Ứng dụng sự biến thiên của hàm số trong giải hệ phương trình
I – Lí thuyết
1. Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đồ thị y = m
2. Khi gặp hệ phương trình


Có thể tìm lời giải theo hướng sau
Hướng 1 Xét f(x) = f(y) ( f(x) – f(y) = 0 biến đổi về dạng tích
Hướng 2 Xét hàm số y = f(t) . thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong TXĐ của nó
Nếu y = f(t) đơn điệu thì từ (1) suy ra x = y . Khi đó bài toán đưa về giải hoặc BL phương trình (2) theo x
Nếu y = f(t) có một cực trị tại t = a thì hàm số thay đổi cbt khi qua a . Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về 2 phía của a
3 . Nếu gặp hệ phương trình 3 ẩn hoán vị vòng quanh không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x
y , x
z
Sau đây là một số VD
Giải hệ phương trình
VD 1



HD
Từ phương trình (2) có x, y
[ - 1 ; 1]
Xét hàm số f(t) = t3 – 5t , t
[-1 ; 1] có f’(t) = 3t2 – 5 < 0
t
[ - 1 ; 1] . Do đó hàm số f(t) nb trên ( - 1 ; 1)
Từ (1) suy ra x = y
Thế vào (2 ) có nghiệm x = y =

VD 2 Hệ đối xứng lọai 2 mà khi giải dẫn đến một trong 2 phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) trong đó f là hàm số đơn điệu


(Dự bị khối A – 2007)
HD Đặt
ta có

Trừ theo vế 2 phương trình có
(*)
Xét hàm số f(t) =
có f’(t) =

Vì
nên f’(t) > 0
t do đó f(t) đồng biến trên R
Vậy (*) ( a = b thay vào phương trình (1) có
(4)
Theo nhận xét trên thì 2 vế phương trình (4) dương lấy ln 2 vế ta có



,
a
R
Nên hàm số g(a) nb trên R , mặt khác a = 0 là nghiệm của (4) do đó (4) có nghiệm duy nhất a = 0
Trả biến có nghiệm của hệ đầu là (x ; y ) = ( 1 ; 1)
VD 3 Hệ phương trình mũ và logarit



HD
ĐK x , y > 0
Phương trình(1) có dạng
(3)
Xét hàm số đặc trưng f(t) = et – t có f’(t) = et - 1 > 0 với mọi t > 0
Do đó f(t) đồng biến khi t > 0
Từ (3) =>
=> x = y
Thay vào (2) ta có
hay

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 2)
VD 4


Giải
ĐK x > - 1 , y > - 1 .
Phương trình(1) của hệ ( ln( 1+ x ) – x = ln( 1 + y ) – y (*)
Xét hàm số f(t) = ln( 1 + t ) – t với t > - 1 có f’(t) =

f’(t) = 0 ( t = 0
hàm số f(t) đồng biến trên ( - 1 ; 0 ) và nb trong (0 ; +
)
Ta có (*) ( f(x) = f(y) . Lúc đó x = y (nếu x , y thuộc cùng một khoảng đơn điệu ) hoặc xy < 0 ( nếu x , y thuộc hai khoảng đơn điệu khác nhau do một khoảng dấu amm , một khoảng dấu dương )
Nếu xy < 0 thì VT của phương trình(2) trong hệ luôn dương . Phương trình vô nghiệm
Nếu x = y , thay vào (2) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0
VD5


HD
Xét hàm số f(t) =
, có f’(t) =

Do đó f( t ) luôn đồng biến
Hệ có dạng

Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y , z nên có thể giả sử


Nếu x > y thì f(x) >