PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI VÒNG II
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c
Q; a, b, c đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng
bằng bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z.
Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =

Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a
Tính CE.
Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.
----------------------------------------









Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2
Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009
Bài 1: (2 điểm)

=
=
(1đ)

(0.5đ)
=
(0.5đ)
Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)
5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 . 33 . 53 (0.5đ)

5x = 53 ; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ)

x = 3 ; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 . 7 (0.25đ)

x = 3 ; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ)

x = 3 ; y = 4 ; z – y = 1 (0.25đ)

x = 3 ; y = 4 ; z = 5 thoả (*) (0.25đ)
Bài 3: (2 điểm)
A =
=
(0.5đ)
=
(0.5đ)
=

(0.5đ)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
(0.5đ)
Bài 4: (2 điểm)

Gọi số cần tìm là
. Ta có:
và
(0.25đ)

(0.5đ)
Từ
mà
do
mà
(0.5đ)
Ta có
Vậy
(0.5đ)


Bài 5: (2 điểm)
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng 200 và góc đáy bằng 800) nên
(0.5đ)
Và BE = BC = a, suy ra CE =
(0.5đ)
b) Dựng AD
BE, suy ra BD =
AB =
b
ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó
AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ)
Thay vào ta được:

=




(0.5đ)