ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Năm 2021
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 5 câu, 01 trang)


Câu 1 (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

b)

Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P > 0.
Câu 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình:

Cho
. Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (4,0 điểm)
Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho
dư 7; chia cho
dư 5;
chia cho
được thương là
và còn dư.
Cho
và
. Chứng minh rằng:


Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M
và trên cạnh BC lấy N sao cho
. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE
1. Chứng minh
vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh

Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:


…………..Hết…………..








HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm 2021
MÔN: TOÁN LỚP: 8
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)



Câu
Đáp án
Điểm













1
(4,0điểm)






1. (2,0 điểm)


a,


0,5




0,25


b,






0,5




0,5




0,25


2. (2,0 điểm)


Điều kiện:

Ta có: P =

=

0,5


=

0,5


=

0,25


=
=

Vậy P =
với

0,25


P > 0 khi 4a > 0 suy ra a > 0

0,25


kết hợp với ĐKXĐ

Vậy P > 0 khi a > 0 và

0,25












2
(4,0điểm)

(2,0 điểm)









Đặt 6x + 7 = y thì phương trình đã cho có dạng:


0,5




0,5



+ Với



0,5



+ Với

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
và



0.5



2.(2,0 điểm)





0,75


Vì
nên

0,75


Dấu ”=” xảy ra khi

Vậy
khi

0,5











3
(4,0điểm)
1. (2,0 điểm)


Vì đa thức
có bậc là 2 nên phần dư khi chia P(x) cho
có dạng



0,5





0,5





0,5




0,5



2. (2,0 điểm)



(1)
Đặt



0,5



 Ta có (1)

Với
+ y + z ≤ 1 và

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

đẳng thức xảy ra

0,5




đẳng thức xảy ra




mà

0,5




đẳng thức xảy ra


(đpcm)
0,5






































4
(6,0 điểm)


0,25


















1. (2,25 điểm):


-Ta có
;
0,25


vì

0