Bài 1. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1
CMR:
.
Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
CMr:
.
Gợi ý:
Bài 1: từ giả thiết suy ra 0 ≤ a, b, c ≤ 1 suy ra a(a-1) ≤ 0 => a2 – a ≤ 0 => 6(a+1) ≥ (a+1)(a+2) + 2(a+2) =>
. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 hoặc a = 1.
Tương tự
;

Cộng ba bất đẳng thức này lại ta có

Dấu bằng xẩy ra khi trong 3 số a, b, c có hai số bằng 0, số còn lại bằng 1.
Bài 2: Từ a+ b + c = 3 ta có :


Sử dụng BĐT (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) ta được (ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab.ac + bc.ab + bc.ca)
Như vậy để chứng minh BĐT * ta chứng minh BĐT mạnh hơn:


BĐT này đúng vì nó tương đương với

Vậy:
. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c = 1.