SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT
TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I: (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
. (với x > 0; y > 0; x
y).
2. Tính x biết x3 =


Câu II: (2,0 điểm). Cho f(x) = x2 – (2m+1)x + m2 + 1 (x là biến, m là tham số)
1. Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 1.
2. Tìm tất cả các giá trị m
Z để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho biểu thức P =
có giá trị là số nguyên.

Câu III: (2,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình  sau :

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 5x2 + y2 = 17 + 2xy

Câu IV: (3,0 điểm). Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (M không trùng với O và không trùng với hai đầu mút A và B). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. Chứng minh rằng :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Tích CM.CN không đổi.
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định.

Câu V: (1,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b để M = a4 + 4b4 là số nguyên tố.
---------------------- Hết--------------------








Giải

Câu 4 (3 điểm):









(Bài này là câu 5 đề thi 2007-2008 TS Lào Cai)
1) Chứng minh rằng tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn.
M, N cùng nhìn PO dưới 1 góc không đổi bằng 900 nên tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn đường kính OP.
2) Chứng minh rằng OP // a.
Tam giác OCN cân tại O nên (1)
MP // CP nên 2)
Do tứ giác OMNP nội tiếp nên3)
Từ (1), (2), (3) suy ra hai góc này ở vị trí so le trong nên OP // a do đó Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3) hai tam giác COM và CND vuông có góc C chung nên đồng dạng
suy ra
do đó CM.CN=CO.CD=R.2R=2R2 không đổi.
4) Tìm tập hợp những điểm P khi M di động.
Tứ giác MODP là hình chữ nhật nên P luôn cách AB một khoảng không đổi bằng bán kính (O) do đó P thuộc đường thẳng d // AB cách AB một khoảng không đổi OD
Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A và B của (O).