CHƯƠNG IV. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Bài 1. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Tổng các góc trong một tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ
( Hình ).

từ đỉnh

vẽ đường thẳng

A

x

1

y

2 3

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng

C

B
Hình 1

c) Chứng minh rằng
a) Vì

( so le trong).

b) Vì

( so le trong).
B

c) Khi đó
Kết luận:





Tổng ba góc trong một tam giác bằng
Tam giác có ba góc đều là góc nhọn gọi là tam giác nhọn.
Tam giác có một góc tù thì gọi là tam giác tù.
Tam giác có một góc vuông thì gọi là tam giác vuông.
Cụ thể

vuông tại

khi đó cạnh

hai cạnh góc vuông. ( Hình


có
Cụ thể:

B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính số đo

nên

gọi là cạnh huyền, hai cạnh

A

là góc ngoài thì

trong các hình sau:

x

740

B

Hình 4

640

x

B

C

Hình 3

A

A

C

1

B

x

450

gọi là

gọi là góc ngoài của tam giác.

A

720

Hình 2

.

kề bù với góc
có

C

A

C

Hình 5

B

1250

250
Hình 6

C

A

B

A

A

600

310
Hình 7

C

B

x

x
Hình 8

C

B

x

x
Hình 9

C

1

2

Bài 2: Tìm số đo

trong các hình sau:

D
A x

A

A
810

B

630

450
Hình 10

Hình 11

D

1200

600

480
Hình 12

C

M

Bài 3: Tìm số đo

x

x

B

x

Hình 15

A

D

D
1300

y

0

56

C

H

530

x

x

y

B

C

A

Hình 17

Hình 16

D

C

x

x

Hình 18

A

x

A

E
y
500

C

B

Hình 19

Bài 4: Cho Hình
và

Biết

x

350

E

x
x
B

C

Hình 20

y

300

A

là tia phân giác góc

Chứng minh rằng

Biết

C

Hình 21

1

Bài 5: Cho Hình

B

M

A

B

C

trong các hình sau:

A

y
M

x

440

B

C

Hình 14

Hình 13

600

C

A

A

x

B

B

380

D

A

B

x
C

500

B

C

x M

B

C

O
Hình 22

B

Chứng minh rằng

D

1 2

D

A

C

M
Hình 23

3

A

Bài 6: Cho Hình
Biết
Tính số đo trong hình.

x

A
M

1 2

Bài 7: Cho
Kẻ

1300

vuông tại
( Hình

).

B

Chứng minh rằng
Bài 8: Cho

1140

C

H

C

B

Hình 24

Hình 25

A

có

là tia phân giác

kẻ

( Hình

).

a) Tính

B

b) Tính

N

D

H

và

300

C

Hình 26

Bài 9: Cho
có
là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh

( Hình

D

A

).

Chứng minh rằng
B

Bài 10: Cho
có
là tia phân giác góc ngoài tại

400

400

C

Hình 27

( Hình

).

A

Chứng minh rằng

600

E

Bài 11: Cho

có

A

lần lượt là hai tia phân giác

D

của hai góc
Tính

600

B
Hình 28

O

( Hình

).

C

C

B
Hình 29

Bài 12: Cho

có

B

lần lượt là hai tia phân giác của
Tính

( Hình

).

O
A

C
Hình 30

4

Bài 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC.
A. LÝ THYẾT.
1) Hai tam giác bằng nhau.
A
Ví dụ 1: Cho
và
như Hình
Nhận thấy
và
có ba cạnh bằng nhau:
,
,
B

và ba góc bằng nhau:
Nên hai
và

C

,
,
gọi là hai tam giác bằng nhau.

D

E

F

Hình 1

Khi đó cạnh
và cạnh
gọi là hai cạnh tương ứng và
và
gọi là hai góc tương ứng.
Kết luận:
 Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cạnh cạnh tương ứng bằng nhau, các góc
tương ứng bằng nhau.
 Kí hiệu:
cần chú ý về thứ tự các đỉnh khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình
A
D
a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng
B

a)

C

có

N

M
Hình 2

có

Suy ra
b) Xét

mà
và

có:
( giả thiết)
( giả thiết) và

( chứng minh câu a)

Vậy
2) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ

B

C

6cm

biết

Vẽ cạnh
Vẽ cung tròn tâm bán kính
Vẽ tiếp cung tròn tâm bán kính
Hai cung tròn cắt nhau tại điểm
Nối các điểm ta được

