GV: NGUYỄN QUỐC BẢO
Zalo: 039.373.2038
Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com
Website: Tailieumontoan.com
Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs

CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN
VỀ SỐ CHÍNH
PHƯƠNG

Chuyên đê
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
LƯU HÀNH NỘI BỘ

NGUYỄN QUỐC BẢO

BÍ QUYẾT GIẢI TOÁN
CÁC DẠNG TOÁN
VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9
● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán
● Phân dạng và phương pháp giải rõ ràng

LƯU HÀNH NỘI BỘ

3

Website:tailieumontoan.com

Lêi giíi thiÖu
Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến !
Cuốn sách Chuyên đề số chính phương được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em
học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này.
Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành
một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ
đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán
THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu
trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện giúp các em học sinh
nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học.
Mỗi chủ đề có ba phần:
A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung
cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.
B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ
năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi.
Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp
giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải
toán, học toán.
C. Bài tập vận dụng:
Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng
toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học
sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải.
Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng
cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi
những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

4

Website:tailieumontoan.com

chuyªn ®Ò båi d­ìng

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Định nghĩa số chính phương.
Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.
(tức là nếu n là số chính phương thì:
=
n k 2 (k ∈ Z ) )
2. Một số tính chất cần nhớ
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận
cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số
mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính
phương nào có dạng 3n + 2 ( n ∈ N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.
8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.
10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì
số đó là số chính phương.
11. Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n ∈ Z) thì k không là số chính phương.

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

Website:tailieumontoan.com
12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi
số a, b cũng là các số chính phương.
13. Nếu a là một số chính phương, a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p 2 .
14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng
a  mp 2 ; b  mq 2

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính
phương.
* Cơ sở phương pháp:
Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa,
tức là chứng minh=
: n k 2 (k ∈ Z )
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: A  n n  1n  2n  3  1 là số
chính phương.

Hướng dẫn giải
Ta có: A  n 2  3nn 2  3n  2  1  n 2  3n  2 n 2  3n  1  n 2  3n  1
2

2

Vì n   nên n 2  3n  1   . Vậy A là số chính phương.
Bài toán 2. Cho: B  1.2.3  2.3.4  ...  k k  1k  2 với k là số tự nhiên. Chứng minh
rằng 4B + 1 là số chính phương.

Hướng dẫn giải
Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn
biểu thức B trước.
Ta có:
n n  1n  2 

1
1
n n  1n  2 n  3  n  1   n n  1n  2n  3  n  1 n n  1n  2
4
4

Áp dụng:
1
1.2.3  1.2.3.4  0.1.2.3
4

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

6

Website:tailieumontoan.com

1
2.3.4  2.3.4.5  1.2.3.4
4
1
3.4.5  3.4.5.6  2.3.4.5
4
............................................
1
k k  1k  2   k k  1k  2k  3  k  1 k k  1k  2
4
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

B  1.2.3  2.3.4  ...  k k  1k  2 

1
k k  1k  2k  3
4

 4 B  1  k k  1k  2k  3  1
Theo ví dụ 1 ta có: 4 B  1  k 2  3k  1

2

Vì k   nên k 2  3k  1   . Vậy 4 B  1 là số chính phương.
Bài toán 3. Chứng minh rằng: C  11...1
  1 với n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
  44...4
2n

n

C là số chính phương.

Hướng dẫn giải
Ta có: C  11...100...0
 1
   11...1
  44...4
n

n

n

n

n
Đặt a = 11...1
 + 1= 10 = 9a + 1
 thì 9a = 99...9
 . Do đó 99...9
n

n

n

C  a.10n  a  4a  1  a 9a  1  5a  1
2

 C  9a 2  6a  1  3a  1
2
 C  33...3
4 .
n1

Vậy C là một số chính phương.
Nhận xét:
Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương ta nên
n
đặt 11...1
 + 1= 10 = 9a + 1 .
 = a và như vậy 99...9
n

n

Bài toán 4. Cho a = 11...1
 , b = 10...05
 . Chứng minh
2016

ab + 1 là số tự nhiên.

2015

Hướng dẫn giải
Cách 1:
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

7

Website:tailieumontoan.com
Ta có: b = 10...05
 = 10...0
 − 1 + 6 = 9...9
 + 6 = 9a + 6 .
2015

2016

2016

⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
⇒

Vậy

ab + 1 = (3a + 1) 2 = 3a + 1 ∈ N .

ab + 1 là số tự nhiên.

Cách 2:

102016 − 1
=
, b 102016 + 5 .
9

=
a 11...1
=
Ta có:

2016

102016 − 1
=
⇒ ab + 1
. (=
102016 + 5 ) + 1
9
⇒

(10
ab + 1 =

2016

+ 2)

Vậy

2016 2

+ 4.102016 − 5 + 9
9

2

 102016 + 2 
=
 .
3



.

3

Mà (102016 + 2 ) 3 . Do đó,

(10 )

ab + 1 là số tự nhiên.

ab + 1 là số tự nhiên.

Bài toán 5. Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. Chứng minh
a - b là một số chính phương.

Hướng dẫn giải
Cách 1:

1060 − 1
1030 − 1
=
a 11...1
=
=
= 2.
Ta có:
, b 22...2
.


9
9
30
60
2

2

1060 − 1 2(1030 − 1) 1060 − 2.1030 + 1 1030 − 1  

⇒ a=
−b
−
=
= =
33...3
 .


9
9
9
 3   30 
Cách 2:
30
, a 11...1
+ 11...1
=
b 22...2
= 2.11...1
= 11...1.00...0
+ 11...1

.

=

 =
 11...1.10
30

30

60

30

30

30

30

30

Đặt c = 11...1
+ 1 99...9
+ 1 1030 .
=
 . ⇒ 9c =
30

30

Khi đó: a= c. ( 9c + 1) + c= 9c 2 + 2c . b = 2c .

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

8

Website:tailieumontoan.com
2



2
( 3c ) =  33...3
 .
 30 
Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên
b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng a − b là một số chính phương.
⇒ a − b= 9c 2 + 2c − 2c=

n2 − 1
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng
3
n là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Bài toán 6. Cho n ∈  sao cho

Hướng dẫn giải
Giả sử ta có:

n2 − 1
= a ( a + 1) .
3

Từ đó có n 2 = 3a 2 + 3a + 1 ⇒ 4n 2 −=
1 12a 2 + 12a + 3
⇒ ( 2n − 1)( 2n + 1=
) 3 ( 2a + 1) .
2

Vì 2n + 1; 2n − 1 là hai số lẻ liên tiếp nên ta có các trường hợp:
2n − 1 =
3 p2
.
Trường hợp 1: 
2
2n + 1 =q

Khi đó =
q 2 3 p 2 + 2 ( Vô lí ). Vậy trường hợp này không xảy ra.
2n − 1 =p 2
Trường hợp 2: 
.
3q 2
2n + 1 =

Từ đó p là số lẻ nên =
p 2k + 1 .
Từ đó 2n = ( 2k + 1) + 1 ⇒ n = k 2 + ( k + 1) (đpcm).
2

2

Bài toán 7. Cho k là một số nguyên dương và a  3k 2  3k  1
a) Chứng minh rằng 2a và a 2 là tổng của ba số chính phương.
b) Chứng minh rằng nếu a là một ước của một số nguyên duong b và b là một tổng gồm
ba số chính phương thì b n là một tổng của bà số chính phương.

Hướng dẫn giải
2

2

a) Ta có 2a  6k 2  6k  2  2k  1  k  1  k 2
và a 2  9k 4  18k 3  15k 2  6k  1  k 2  k   2k 2  3k  1  2k 2  k   a12  a22  a32 .
2

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

2

2

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

9

Website:tailieumontoan.com
b) Vì b  a nên đặt b  ca .
Vì b là tổng của ba số chính phương nên đặt b  b12  b22  b32 .
Khi đó b 2  c 2 .a 2  c 2 a12  a22  a32 
Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành như sau: cho n  2 p  1 ta được:
b 2 p1  b p  b12  b22  b32  và cho n  2 p  2 ta được b n  b p  b 2 a12  a22  a32 
2

2

 Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương.
* Cơ sở phương pháp:
Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán ta có thể sử
dụng các cách sau:
1) Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.
2) Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k là số nguyên.
3) Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8
4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3
5) Chứng minh n có dạng 3k + 2
6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2.
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương
được không ? tại sao?

Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n
Ta có : 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k + 2 với k là số tự
nhiên. Mặt khác một số chính phương trình không có dạng 3k + 2 suy ra số tự nhiên n
không là số chính phương.
Bài toán 2. Chứng minh rằng số A  n 4  2n3  2n 2  2n  1 trong đó n ∈ N và n > 1
không phải là số chính phương.

Hướng dẫn giải
Ta có:

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

10

Website:tailieumontoan.com

A  n 4  2n3  2n 2  2n  1  n 4  2n3  n 2   n 2  2n  1
 n 2  n  n  1  n 2  n n  1
2

2

2

 A   n 2  n  n  1
2

Mặt khác:

n2  n  1

2

 n 4  2n3  2n 2  n 2  2n  1
 n 4  2n3  2n 2  2n  1  n 2  A  n 2  A n  1

 A  n 2  n  1

2

Do đó n 2  n  A  n 2  n  1
2

2

Ta có (n2 + n) và (n2 + n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính
phương.
Bài toán 3. Cho A =1 + 2 + 22 + 23 + ... + 233 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?

Hướng dẫn giải
Ta có A =1 + 2 + ( 22 + 23 + 24 + 25 ) + ... + ( 230 + 231 + 232 + 233 )
= 3 + 22. (1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 230. (1 + 2 + 22 + 23 )

= 3 + 2.30 + ... + 229.30 = 3 + ( 2 + ... + 229 ) .3.10 .

Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.
Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
Bài toán 4. Chứng minh rằng A = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n không phải là số chính
phương với mọi số nguyên dương n.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)

Hướng dẫn giải
Ta có:
20124 n  4; 20144 n  4 , ∀n ∈ N * .

( 2013

4n
2013
=
20134 n −=
1+1

4n

− 1) + 1 chia cho 4 dư 1.

4n
2015
=
20154 n − ( −1) + 1 chia cho 4 dư 1.
4n

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

11

Website:tailieumontoan.com
Do đó, A = 20124 n + 20134 n + 20144 n + 20154 n chia cho 4 dư 2.
Ta có: A 2 , nhưng A không chia hết cho 22 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A không
là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
Bài toán 5. Cho 2  n   , Chứng minh rằng A  n 6  n 4  2n3  2n 2 không thể là số chính
phương

Hướng dẫn giải
Ta có A  n 6  n 4  2n3  2n 2  n 2 n 4  n 2  2n  2
 n 2  n 2 n 2 1  2 n  1


 n 2  n 2 n 1n  1  2 n  1
 n 2 n  1 n 2  2n  2
2

2

Với 2  n   , ta có n 2  2n  2  n 2  2n  1  n  1

Và n 2  2n  2  n 2  2 n 1  n 2 . Do đó n 1  n 2  2n  2  n 2
2

Như vậy n 2  2n  2 không phải là số chính phương nên A không phải là số chính phương.
Bài toán 6. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số
chính phương.

Hướng dẫn giải
Giả sử: a  2m  1 , b  2n  1 , với m, n  
Ta có: a 2  b 2  2m  1  2n  1  4 m 2  m  n 2  n  2  4k  2 với k   .
2

2

Không có số chính phương nào có dạng 4k  2 vì vậy a 2  b 2 không phải số chính phương.
 Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương.
* Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.
- Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ.
- Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
- Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất.
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

12

Website:tailieumontoan.com
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Tìm số nguyên n sao cho n n  3 là số chính phương.

Hướng dẫn giải
Để A  n n  3 là số chính phương thì n n  3  k 2 với k là số tự nhiên, do
đó:
n 2  3n  k 2
 4n 2  12n  4k 2
 4n 2  12n  9  4k 2  9
2

2

 2n  3  2k   9
 2n  2k  32n  2k  3  9

Ta có 2n  2k  3  2n  2k  3
Và 9  9.1  3.3  1.9  3.3
2 n  2 k  3  9 
 nk 3
n 1


Trường hợp 1 : 


 A4




 2n  2k  3  1 
 n  k  1 
k  2



2 n  2 k  3  3 
n  k  0 
n  0

Trường hợp 2 : 


