ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT


A. Kiến thức cần nhớ
1. Hệ thức Vi-ét
( Nếu
là hai nghiệm của phương trình
thì:


( Nếu phương trình
có
thì phương trình có một nghiệm là
, còn nghiệm kia là

( Nếu phương trình
có
thì phương trình có một nghiệm là
, còn nghiệm kia là

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
( Nếu hai số đó có tổng bằng
và tích bằng
thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

Điều kiện để có hai số đó là:

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình
(
là ẩn số).
a) Tìm
để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm
để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012)
Giải
Tìm cách giải. Những bài toán liên quan đến dấu của nghiệm phương trình bậc hai bao giờ cũng liên quan đến công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét. Cụ thể là:



( Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghiệm (
) và
thì điều kiện nghiệm chung là:

( Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái dấu (
) và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương (
)
Trình bày lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu


b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có gái trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

.
Vậy với
thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Ví dụ 2: Cho phương trình:
(
là tham số). Tìm
để phương trình có hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuong có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là
(đơn vị độ dài).
Giải
Tìm cách giải. Bản chất của bài toán gồm 2 bước:
( Bước 1. Phương trình có hai nghiệm
dương

( Bước 2. Hai nghiệm
là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là
(đơn vị độ dài) thì thỏa mãn:




Trình bày lời giải
Xét

Phương trình luôn có hai nghiệm
Để hai nghiệm là số đo hai cạnh của tam giác
phương trình có hai nghiệm dương

.
Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là
(đơn vị độ dài)



. Giải ra, ta được:
.
Kết hợp điều kiện, ta được
thỏa mãn
Ví dụ 3: Cho phương trình
(
là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:


(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011 -2012)
Giải
Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi
hay


hoặc
(*)
Theo Vi-ét:



Ta có:


Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:

Vậy







Vậy với
thì

Ví dụ 4: Cho phương trình
(với
là tham số). Tìm
để phương trình đã cho có hai nghiệm
và
thỏa mãn:

(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013)
Giải


* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

* Ta có:

Suy ra:

Từ đó suy ra:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy với
thì phương trình có hai nghiệm
và
thỏa mãn

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của
sao cho phương trình
có đúng 4 nghiệm phân biệt.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013)
Giải


Cách 1. Ta có
(1)


Đặt
phương trình có dạng:
(2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt


Cách 2. Ta có
(1)


Đặt
phương trình có dạng:
(3)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn





Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu