CHỦ ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a
Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
Nếu |a| ( 1 : Phương trình có nghiệm là x = ( + k2( và x = ( - ( + k2(, k ( (, với sin ( = a.
2. Phương trình cosx = a
Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
Nếu |a| ( 1 : Phương trình có nghiệm là x = ( ( + k2(, k ( (, với cos( = a.
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện: cosx ( 0 hay x (
+k(, k ( (.
Nghiệm của phương trình x = ( + k(, k ( (, với tan( = a
4. Phương trình cotx = a
Điều kiện: sinx ( 0 hay x ( k(, k ( (.
Nghiệm của phương trình là x= ( + k(, k ( ( với cot( = a.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bsinx = c ( sin(x + () =
trong đó: sin( =
;
cos( =

asinx + bsinx = c ( cos(x – () =
trong đó: sin ( =
;
cos ( =

Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c2 ( a2 + b2.
2. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt t = sinx + cosx, |t| (

Phương trình trở thành bt2 + 2at – (b + 2c) = 0
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Phương trình đưa về phương trình tích:
Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x +
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ( 0 và sin3x ( 0
Ta biến đổi 3tan2xcot3x +
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
( 3tan2xcot3x +
tan2x – 3
cot3x – 3 = 0
( tan2x (3cot3x +
) -
(3cot3x +
) = 0
( (3cot3x +
) (tan2x -
) = 0
(
(k ( ()
(
(k ( ()
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x =
và x =
, k ( (
Bài 2: Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ( 0, sinx ( 0 và cot x ( -1.
Ta biến đổi phương trình đã cho:


(

( sinx

(

( x = (
, k( (
Giá trị x = -
, k( ( bị loại do điều kiện cot x ( -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x =
, k( (.
Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ( (0,2()

Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ( 0, cos4x ( 0 và cos5x ( 0.
Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 (

(

( 2sin4x

( 2sin4xsin2x = 0 (

(
(k ( ()
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:


2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác.
Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x)
Giải:
Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x)
= 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]
= 2

= 2 – sin22x
Vậy ta được phương trình sin22x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ( t ( 1 ta được phương trình:
t2 + t – 1 = 0 ( t =
. Giá trị
< -1 nên bị loại.
Với t =
ta có phương trình sin2x =

Phương trình này có nghiệm: x=
, k ( (
Và x =
, k ( (
Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Giải:
Điều kiện của phương trình là cosx ( 0
Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)
( tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x
( tan3x + tan2x