 A0












2
n
2
k
3
3
n
k
0
k
0







 2 n  2 k  3  1 
 n  k  2 
 n  4
Trường hợp 3 : 


 A4




 2 n  2 k  3  9 
 n  k  6 
 k2



 2 n  2 k  3  3 
 n  k  3 
 n  3

Trường hợp 4 : 


 A0




 2 n  2 k  3  3 
 n  k  3 
 k 0



Vậy khi n  4; 3;0;1 thì ta có A là số chính phương.
Bài toán 2. Tìm số nguyên n sao cho n + 1955 và n + 2014 là một số chính phương.

Hướng dẫn giải
a 2 ; n + 2014 =
b 2 với a, b ∈  và a < b.
Giả sử n + 1955 =
b−a 1 =
=
a 29
Khi đó b 2 − a 2 = 59 ⇔ ( b − a )( b + a ) = 59 ⇔ 
.
⇔
b + a 59 =
=
b 30
Dễ dàng suy ra n = −1114.

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

13

Website:tailieumontoan.com
Bài toán 3. Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương:
a) A  n2  n  2

b) B  n 5  n  2

Hướng dẫn giải
a) Với n = 1 thì A = n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương
Với n = 2 thì A = n2 – n + 2 = 4 là số chính phương
Với n > 2 thì A = n2 – n + 2 không là số chính phương vì
2

n 1 n 2  2n 1  n 2  n  2  n 2
Vậy n = 2 thì A là số chính phương.
b) Ta có: n5  n  n 2  1 n n 2  1
Với n = 5k thì n chia hết cho 5.
Với n  5k  1 thì n 2  1 chia hết cho 5
Với n  5k  2 thì n 2  1 chia hết cho 5
Do đó n5  n luôn chia hết cho 5
Nên n5  n  2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5  n  2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên
B  n5  n  2 không là số chính phương

Vậy không có giá trị nào của n thỏa để B là số chính phương.
Bài toán 4. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n + 1 , 2n + 1 , 5n + 1 đều là các
số chính phương.

Hướng dẫn giải
n 3k + 1 ( k ∈  ) thì n + 1 = 3k + 2 , không là số chính phương.
Nếu =
Nếu =
n 3k + 2 thì 2n + 1= 6k + 5 , cho cho 3 dư 2 nên không là số chính phương. Vậy n 3 .

2n + 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1. Suy ra 2n 8 ⇒ n  4 ⇒ n + 1 lẻ. Do n + 1 là
số chính phương lẻ nên n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n8 .
n chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau 3 và 8 nên n 24 . Với n = 24 thì n + 1= 25 = 52 ,

2n + 1= 49 = 7 2 , 5n + 1= 121= 112 .

Giá trị nhỏ nhất của n phải tìm là 24 .
Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

14

Website:tailieumontoan.com

Hướng dẫn giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0
do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài toán 6. Tìm số nguyên dương n sao cho A =( n + 3) ( 4n 2 + 14n + 7 ) là số một chính
phương.
(Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Thái Bình)

Hướng dẫn giải
Ta có: 4n 2 + 14n + 7 = ( n + 3)( 4n + 2 ) + 1 và n là số nguyên dương nên n + 3 và 4n 2 + 14n + 7 là
nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, để A là số chính phương thì 4n 2 + 14n + 7 và n + 3 phải là số
chính phương.
Do n ∈ Z + nên ta có ( 2n + 3) ≤ 4n 2 + 14n + 7 < ( 2n + 4 ) .
2

⇒ 4n 2 + 14n + 7=

( 2n + 3 )

2

2

⇒n=
1 . Khi đó n + 3 = 4 là số chính phương.

Thử lại, với n = 1 , ta có A = 102 .
Vậy số nguyên dương cần tìm là n = 1 .
Bài toán 7. Tìm 3 ≤ a ∈  sao cho a ( a − 1).a ( a − 1) = ( a − 2 ) aa ( a − 1).

Hướng dẫn giải
2

Ta có a ( a − 1).a ( a − 1) = ( a − 2 ) aa ( a − 1) ⇔ a ( a − 1) = ( a − 2 ) aa ( a − 1).

(*)

Vì VT(*) là số chính phương nên VP(*) cũng là số chính phương.
Vì số chính phương chỉ có chữ số tận cùng thuộc tập hợp {0;1; 4;5;6;9}
nên a có chữ số tận cùng thuộc tập hợp {1; 2;5;6;7;0} .
Do a là chữ số nên a ≤ 9. Kết hợp với 3 ≤ a ∈  nên a ∈ {5;6;7} .
Thử lần lượt từng giá trị ta thu được a = 7 thỏa mãn 762 = 5776.
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

15

Website:tailieumontoan.com
Bài toán 8. Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 9 là số chính phương.

Hướng dẫn giải
m 2 , m ∈  ⇔ ( m − 3)( m + 3) =
2n.
Giả sử 2n + 9 =
m − 3 =
2a
Vì m − 3 < m + 3 nên 
, với a, b ∈  và a < b.
2b
m + 3 =

Ta có 2b − 2a = 6 ⇔ 2a ( 2b − a − 1) = 6.
Vì 2a ( 2b − a − 1) 2 mà 2a ( 2b − a − 1)  4 nên a = 1. Điều này dẫn đến m = 5 và n = 4.
 Dạng 4: Tìm số chính phương.
* Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa về số chính phương A  k 2 , với k là số
nguyên và các yêu cầu của bài toán để tìm ra số chính phương thỏa bài toán.
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Tìm số chính phương abcd biết ab − cd =
1.

Hướng dẫn giải

(

)

Giả sử n 2= abcd= 100ab + cd= 100 1 + cd =
+ cd 101cd + 100 , n ∈ Z .
⇒ 101.cd =n 2 − 100 =( n − 10 )( n + 10 ) .

101 .
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 =
⇒n=
91 .
2
1.
Thử lại: abcd
= 91
=
8281 có 82 − 81 =

Vậy abcd = 8281 .
Bài toán 2. Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.

Hướng dẫn giải
Gọi
=
A abcd
= k2 .

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

16

Website:tailieumontoan.com
 A abcd
=
= k2
Theo đề bài ta có: 


2

 B = abcd + 1111 = m

.

(với k , m ∈ N * và 31 < k < m < 100 , a, b, c, d = 1,9 ).
⇒ m2 − k 2 =
1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111

(*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó:



m  k  11

m  56 
 A  2025








m  k  101 
 k  45
 B  3136




Vậy A = 2025, B = 3136.
Bài toán 3. Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố,
căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.

Hướng dẫn giải
Gọi số phải tìm là abcd với a; b; c; d là các số tự nhiên
và 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c, d ≤ 9.
Ta có abcd chính phương ⇒ d ∈ {0,1, 4, 5, 6, 9}.
Vì d là số nguyên tố ⇒ d = 5.
Đặt abcd  k 2  10000 ⇒ 32 ≤ k < 100, k ∈ N .
Do k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45 (vì k tận cùng bằng 5 và có 2 chữ
số)
⇒ abcd  2025

Vậy số phải tìm là: 2025.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho a; b; c là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca =
1.
Chứng minh rằng (a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) là 1 số chính phương.
n ( 2n − 1)
là số chính phương .
26
(Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa 2012-2013)
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = n 4 + n3 + n 2 có giá trị là số chính phương.

Bài 2: Tìm số nguyên dương n sao cho

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17

Website:tailieumontoan.com
(Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2010-2011 )
Bài 4: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì biểu thức

A =( x + y )( x + 2 y )( x + 3 y )( x + 4 y ) + y 4 có giá trị là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
a) A  224 99...9100...09
 
n 2

n

b) B  11...155...5
6
n

n1

Bài 6: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số liên tiếp không thể là số chính phương.
Bài 7: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;...
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh
rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p − 1 và p + 1
không thể là các số chính phương.
Bài 9: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là
một số chính phương
Bài 11: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24.
Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối
giống nhau.
Bài 13 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
Bài 14: Cho số nguyên dương n và các số A = 444....4


 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888.....8


 (B
2n

n

gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
(Đề vào chuyên toán Hà Nam năm 2013-2014)
Bài 15: Giả sử N = 1.3.5.7....2007
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2 N − 1, 2 N , và 2 N + 1 không có số nào là số
chính phương.
Bài 16: Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu S n là tổng của n số nguyên tố đầu tiên

