Ứng dụng sự biến thiên của hàm số trong giải hệ phương trình , hệ bất phương trình
1Hệ bpt Khi gặp hbpt một ẩn trong đó có một bpt tìm được tập nghiệm , bpt còn lại khó tìm tập nghiệm trực tiếp thì có thể sử dụng pp sau
Viết bpt đó về dạng y = f(x) , khảo sát sự biến thiên của hs đó trên khoảng nghiệm của bpt trên
VD1 GHBPT
HD (1) ( -1 < x < 1/3
Xét hs y = x3 – 3x + 1 trên khoảng (- 1 ; 1/3) có y’ = 3x2 – 3 < 0 hàm số nb
BBT
x
-1 1/3

y’
 -----

y
3


1/27

Vậy hbpt có nghiệm là ( - 1 ; 1/3)
2. Hệ phương trình Khi gặp hệ phương trình dạng


Có thể tìm lời giải theo hướng sau
Hướng 1 Xét f(x) = f(y) ( f(x) – f(y) = 0 biến đổi về dạng tích
Hướng 2 Xét hàm số y = f(t) . thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong TXĐ của nó
Nếu y = f(t) đơn điệu thì từ (1) suy ra x = y . Khi đó bài toán đưa về giải hoặc BL phương trình (2) theo x
Nếu y = f(t) có một cực trị tại t = a thì hàm số thay đổi cbt khi qua a . Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về 2 phía của a

VD 2 Giải hệ phương trình




HD
Từ phương trình (2) có x, y
[ - 1 ; 1]
Xét hàm số f(t) = t3 – 5t , t
[-1 ; 1] có f’(t) = 3t2 – 5 < 0
t
[ - 1 ; 1] . Do đó hàm số f(t) nb trên ( - 1 ; 1)
Từ (1) suy ra x = y
Thế vào (2 ) có nghiệm x = y =

VD 3 Hệ đối xứng lọai 2 mà khi giải dẫn đến một trong 2 phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) trong đó f là hàm số đơn điệu
Giải hpt

(Dự bị khối A – 2007)
HD Đặt
ta có

Trừ theo vế 2 phương trình có
(*)
Xét hàm số f(t) =
có f’(t) =

Vì
nên f’(t) > 0
t do đó f(t) đồng biến trên R
Vậy (*) ( a = b thay vào phương trình (1) có
(4)
Theo nhận xét trên thì 2 vế phương trình (4) dương lấy ln hai vế ta có



,
a
R
Nên hàm số g(a) nb trên R , mặt khác a = 0 là nghiệm của (4) do đó (4) có nghiệm duy nhất a = 0
Trả biến có nghiệm của hệ đầu là (x ; y ) = ( 1 ; 1)
VD 4 hệ mũ và logarit
Giải hpt


Giải
ĐK x > - 1 , y > - 1 .
Phương trình(1) của hệ ( ln( 1+ x ) – x = ln( 1 + y ) – y (*)
Xét hàm số f(t) = ln( 1 + t ) – t với t > - 1 có f’(t) =

f’(t) = 0 ( t = 0 => hàm số f(t) đồng biến trên ( - 1 ; 0 ) và nghịch biến trong (0 ; +
)
Ta có (*) ( f(x) = f(y) . Lúc đó x = y (nếu x , y thuộc cùng một khoảng đơn điệu ) hoặc xy < 0 ( nếu x , y thuộc hai khoảng đơn điệu khác nhau do một khoảng dấu âm , một khoảng dấu dương )
Nếu xy < 0 thì VT của phương trình(2) trong hệ luôn dương . Phương trình vô nghiệm
Nếu x = y , thay vào (2) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0

3.Biện luận hệ phương trình
VD 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

HD
ĐK

Trừ theo vế (1) cho (2) và chuyển vế ta được


Có hàm số
đồng biến trên khoảng (- 1 ; 3) nên từ (3) suy ra x = y
Thay vào (1) có phương trình

g(x) là hàm số liên tục trên [-1 ; 3] và

BBT
x
-1 1 3

g’(x)
 || + 0 ---- ||