CHUYÊN Đề 2 - KHảO SÁT VÀ Vẽ Đồ THị HÀM Số
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
Tính lồi lõm của đồ thị:
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
f gọi là lõm trên K nếu

f gọi là lồi trên K nếu



Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
f lõm trên K

f lồi trên K
.



Điểm uốn của đồ thị:
Điểm
được gọi là điểm uốn của đường cong
nếu tồn tại một khoảng
chứa điểm
sao cho một trong 2 khoảng
thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Cho hàm số
có đạo hàm cấp 2 một khoảng
chứa điểm
. Nếu
và
đổi dấu khi x qua điểm
thì
là điểm uốn của đường cong
.
Chú ý:
1) Nếu
thì tung độ điểm uốn tại
là

2) Nếu f lồi trên đoạn
thì GTLN

3) Nếu f lõm trên đoạn
thì GTNN

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:



Bước 1: Tập xác định
- Tập xác định

- Xét tính chẵn, lẻ nếu có.
Bước 2: Sự biến thiên
- Tính các giới hạn
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị
Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3:
có tâm đối xứng là điểm uốn.


Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương:



Đường tiệm cận
- Đường thẳng
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:


- Đường thẳng
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
nếu
hoặc

- Đường thẳng
được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị
nếu
hoặc
.
Chú ý:
1) Nếu chia tách được
và
thì tiệm cận xiên:

2) Biểu thức tiệm cận khi




Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tìm tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
Bước 2: Chiều biến thiên
- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1:
với



Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ:



Chú ý:
1) Từ đồ thị
suy ra các đồ thị:

bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành

bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

bằng cách lấy đối xứng qua gốc

bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối xứng qua trục hoành.

là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung.



2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng

Đưa phương trình về dạng
trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị
. Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị
với đường thẳng
.
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:

- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:


- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:
,

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:








hoặc



2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a)
b)

Hướng dẫn giải
a)
. Ta có



Vậy điểm uốn
, hàm số lồi trên khoảng
và lõm trên khoảng
.
b)
. Ta có

Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên
.
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn