SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề


Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A=
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A=

2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .
Chứng minh rằng
Câu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trình: (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm và thoả mãn
2) Giải hệ phương trình:

Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR:
không đổi. b) CMR :
là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR≤

Câu 5( 2,0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

---Hêt—




Hướng dẫn
Câu1.1
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k thì
Với n lẻ n=2k+1


Vậy
hoặc
( với mọi n
thì A chia hết cho 7
Câu2.1
2.2)


Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm
(*)
Mặt khác ta phải có
TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trình

HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ
Đặt
ta có hệ

Hệ có 2 nghiệm

Câu 4.1)



a) theo Pitago

suy ra đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp

Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật

Do đó

Tương tự

Do đó
nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
4.2)


Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam giác vuông ta có
từ đó suy ra đpcm
Cách 2 Ta có theo Pitago

( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky)
Tương Tự

Nên


Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật

Câu 5
Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng:



Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b
Tacó áp dụng BĐT


Tương tự


Từ (1) (2) (3)


Dấu “=” xảy ra khi a=b=c