PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)



Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức

2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:



Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:


2. Tính giá trị của biểu thức: B =

Câu 3. (4,5 điểm)
1. Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x) chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1.
2. Giải phương trình:

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:



là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Câu 5. (5,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI. Tính HI, IM; biết rằng AC= 4/3AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm2
2. Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh tam giác. Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H. Biết diện tích các tam giác ODH, ONE, OMF lần lượt là a2, b2, c2.
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a, b, c
b) Chứng minh S
3(a2 + b2 +c2)

------------------Hết-----------------

Họ và tên học sinh:…………………………………………………SBD:…………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi )

SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019
Môn: TOÁN 9


Đáp án

Ta có






= 5 - 3 = 2

Điều kiện xác định của M là






hoặc





Điều kiện xác định của N là
(*)



(**)

Từ (*) và (**) ta được
là điều kiện xác định của M


Ta có:






Vậy



Theo câu a) Ta có
(*)
Áp dụng (*) ta có:

(Vì
)

Tượng tự
;
;….




Suy ra








x + 1 = 0 (1) hoặc x2 – 4x + 6 = 0 (2)

(1)


(2)
. Do
nên pt này vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là


Vì
là đa thức bậc 2 nên f(x) :
có đa thức dư dạng ax + b

Đặt


Theo đề ra f(x) : (x - 1) dư 7

(1)

 f(x) : (x + 2) dư 1

(2)

Từ (1) và (2)
a = 2 và b = 5.

Vậy f(x) :
được dư là 2x + 5

5x2 + y2 = 17 – 2xy
4x2 + (x + y)2 = 17



vì x2 là số chính phương nên x2 = 0; 1; 4

Nếu x2 = 0
(x + y)2 = 17 (loại)

Nếu x2 = 1
(x + y)2 = 13 (loại)

Nếu x2 = 4
x = 2 hoặc x = - 2
x = 2
(2 + y)2 = 1
y = - 3 hoặc y = - 1.
x = -2
(-2 + y)2 = 1
y = 3 hoặc y = 1.

Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1)


Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b +