B
A

A

( Hình

4cm

5cm
B

6cm

C

6cm

C

B

Hình 3

6cm

C

5

Ví dụ 2: Vẽ thêm
có
Làm giống ví dụ ta được
Cho nhận xét về
và

D

như Hình

4cm

5cm
E

F

6cm
Hình 4

Kết luận:
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác ấy bằng
nhau
 Kí hiệu:
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Xác định các yếu tố bằng nhau của hai tam giác
Bài 1: Cho
a) Hãy chỉ ra các cạnh tương ứng bằng nhau. Các góc tương ứng bằng nhau.
b) Nếu
thì cạnh nào cũng bằng
Bài 2: Cho

Biết

a)
có góc nào cũng có số đo bằng
b) Suy ra số đo cạnh nào của
Bài 3: Cho
Biết
a) Cạnh
bằng bao nhiêu
?
b) Tính chu vi của mỗi tam giác trên.
Bài 4: Cho

Biết

a) Tính
của
b) Tính số đo các góc còn lại của
Bài 5: Cho

Biết

a) Tính số đo góc
của
b) Cho biết
là tam giác gì?
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 2: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình

A

C

A

1
2

B

B

H

C

Hình 6

Hình 5

D

A

M

N

Hình 7

6
B

a) Chứng minh
b) Chứng minh

là tia phân giác

7

Bài 4: Cho Hình
a) Chứng minh

A

b) Chứng minh
Bài 5: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

B

y

D

M

M
K

Hình 8

E

là tia phân giác

A

Bài 6: Cho Hình

Hình 9

a) Chứng minh

A

N

x

B

b) Chứng minh
O

A

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh

D

C
Hình 10

b) Chứng minh

O

Dạng 3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh
Bài 1: Vẽ

biết

Bài 2: Vẽ

biết

Bài 3: vẽ

biết

Bài 4: Vẽ

biết

B

C
Hình 11

8

Bài 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT.
y

1) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác
Ví dụ 1: Vẽ
Nối

Trên tia

lấy điểm

C

sao cho

4m

trên tia
lấy điểm sao cho
với ta được
( Hình ).

Ví dụ 2: Vẽ thêm
Trong

thì

Trong
Xét

thì

A

600

B

5m

có

Hình 1

gọi là góc sen giữa hai cạnh

P

gọi là góc sen giữa hai cạnh
có:

và

x

4m

M

600

N

5m
Hình 2

Khi đó ta nói
bằng
theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Kết luận:
 Nếu hai cạnh và góc sen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc sẽ giữa của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Ví dụ 3: Cho Hình
a) Chứng minh

A

b) Chứng minh
a) Xét

và
là cạnh chung

có:
B

( giả thiết)

H

C
y

Hình 3

x
A

Vậy
b) Vì
( hai góc tương ứng)
2) Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác.
Ví dụ 4: Vẽ đoạn thẳng
Vẽ tia
ta được

sao cho
( Hình

Ví dụ 5: Vẽ thêm
Trong
Trong

Vẽ tia

thì
thì

tia

cắt

sao cho

B

500

600

4cm

C

Hình 4

tại

).

D

có
là cạnh xen giữa hai góc
là cạnh xen giữa hai góc

E

500

600

4cm
Hình 5

F

9

Với hai tam giác có các yếu tố như trên
Khi đó ta nói
bằng
theo trường hợp góc – cạnh – góc.
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Vẽ tam giác theo yêu cầu bài toán.
Bài 1: Vẽ

biết

Bài 2: Vẽ

biết

Bài 3: Vẽ

biết

Bài 4: Vẽ

biết

Bài 5: Vẽ

biết

Bài 6: Vẽ

biết

Bài 7: Vẽ

biết
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Bài 1: Cho Hình

B

a) Chứng minh

A

M

b) Chứng minh
Bài 2: Cho Hình

O

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 4: Cho Hình

A
Hình 6

B

C

M

N

Hình 7

là phân giác

A

H

B

a) Chứng minh
b) Chứng minh

M

Hình 8

N

Bài 5: Cho Hình

K

Hình 9

a) Chứng minh

M

A

b) Chứng minh

I

A

B

Bài 6: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

O
C

B

N
D

Hình 10

M

A

Hình 11

E

D
H

10

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

Bài 8: Cho

khác góc bẹt, trên tia

Trên tia

lấy điểm

tia phân giác

sao cho

Lấy

y

lấy điểm
Vẽ

bất kì trên tia

B

là
( Hình

m

)

M

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 9: Cho

O
Hình 13

vuông tại

sao cho

Trên cạnh

Tia phân giác

a) So sánh

x

A

cắt

lấy điểm
ở

A

( Hình

)

D

và
B

b) Tính số đo

C

E
Hình 14

Bài 10: Cho
điểm của

vuông tại
Tia phân giác

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Tính

cắt

là trung
ở

( Hình

B

)
E

là phân giác
A

của

Bài 11: Cho
ở

có

Bài 12: Cho
Trên cạnh
a)

Hình 15

vuông tại

kẻ

Tia phân giác góc

. Chứng minh
vuông tại
lấy điểm

Kẻ

sao cho

cắt

. ( Hình

B

)

là tia phân giác

E

Chứng minh:
A

Hình 16

là đường trung trực của

d) Trên tia đối của tia
thẳng hàng. ( Hình
Bài 13: Cho
sao cho

C

D

b)
c)

C

D

nhọn có
( Hình

lấy điểm

sao cho

Chứng minh ba điểm

)
Phân giác của

cắt

tại

Trên

lấy điểm

B
E
A

D

11
C

a) Chứng minh
b)

cắt

tại

Chứng minh
A

c) Chứng minh

E
B

Bài 14: Cho
điểm

trên

Hình 18

F

có

. Lấy điểm

sao cho

a) Chứng minh
b) Biết
cắt

tại

C

D

trên

A

. ( Hình
và
Cho biết

E

F

.

I

Chứng minh

A
C

B
Hình 19

Bài 15: Cho
có
. Trên các cạnh
lấy lần lượt các điểm
và sao cho
.
Gọi là giao điểm của
và
a) Chứng minh

. ( Hình

O

E

. Kẻ

. Kẻ

. Gọi

c) Chứng minh
Bài 17: Cho

O

là giao điểm

và

.

K

là phân giác
Trên cạnh

Tia phân giác của

cắt

lấy điểm
ở

A

B

b) Kẻ

Bài 18: Cho

D

( Hình

a) Chứng minh

H

Chứng minh

c) So sánh

C
Hình 21

vuông tại

sao cho

D

B

và
( Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh

của

A

C
Hình 20

Bài 16: Cho

d) Gọi

E

B

b) Chứng minh

của

D

M

C

E
Hình 22

và

là giao điểm của
Chứng minh
biết

và

là trung điểm

A

thẳng hàng.
là phân giác

.

M
B
N

I
E
Hình 23

12
C

Trên cạnh

lấy điểm

sao cho

( Hình

a) Chứng minh
b)

cắt

tại

Chứng minh

c) Trên tia đối của tia

lấy điểm

sao cho
A

Chứng minh
d) Chứng minh
Bài 19: Cho

thẳng hàng.
có

và tia phân giác

Trên cạnh
lấy điểm sao cho
a) Chứng minh
.
b)
cần thêm điều kiện gì để
c) Gọi
cắt
d) Chứng minh
Bài 20: Cho
a) Trên cạnh

tại

cắt

B

. ( Hình

có
sao cho

Bài 21: Cho
điểm

sao cho

,

Trên cạnh

tại

Trên đoạn

sao cho

lấy điểm
Kéo dài

vuông tại
sao cho

lấy

cắt

tại

K

E

Q

F
B

C

M
Hình 26

lấy điểm

có
Gọi

a) Nếu

A

Trên cạnh
là trung điểm của

I

H

D
N
B

K

( Hình

C

Hình 27

Tính

b) Chứng minh
c) Qua

A

Chứng minh

Bài 22: Cho

C

D
Hình 25

( Hình

b)
cắt
tại
Chứng minh
c) Qua
vẽ đường thẳng song song với
cắt

B

là trung điểm của

a) Chứng minh

H
E

thẳng hàng.

có

Gọi

A

.

và
vuông tại

F

( Hình

Tia phân giác cắt
tại
Chứng minh
b) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với
tại
cắt
tại . Chứng minh
.
c) Chứng minh

Hình 24

.
. Tính

C

D

K

.

Chứng minh
.

vuông tại
lấy điểm

E

tại

suy ra

kẻ đường thẳng song song với

lần lượt tại

và

Chứng minh

B

cắt
là tia phân giác

A

M

C

13
Hình 28

N

Bài 23: Cho

vuông tại

Trên tia
lấy điểm
a) Chứng minh

sao cho
và

b) Chứng minh

là trung điểm của

là trung điểm của

( Hình
A

và

Bài 24: Cho
điểm của

Gọi

là trung điểm của
Vẽ điểm

sao cho

là trung

E

D

là trung điểm của

a) Chứng minh

( Hình

B

C
Hình 29

b) Chứng minh
c) Chứng minh

E

Bài 25: Cho
của

và

F

gọi

lần lượt là trung điểm

Trên tia đối của tia

tương ứng hai điểm

và

và

.

( Hình

b) Chứng minh

thẳng hàng.
có

là trung điểm của

A

lần lượt

sao cho

là trung điểm của

E

M

N

B

và

b) Lấy điểm

C
Hình 30

( Hình

a) Chứng minh

M

B
F

Hai điểm

D

N

lấy

sao cho

a) Chứng minh
Bài 26: Cho

A

C

Hình 31

là trung điểm của

A

Chứng minh

c) Chứng minh

I

Bài 27: Cho

là trung điểm của

thuộc tia đối của tia

sao cho

Lấy điểm

B

. ( Hình

K

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Kẻ

và

Bài 28: Cho
lấy điểm

thẳng hàng.
có

là trung điểm của
sao cho

Sao cho

D

K

Trên tia đối

. ( Hình

B

C

M
H

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Vẽ

Hình 32

A

Chứng minh

d) Chứng minh
của tia

C

E

tại

Trên cạnh

Hình 33

lấy điểm

Chứng minh

D

A
N
M
E

14
F

từ đó suy ra
Bài 29: Cho
Vẽ
sao cho

nhọn, vẽ

.

tại vẽ
là trung điểm của

của

cắt

tại
,

lần lượt tại

a) Chứng minh

bằng

A

Tính các góc

Bài 30: Cho

vuông tại
tại

có

Trên cạnh

. Gọi
b) Tia

Vẽ

lấy điểm

là trung điểm cạnh

a) Chứng minh

vuông

sao cho

cắt

B

Hình 35

( Hình

A

tại

Chứng minh

D

K

và

. Gọi

là trung điểm
B

lấy điểm

trên cạnh

lấy điểm

Chứng minh

A

Trên tia đối của
B

sao cho

C

M

H

thẳng hàng.
có

đối của tia

lấy điểm

Chứng minh

là trung điểm của

Bài 32: Cho

C

M
Hình 36

sao cho
tia

E

N

a) Chứng minh

c) Gọi

C

K

H

( Hình
b) Trên cạnh

D

I

Từ đó suy ra

từ đó suy ra
Bài 31: Cho
có
của

( Hình

và chu vi

b) Nếu
góc với

Lấy
là trung điểm

lấy điểm

.

là trung điểm của

sao cho

Trên tia

D

E

. ( Hình

Hình 37

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Kẻ
tại
sao cho

A

Trên tia đối của tia

là trung điểm của

lấy điểm

Chứng minh

d) Chứng minh
Bài 33: Cho
lấy điểm

Gọi
sao cho

a) Chứng minh
b) Vẽ
tại
sao cho

là trung điểm của

H

Hình 38

E

C

M

Trên tia

. ( Hình
Trên tia đối của tia

B

lấy điểm

D

A

Chứng minh
B

H

Hình 39

K

B

15
C

và
c) Chứng minh
Bài 34: Cho
nhọn có
của

Trên tia

. Lấy

lấy điểm

sao cho

a) Chứng minh

là trung điểm của
d) Chứng minh
của tia

là trung điểm của

( Hình

b) Chứng minh
c) Vẽ
. Trên tia

Bài 35: Cho

là trung điểm

A

lấy điểm

sao cho

Chứng minh

.

.

B

nhọn. Kẻ

lấy điểm

K

Trên tia đối

sao cho

. ( Hình

D

a) Chứng minh
là tia phân giác của

là trung điểm của

sao cho
Bài 36: Cho

tại

Vẽ tia

cắt tia

tại

Chứng minh

cắt

, tia

B

H

.

E

tại

Hình 41

K
A

tại

thẳng hàng.
sao cho

. Vẽ

E

B

là trung điểm của

( Hình
J

b) Gọi

là trung điểm của

Trên tia

cho

là trung điểm của

Chứng minh

c) Chứng minh

là tia phân giác

là giao điểm của

và

lấy điểm

sao cho
.

K

sao

D

N
Hình 42

.

và

A

là trung điểm của

Chứng minh
thẳng hàng.
Bài 38: Cho
nhọn có
. Kẻ
Trên đoạn
lấy điểm
a) Chứng minh

C

H

a) Chứng minh

d) Gọi

C

M

F

nhận tia

cắt tia

nhọn có

lấy điểm

sao cho
sao cho

làm tia phân giác. Tia
Chứng minh
.

Trên

lấy điểm

( Hình

b) Kẻ

Bài 37: Cho

A

Chứng minh
.
. Lấy
là trung điểm của

lấy điểm

a) Chứng minh

.

Trên tia

là trung điểm của
nhọn có

Trên tia đối của tia

c) Tia

E
Hình 40

b) Chứng minh
c) Gọi

C

H

I

.
. ( Hình

B

H

C

D
K

Hình 43

E

16

b) Trên tia đối của tia

lấy điểm

sao cho

.

Chứng minh
c) Tia
cắt
tại tia
cắt
Chứng minh
.
d) Chứng minh
.
Bài 39: Cho
có ba góc nhọn. Kẻ
Gọi

là giao điểm của

Trên tia đối của tia
a)
b)
c)
d)

và
lấy điểm

A

,

Gọi

tại
Tia
a) Chứng minh

tại

E
B

sao cho

A

đồng quy.
cắt

tại
E

cắt

tại

C

K

D
Hình 45

A

và

c) Chứng minh
có
lấy điểm

F

H

( Hình

b) Qua vẽ đường thẳng song song với
Lấy điểm
nằm giữa
và sao cho

Bài 41: Cho
tia đối của tia

D

B

Chứng minh

C

O

Hình 44

.
và

. Phân giác
cắt

H

F

và

nhọn có

M
N

là trung điểm của

So sánh
và
. ( Hình
Chứng minh
.
Tìm điều kiện của
để
Trên các đoạn
và
lấy điểm

Bài 40: Cho

.

là trung điểm của

sao cho

. Chứng minh

Vẽ

tại

. Kẻ
Trên tia đối của tia

. Trên
lấy điểm

sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh
.

K
D

I
H

B
Hình 46

C

E

O

b) Chứng minh
c) Chứng minh
d)

là tia phân giác của

Chứng minh
Bài 42: Cho
có
Trên đoạn

lấy điểm

sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh
b) Kẻ
cắt
tại
c) Đường thẳng qua

. Kẻ

,

.

đồng quy.
. Gọi
là trung điểm của
trên tia đối của tia

A

lấy điểm

M

và
và
Chứng minh
và vuông góc với

,
và
cắt tia

B

D

H

I

C

E

O
Hình 47

N

17

tại

Chứng minh

.

18

Bài 4. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Ba trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông.

Hình 3

Hình 2

Hình 1

 Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình ).
 Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc
vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng
nhau ( Hình ).
 Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( cạnh huyền – góc nhọn)
( Hình ).
A
Ví dụ 1: Cho Hình
Xét
và
có:
N

M

là cạnh chung.
( giả thiết)
Vậy
( cạnh huyền – góc nhọn)
2) Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai am giác vuông đó bằng nhau.
A
( cạnh huyền – cạnh góc vuông) ( Hình ).
Ví dụ 2: Cho Hình
Xét
và
có:
B

là cạnh chung.
( giả thiết)
Vậy
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình

B

Hình 5

C

Hình 6

D

A

( cạnh huyền – cạnh góc vuông).

a) Chứng minh
b) Chứng minh

Hình 4

là trung điểm

B

H

C

Hình 7

19

Bài 2: Cho Hình

A

A

C

a) Chứng minh

O

b) Chứng minh
Bài 3: Cho Hình

B
K

H

a) Chứng minh
b) Chứng minh
Bài 4: Cho Hình

Hình 8

B

B

H

a) Chứng minh

F

b) Chứng minh

A

c) Chứng minh
Bài 5: Cho Hình

B

a) Chứng minh

A

C

D
Hình 10

D
A

C

E

b) Chứng minh

Hình 11

c) Chứng minh
Bài 6: Cho Hình

N

M

a) Chứng minh

B

b) Chứng minh

C

H
Hình 12

Bài 7: Cho đoạn thẳng
Qua

D

Hình 9

Qua

vẽ đường thẳng

một đường thẳng cắt

vẽ đường thẳng
Qua trung điểm

ở

và cắt

ở

So sánh

m

,
của

C

vẽ

n

và

A

( Hình

B

O
Hình 13

Bài 8: Cho
thẳng

vuông tại

(

có

. Qua

cùng phía đối với

a) Chứng minh
b) Chứng minh

). Kẻ

.

E

A

.

y

D

( Hình

x

Bài 9: Cho
và

D

kẻ đường

vuông tại

. ( Hình
a) Chứng minh
b) Qua

Gọi

Chứng minh

. Kẻ

B

C
Hình 14

.

kẻ đường thẳng

phía với

là trung điểm của

A

sao cho
tại

kẻ

và

nằm cùng
tại

d

E

D

B

M
Hình 15

C

20

21

Bài 10: Cho
Kẻ

. Tia

và

đi qua trung điểm

của

vuông góc với

So sánh

và

A

.

. ( Hình

Bài 11: Cho

có

thuộc tia đối của tia

E

là trung điểm của
sao cho

Lấy

B

. ( Hình

F

A

Hình 16

a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Kẻ

B

Chứng minh

có
.
Trên tia đối của tia

sao cho

. ( Hình

C

E
K

thẳng hàng.

Bài 12: Cho
điểm của

A

Hình 17

là trung
lấy điểm

D

B

d)

vuông góc với

cắt

tại

cắt

Chứng minh

K

F

.

tại

C

M

b) Chứng minh
và

E

H

a) Chứng minh
c) Kẻ

x

I

,

d) Chứng minh

C

M

Hình 18

Chứng minh
thẳng hàng.
Bài 13: Cho
nhọn. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho

I

N

D

C

. ( Hình

K

a) Chứng minh

O

b) Từ kẻ
, Từ
kẻ
Chứng minh
.
c) Trên tia
lấy điểm
trên tia
. Chứng minh

H

lấy điểm

sao cho
A

thẳng hàng.

B

M
Hình 19

Bài 14: Cho
của

nhọn và

Trên tia đối của tia
a) Chứng minh

. Gọi
lấy điểm

sao cho

. ( Hình

và

b) Gọi
lần lượt là trung điểm của
Chứng minh
.
c) Chứng minh

là trung điểm

là trung điểm của

A

N

F

M
B

Hình 20

E

22
C

23

Bài 15: Cho

nhọn. Có

Trên tia đối của tia

là trung điểm của

lấy điểm

sao cho

A

F

. ( Hình
Q

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi

là trung điểm của đoạn
cắt

Bài 16: Cho

K

tại

Chứng minh

có

.

Chứng minh
a) Từ
kẻ

N

đường thẳng

P

E
Hình 21

là trung điểm của

là trung điểm của

A

( Hình
và

. Chứng minh

.

b) Chứng minh
c) Từ

kẻ đường thẳng vuông góc với

thẳng vuông góc với
tại

Từ

kẻ

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi
là giao điểm của
và

Chứng minh

.

F

B

thẳng hàng.

nhọn có
vuông góc với

E

kẻ đường

Hai đường thẳng này cắt nhau

Chứng minh

Bài 17: Cho

Từ

C

M

Hình 22

N

là trung điểm của

tại

vuông góc với

A

tại

( Hình
với

,

là giao điểm của

E

.

B
M

F
H
Hình 23

C
N

24

Bài 5. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho
có hai cạnh
Khi đó
được gọi là tam giác cân.
Kết luận:
 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Cụ thể: Hình
cân tại đỉnh .
Hai cạnh

là hai cạnh bên.

A

là cạnh đáy.

B

C
Hình 1

Hai góc
là hai góc ở đáy.
 Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại tam giác có hai góc bằng
nhau là tam giác cân.
A

Cụ thể: Hình
có
nên là tam giác cân tại
 Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.
 Tam giác cân có góc bằng
là tam giác đều.
 Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân tại góc vuông.
B

C

2) Đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng
là trung điểm của
Đường thẳng

vuông góc với

tại

Hình 2

( Hình ).

