PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN


Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)



Câu 1. (2.0 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau: A =
;
B =

b. Tìm
biết:

Câu 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau :
a.

b.

Câu 3. (2.0 điểm)
a. Tính giá trị của Q =
biết
và

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

c. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

Câu 4. (3.0 điểm)
Cho
ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH, CH.
Chứng minh MD // NE.
Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH.
Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất?
Câu 5. (1.0 điểm). Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có hình tròn bán kính R =
chứa toàn bộ đa giác đó.

Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................



PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN 9

Câu
Ý
Nội dung
Điểm

Câu 1
a
A =
=

B2 =
= 4 - 2
= 4 -2(
) = 6 - 2
= (
- 1)2. vì B < 0 nên B = 1-

0.5


0.5


b



. Vì x; y nguyên mà
(y; y+1) = 1 nên (y+1)2 là ước của 4
y +1 = 2, 0, 1, -1, -2; suy ra y = 1; -1; 0; -2 -3 từ đó HS tìm x tương ứng
0. 5


0.5

Câu 2
a
ĐK:
hay
.




thỏa mẫn ĐK vậy nghiệm phương trình là x = 1
0.5

0.5


b

ĐK
hoặc

Đặt

Ta có m – n = m2 – n2
(m - n)(m + n – 1) = 0 nên m= n hoặc m = 1- n từ đó HS tìm được x rồi đối chiếu ĐK để kết luận
0,25

0,25
0.25
0.25

Câu 3
a
Ta có:

x2 – y2 – y2 – xy = 0
(x + y)(x – 2y) = 0 suy ra: x = 2y
ta có Q = 1/3
0.25
0.25


b
M =
= (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 – y +1/4 – 1/4
M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4
-1/4. Vậy min M = -1/4 khi x = y = 1/2
0,25
0,5


c
Ta có:

Tương tự
và
Cộng vế với vế ta có




0.5


0.25

Câu 4



0.25


a
Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang
HS chứng minh MD
DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc OHD)
Tương tự: NE
DE
Suy ra: MD // NE
0.25
0.25
0.25
0.25


b

Kẻ MK
AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AH2 = HB.HC suy ra

. Vậy
suy ra góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH.
0.25

0.5



0.25


c
Ta có

= 2R2. Vậy SAMN nhỏ nhất bằng 2.R2 khi HB = HC hay tam giác ABC vuông cân
0.5