Website:tailieumontoan.com
UBND HUYỆN GIA LÂM
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021.
MÔN: TOÁN
Câu 1.

(2.0 điểm). Cho đa thức
đa thức

Câu 2.

trong đó

cho đa thức

.

cho đa thức
.

b)

.

(2.0 điểm). Cho

với

Tính
Câu 4.

thì được dư là 5, còn chia đa thức

thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức
(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:

a)

Câu 3.

. Biết rằng khi chia

.

.

(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên

, biết
.

Câu 5.

(2.0 điểm). Cho các số
số nguyên tố.

Câu 6.

(2.0 điểm) Cho

Câu 7.

Câu 8.

và

là các số nguyên tố. Chứng minh rằng

là một điểm nằm trong hình chữ nhật

cũng là

sao cho

. Tính độ dài đoạn thẳng
.
(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ
và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình
của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả
các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân
nhiều hơn.

((2.0 điểm) Cho
Hãy biểu diễn

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

, trong đó

và

.

theo

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Câu 9.

(2.0 điểm) Cho các số dương

thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức
Câu 10. (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý
của S là một số chính phương. (Ví dụ
hoặc
là các tập hợp
thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
HẾT

ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
UBND HUYỆN GIA LÂM
NĂM HỌC 2020-2021.
MÔN: TOÁN
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

(2.0 điểm). Cho đa thức
đa thức

trong đó

cho đa thức

. Biết rằng khi chia

thì được dư là 5, còn chia đa thức

cho đa thức

thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức

.

Lời giải
Gọi thương trong phép chia đa thức

cho đa thức

và

lần lượt là

và

Theo đề ra ta có

do với mọi

nên:

- Thay

vào

- Thay
Từ

ta có:

vào
và

ta có:

suy ra
.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Câu 2.

(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:

a)

.

b)

.

Lời giải
a) Điều kiện:
Ta có:

(TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

b) ĐK:

Ta có:

(phương trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Câu 3.

(2.0 điểm). Cho
Tính

Liên
hệ
tài
039.373.2038

.

với

.

.
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Lời giải

Vậy
Câu 4.

.

(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên

, biết
.
Lời giải

Ta thấy

Áp dụng với

ta có:

Khi đó phương trình đã cho

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vậy
Câu 5.

.

(2.0 điểm). Cho các số
số nguyên tố.

và

là các số nguyên tố. Chứng minh rằng

cũng là

Lời giải
- Xét

thì

- Xét

thì

(loại). Vì
(nhận). Vì

Suy ra,

(nhận). Vì

- Xét

không là số nguyên tố.
là số nguyên tố.

là số nguyên tố.

.

Vì

là số nguyên tố nên

Mà

suy ra

Từ (1), (2) suy ra

không chia hết cho

(1).

là số chính phương (2).
chia cho

dư .

chia hết cho 3. (3)
Mặt khác,

(4)

Từ (3), (4) suy ra
Vậy
Câu 6.

là hợp số (trái với đề bài).

thỏa mãn bài toán.

(2.0 điểm) Cho

là một điểm nằm trong hình chữ nhật
. Tính độ dài đoạn thẳng

sao cho
.

Lời giải

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Qua

kẻ đường thẳng

Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có:

Ta chứng minh được

.
Câu 7.

(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ
và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình
của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả
các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân
nhiều hơn.
Lời giải
Gọi số bác sỹ là

(người)

Nhiệt độ trung bình của các bác sỹ là
Số bệnh nhân là

(độ)

(người)

Nhiệt độ trung bình của bệnh nhân là

(độ)

Theo đề bài ta có:

Mà

khác

nên

Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau.

Câu 8.

(2.0 điểm) Cho
Hãy biểu diễn

, trong đó

và

.

theo
Lời giải

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vẽ tam giác

vuông tại

có

Khi đó số đo góc chính là số đo
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác
ta có:

Khi đó ta có
Câu 9.

(2.0 điểm) Cho các số dương

thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

.

Tương tự ta có:

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy

Liên
hệ
tài
039.373.2038

.

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Câu 10. (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý
của S là một số chính phương. (Ví dụ
hoặc
là các tập hợp
thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
Lời giải
Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho
Xét tập


Nếu

là các số lẻ thì

và

.

,
.

Suy ra

là số chẵn (mâu thuẫn với

Nếu

là các số lẻ và

Suy ra

liệu

lẻ).

chẵn thì

Khi đó

Liên
hệ
tài
039.373.2038

dư .

thỏa yêu cầu.

Khi đó



hoặc chia cho

,

.

.
là số chẵn (mâu thuẫn với

word

môn

toán:

lẻ).

Tài liệu toán học