 S1  2, S2  2  3, S3  2  3  5,.... . Chứng minh rằng trong dãy số S1 , S2 , S3 ,... không tồn
tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương .
(Đề vào chuyên toán sư phạm Hà Nội năm 2013-2014)
Bài 17: Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của p 4 là một số
chính phương.
(Đề vào chuyên Hưng Yên năm 2013-2014)
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

18

Website:tailieumontoan.com
Bài 18: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n 2  14n  256 là một số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 Thanh Oai năm 2012-2013)
1 1 1
1
Bài 19: Cho các số nguyên a, b, c ≠ 0 thoả mãn: + + =
a b c abc

(

)(

)(

)

Chứng minh rằng: 1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 là số chính phương
(Đề thi HSG lớp 9 trường Trần Mai Ninh năm 2012-2013)
Bài 20: Tìm số tự nhiên n sao cho A  n 2  n  6 là số chính phương
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Vĩnh Lộc năm 2018-2019)
Bài 21: Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương, chia
hết cho 9 và d là một số nguyên tố.
(Đề thi HSG lớp 9 quận Ngô Quyền năm 2018-2019)
Bài 22: (Đề thi HSG lớp 9 huyện Cẩm Giang năm 2018-2019)
Cho S  2  22  23  ...  298 . Chứng tỏ S không phải là số chính phương.
Bài 23: Tìm x nguyên dương để 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 là số chính phương
(Đề thi HSG lớp 9 TP Bắc Giang năm 2017-2018)
Bài 24: Tìm số tự nhiên n sao cho n 2 + 17 là số chính phương?
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Kim Thành năm 2012-2013)
Bài 25: Tìm các số nguyên dương n sao cho 2 n + 3n + 4 n là số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Vũ Quang năm 2018-2019)
Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 + 2014 là một số chính phương
(Đề thi HSG lớp 9 Trường Thanh Văn năm 2017-2018)
Bài 27: Tìm các số nguyên x sao cho x 3 − 3x 2 + x + 2 là số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Lục Nam năm 2018-2019)
Bài 28: Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một
mệnh đề sai:
a) A + 51 là số chính phương.
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1.
c) A − 38 là số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Đan Phượng năm 2018-2019)
Bài 29: Tìm các số hữu tỉ n thỏa mãn tổng sau là số chính phương: n 2 + n + 503 .

m2 .
Giả sử tồn tại số hữu tỉ n và số nguyên dương m để n 2 + n + 503 =
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Vũ Quang năm 2018-2019)
Bài 30: Tìm các số tự nhiên n sao cho n  50 và n  50 đều là số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Thăng Bình năm 2018-2019)
Bài 31: Tìm số tự nhiên n sao cho: n  24 và n  65 là hai số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Phù Ninh năm 2018-2019)
Bài 32: Chứng minh rằng: B  4 x  x  y  x  y  z  x  z   y 2 z 2 là một số chính phương
với x, y, z là các số nguyên.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Tiền Hải năm 2017-2018)
Bài 33: Tìm n ∈  sao cho: n + n + 1 là số chính phương.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Thanh Oai năm 2012-2013)
*

4

3

Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

19

Website:tailieumontoan.com

(

)

Bài 34: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( x; y ) sao cho 2 x 2 + y 2 − 3x + 2y − 1 và

(

)

5 x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 đều là số chính phương.

(Đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2019-2020)
Bài 35: Chứng minh rằng số M = ( n + 1) + n 4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1
4

với mọi số n nguyên dương.
(Đề vào 10 Chuyên Bình Thuận năm 2019-2020)

12n 2  1 là số nguyên. Chứng minh rằng

Bài 36: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

2 12n 2  1  2 là số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2019-2020)
Bài 37: Cho a, b, c là các số nguyên dương nguyên nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn
1 1 1
  . Chứng minh rằng a  b là số chính phương.
a b c
(Đề vào 10 Chuyên Thái Nguyên năm 2016-2017)
Bài 38: Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên lẻ thì a 2 + b 2 không phải là số chính
phương.
(Đề vào 10 Chuyên Hòa Bình năm 2016-2017)
Bài 39: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2 + 3n là một số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Quốc Học Huế năm 2017-2018)
Bài 40: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b 2  4ac không là số
chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Bình Định năm 2017-2018)
2
Bài 41: Tìm các số nguyên m sao cho m + 12 là số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Phú Thọ năm 2017-2018)
Bài 42: Tìm tất cả các cặp (x; y) nguyên dương sao cho x 2 + 8 y và y 2 + 8 x là các số chính
phương.
(Đề vào 10 Chuyên Toán Hải Dương năm 2017-2018)
Bài 43: Cho biểu thức A = ( m + n ) + 3m + n với m, n là các số nguyên dương. Chứng minh
2

rằng nếu A là một số chính phương thì n3 + 1 chia hết cho m.
(Đề vào 10 Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018)
Bài 44: Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để =
A n 4 + 4n p −1 là số chính
phương.
(Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2017-2018)
Bài 45: Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m + n + 1 là một ước nguyên tố của
2 ( m 2 + n 2 ) − 1 . Chứng minh rằng m.n là số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Nghệ An năm 2018-2019)
Bài 46: Tìm các giá trị nguyên của x để M = x + ( x + 1) − 2 x 2 − 2 x là số chính phương.
4

3

(Đề vào 10 Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019)
Bài 47: Cho số tự nhiên n ≥ 2 và số nguyên tố p thỏa mãn p − 1 chia hết cho n đồng thời
n3 − 1 chia hết cho p . Chứng minh rằng n + p là một số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Đại học Vinh Nghệ An năm 2018-2019)
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

20

Website:tailieumontoan.com
Bài 48: Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p + q và p + 4q đều là các số chính
phương.
(Đề vào 10 Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019)
Bài 49: Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình
phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
(Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2018-2019)
Bài 50: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để 2018 + n 2 là số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Bắc Giang năm 2018-2019)
2 2
Bài 51: Cho A= m n − 4m − 2n với m, n là các số nguyên dương. Khi n = 2 tìm m để A là
số chính phương. Khi n ≥ 5 chứng minh rằng A không thể là số chính phương.
(Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019)
Bài 52: Chứng minh nếu a; b là các số nguyên thỏa mãn hệ thức 2a 2 + a= 3b 2 + b thì a − b
và 2a  2b  1 là những số chính phương.
Bài 53: Tìm số tự nhiên x để biểu thức x 2 + 2 x + 20 có giá trị là một số chính phương.
Bài 54. Tìm các số nguyên x sao cho A  x( x 1)( x  7)( x  8) là một số chính phương.
Bài 55. Cho A = 11...1
 − 88...8
 + 1 . Chứng minh A là một số chính phương.
2n

n

Bài 56. Tìm tất cả số tự nhiên x,y để 2 x  5 y là số chính phương.
Bài 57. Tìm n ∈ N để 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Bài 58. Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.


 A = 11.....11



2m


Bài 59. Cho các số:  B = 11.....11


 ; Chứng minh rằng: A + B + C + 8 là một số chính phương.
m +1

C = 66.....66




m
Bài 60. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 4  2n3  2n 2  n  7 là số chính phương.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên, trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội năm 1992)
Bài 61. Tìm tất cả các số nguyên không âm n sao cho có các số nguyên a, b thỏa mãn
3
n 2= a + b và n=
a 2 + b2 .

(Romanian MO 2004)
Bài 62. Hãy tìm hai số chính phương phần biệt a1a2 a3 a4 và b1b2b3b4 biết rằng
a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = a4 − b4
Bài 63. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương a1 , a2 , ..., a2013 sao cho các số
2
đều là số chính phương?
a12 + a22 , a12 + a22 + a32 , a12 + a22 + ... + a2013

Bài 64. Thay các dấu * bằng các chữ số sao cho số sau đây là một số tự nhiên.
Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

21

Website:tailieumontoan.com

A = 6 4****
Bài 65. Với mỗi n ∈  , đặt An= (10n + 10n −1 + ... + 10 + 1)(10n +1 + 5 ) + 1 . Chứng minh rằng An
là số chính phương.
Bài 66. Giả sử rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. Chứng minh rằng 5n...