(d)

Khi đó
được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng
Kết luận:
 Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
Của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
 Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều
Hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

A

Hình 3

(d)

Cụ thể: Hình Điểm
 Ngược lại điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
a)
là tam giác gì?
b) Tính
Bài 2: Cho Hình
a)
là tam giác gì?
b) Tính

B

M

O

A

B

M
Hình 4

A

B

B

650
Hình 5

C

A

500
Hình 6

C

25

26

Bài 3: Cho Hình

A

B

a) Tính
b)
là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình
là tam giác gì?
Bài 5: Cho Hình

450

A

Hình 7

C

600

B

C

Hình 8

là tam giác gì?
A

Bài 6: Cho Hình
a) Chứng minh
b)
là tam giác gì?

A
B

1200

A

C
Hình 9

Bài 7: Cho Hình
a) Chứng minh
b)
là tam giác gì?

C

B

D

Hình 10

M

C

N
Hình 11

B

A

Bài 8: Cho

Tia phân giác

cắt

ở

Trên tia đối của tia

lấy điểm sao cho
. Chứng minh
Bài 9: Cho
cân tại A, lấy điểm D thuộc AC,
E thuộc AB sao cho

( Hình

lấy điểm
. Gọi

A

trên
,
là giao

cắt cạnh

và

Bài 12: Cho
Đường thẳng qua

B

C
Hình 13

K
A

H
O

B

Tia phân giác của

b) Chứng minh
c) Chứng minh

E

I

( Hình
là tam giác cân.

lần lượt ở

Hình 12

D

E

b) Chứng minh
Bài 11: Cho
cân tại
a) Chứng minh

C

. ( Hình

cân tại
sao cho

điểm của
và
a) Chứng minh

B

A

a) So sánh
và
.
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Khi đó
là tam giác gì? Vì sao?
Bài 10: Cho
điểm
trên

D

E

. ( Hình

cân.

C
Hình 14

D
O

B

C

A

Hình 15

.
cân tại
Tia phân giác
cắt
tại
và vuông góc với AB cắt AB tại H. Đường

K

H
B

M
Hình 16

27
C

thẳng qua M và vuông góc với AC cắt AC tại K. ( Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 13: Cho

So sánh
.
cân tại

Gọi là giao điểm của
a) Chứng minh
b) Gọi

vẽ

tại

và
và

cân tại

a) Chứng minh
b) Trên cạnh
Chứng minh
c) Tia

E

Chứng minh

Gọi

B

thẳng hàng.

lấy điểm
.
tại

Hình 17

bất kỳ.

tại

B

E

tia

F
K

D

Chứng minh

A

B

M

H
Hình 19

F

vuông tại

Trên cạnh

. Tia phân giác của

cắt cạnh

lấy điểm
ở

sao cho

B

( Hình

K

a) Chứng minh

M
A

vẽ đường thẳng vuông góc với
tại
cắt đường thẳng
tại . Chứng minh

c) Chứng minh
Bài 16: Cho
vuông tại
.

C

E

C

Hình 18

b) Qua

C

H

là trung điểm của

( Hình

Bài 15: Cho

D

I

A

cắt cạnh

cắt cạnh

tại

( Hình
.

là trung điểm của

Bài 14: Cho

A

và
Trên cạnh

là trung điểm của

C

D

Hình 20

thẳng hàng.
lấy điểm
sao cho

H

( Hình

a) Chứng minh
b) Đường thẳng
cắt đường thẳng
tại
c) Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh

Trên cạnh
là trung điểm của cạnh

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Tia

.
A

thẳng hàng.

Bài 17: Cho
. Gọi

Chứng minh
.

cắt cạnh

lấy điểm

sao cho

( Hình

B

.
tại

C

K
Hình 21

F

Chứng minh

D

M

.

A

28
I
B

E

M
C

d) Trên tia đối của tia

lấy điểm

Chứng minh
Bài 18: Cho

.

thẳng hàng.
có

Trên cạnh

sao cho

.

lấy điểm

là tia phân giác

.

sao cho

. ( Hình

Chứng minh

là trung điểm của

a) Chứng minh
b)

cắt

tại

c) Trên tia đối của tia

lấy điểm

d) Chứng minh
Bài 19: Cho

sao cho

. Chứng minh

thẳng hàng.
vuông tại

Kẻ

F

vuông góc với

B

và tia phân giác
của
. ( Hình
a) Trên cạnh
lấy điểm sao cho
.
Chứng minh
và
.
b) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh
Bài 20: Cho

H
D

.

