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + b
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
= 1 + 4
,
= –3 + 0.
,
= 0 –2
,
= 4 –

Môđun của số phức:
Số phức z = a + b
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu

VD: z = 3 – 4
có
= 5
Chú ý:

Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b
, số phức liên hợp của z là
.

,
* Chú ý

Z là số thực


Z là số ảo


* Môđun số phức z=a+b.i là:

*Chú ý:

(

C
Hai điểm biểu diễn z và
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b
là –z = –a – b

Cho
và
. Ta có

Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
Phép nhân số phức:
Cho hai số phức
và
. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
= –1 và rút gọn, ta được:

k.z = k(a + b
) = ka + kb
. Đặc biệt 0.z = 0 (z(

z.
= (a + b
)(a – b
) hay

VD: Phân tích
+ 4 thành nhân tử.
+ 4 =
–
= (z – 2
)(z + 2
).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức
( 0 là
hay

Cho hai số phức
( 0 và
thì
hay

VD: Tìm z thoả (1 + 2
)z = 3z –
. Ta có (3 – 1 – 2
)z =
( z =
(

Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k( N


VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =

Phần thực a =
, phần ảo b =

X. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
thoả
= w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a(

a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
và –

a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
và –

Cho w là số phức: w = a + b
(a, b(
, b ( 0)
z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi

Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
.