TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2021 – 2022
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
.
Rút gọn biểu thức
với

b) Cho
là ba số thực dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng:


Bài 2.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình

b) Cho
là ba số thực dương thỏa mãn
.
Chứng minh rằng:

Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho
Tìm tất cả các số tự nhiên
để
là số nguyên tố.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 4.(3,0 điểm)
1.Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng MN cắt AB, AH,AC lần lượt tại I, E, K
a) Chứng minh rằng BM vuông góc với AN.
b) Chứng minh rằng

2. Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE của đường tròn (O;r); AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng

Bài 5.(1,0 điểm)
Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu gọi là tam giác đơn sắc. Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông đồng dạng với nhau theo tỉ số
.

----- Hết -----

Họ tên thí sinh:……………….………………...Số báo danh: …………..................................
Cán bộ coi thi 1:……….………...…..................Cán bộ coi thi 2:.....………..……..…….........



TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG



KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2021 – 2022
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 9



Bài
Đáp án
Điểm

1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)




0,25




0,25




0,25


Vì
nên

Vậy

0,25


b) (1,0 điểm)


Ta có:
Khi đó

Tương tự:

0,25



Với a, b, c là ba số thực dương, ta có:



0,25


Tương tự:

0,25


Do đó


0,25

2
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)


ĐKXĐ:
Đặt
ta có:

và

0,25


Suy ra

0,25



(TMĐK)
0,25




PT(1) vô nghiệm vì:

và

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất

0,25


b) (1,0 điểm)


Với
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có:


0,25




0,25


Mà
. Do đó:



0,25


Vậy ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
0,25

3
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)




0,25





0,25


Vì
là số tự nhiên nên
Như vậy muốn
là số nguyên tố thì ta phải có

0,25


Khi đó
là số nguyên tố .
0,25


b) (1,0 điểm)





Mà



0,25


Vì x, y nên ta xét các trường hợp sau:
TH1:




Với
, ta có

;
(nhận)
TH2:



(loại)
0,25


TH3:


(loại)
TH4.

Với
, ta có:


;
(nhận)
0,25


Vậy nghiệm nguyên (x;y) của PT là:

;
;
;
;
;

0,25

4
(3,0 điểm)
1a) (1.0 điểm)
/


Gọi F là giao điểm của BM và AN, ta có:
cùng phụ với

0,25




0,25