A

thẳng hàng.
vuông tại

Hình 23

E

là tia phân giác của

. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. ( Hình
a) Chứng minh
từ đó suy ra
.
b) Từ
kẻ đường thẳng vuông góc với
nó cắt
tại

H

D

K

Chứng minh
Bài 21: Cho
a) Chứng minh
b) Chứng minh

là trung điểm của

( Hình

là tia phân giác

A

.

.
và

là giao điểm của
.

là trung điểm của

sao cho
B

trên tia đối của tia

Gọi

và

K

N

O

và

. Chứng minh
cân tại

M

P

lấy lần lượt hai điểm

sao cho
Bài 22: Cho

Gọi

suy ra

. Gọi
Chứng minh
d) Gọi

F

I

Hình 24

cân tại

c) Trên cạnh

C

E

C

D

lấy điểm

Hình 25

thẳng hàng.
lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh
b) Gọi là giao điểm của
và
.
c) Chứng minh
có hai góc bằng nhau.

và

( Hình

A

E

J

I

và

F

O
B

Hình 26

C

29

d) Lấy điểm
điểm của

và
và

sao cho

và

lần lượt là trung

Chứng minh

là trung điểm

của
Bài 23: Cho
cân tại
Trên tia đối của tia
Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh

lấy điểm

A

.

là tam giác cân. ( Hình
D

B

C

E

Hình 27

30

Bài 24: Cho

cân tại

là tia phân giác của góc

. Trên tia đối của tia
Trên tia đối của tia
lấy điểm
a) Chứng minh
b) Chứng minh

.
.

( Hình

D

.

c) Chứng minh
Bài 25: Cho

lấy điểm
sao cho

A

B

sao cho
. Nối
a) Chứng minh

E

E

C

M

C

P

F

Hình 28

.
cân tại

C

A

Trên cạnh

và
cân.

lấy 2 điểm

và

( Hình
B

D
Hình 29

b) Chứng minh

A

Bài 26: Cho
cân tại
Lấy điểm là trung điểm của
Trên tia
lấy điểm , trên tia
lấy điểm
sao cho
. Chứng minh ( Hình
a)
b)
c)
d)

và

là tia phân giác của góc

.

.

B

N

I
Hình 30

.
là đường trung trực của

Bài 27: Cho

cân tại

của đoạn thẳng

( Hình

Gọi

M

là trung điểm

a) Chứng minh
Từ đó suy ra
.
b) Trên tia đối của tia
lấy điểm và trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
. Chứng minh
c) Lấy điểm bên trong
sao cho
.
Chứng minh

I
E

.

N

D
Hình 31

thẳng hàng.

31

ÔN TẬP CHƯƠNG 4.
Bài 1: Cho

vuông tại
Trên cạnh

Kẻ

là tia phân giác của

lấy điểm

a) Chứng minh
b) Chứng minh

sao cho

.
A

và

D

.

c) Chứng minh
là đường trung trực của
d) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh
Bài 2: Cho

có

. Trên cạnh
cắt

lấy điểm

B

F

sao cho
A

.

I
D

và
B

là trung điểm của

Chứng minh

d) Chứng minh

thẳng hàng.

trên tia

. Lấy điểm
sao cho

y

trên tia

. Gọi

K

là trung điểm của

đoạn

B

a) Chứng minh
b) Trên tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh
.
c) Qua
kẻ đường thẳng song song với
tại

Chứng minh

d) Gọi giao điểm của
Bài 4: Cho
có
Trên cạnh
lấy điểm
a) Chứng minh
b) Tia

cắt tia

với

O

cắt

và
là

tại

d) Cho

cắt cạnh

là tia phân giác của
tại

x

.

A

D

Chứng minh

Vẽ

E

là đường trung trực của

. Chứng minh
cân tại

A

tại

Chứng minh

. Tia phân giác
sao cho
.
.

M

S
H

.

B

c) Chứng minh

Bài 5: Cho

C

E

.

Bài 3: Cho góc nhọn

và

C

E

tại
và

b) Gọi là giao điểm của
Chứng minh
.

và điểm

.

thẳng hàng.

. Tia phân giác của
a) Chứng minh

c) Gọi

F

.

C

I

E

là phân giác góc

A

a) Chứng minh

B

32
E

N

M

K
D

C

b) Chứng minh

là trung trực của

c) Vẽ
sao cho
và
d) Gọi

t