SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ
_________________ KHÓA THI NGÀY 10/6/2020
Mônthi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thờigianlàmbài: 120 phút
(Đềthigồm 01 trang) (Khôngkểthờigianphátđề)

Bài 1.(4điểm)
Cho cácsố thực a, b, c thỏamãnđiềukiện  
a) Cho a = 1, hãy tìm b, c.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.
Bài 2.(3 điểm)
Cho basốdương x, y, z thỏađiềukiện x + y + z = 3.. Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: 
P =
.
Bài 3. (4điểm)
Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, AB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
BM =
BC; AN =
AB.
a) Chứng minh MN vuông góc với BC.
b) Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính góc BIC.
Bài 4. (3điểm)
Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và c
0. Chứng minh rằng nếu phương trình
x2 + ax + bc = 0 và phương trình x2 + bx + ca = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm
khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = 0.
Bài 5. (4điểm) Cho tam giác ABC vuôngtại A (AB < AC) cóđườngcao AH. Đườngtròntâm H bánkính
HA cắtcạnh AC tại D. Đườngthẳng qua
D vuônggócvới AC cắt BC tại E.
a) Chứngminh BH = HE.
b) Đườngthẳng qua E vuônggócvới BC cắtđườngtròn (H) tại K, L. Chứngminh CK, CL làcác
tiếptuyếncủa (H).
Bài 6. (2 điểm)
Gọi S là tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng
minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021.
GỢI Ý
Bài 1.
 (1)
a) Với a = 1, từ (1) ta có:
. Thế vào
ta được: 2b2– b – 1 = 0
Tính được b = c = 1 hoặc b = –
và c = – 2.
b)

* Giả sử a > b ( a – b > 0, từ (*) 0 c < b (do b, c > 0) ( b – c > 0, từ (**)
0 a < c(do a, c > 0) mà c < b(cmt)
( a < b(mâu thuẫn với a > b). Vậy điều giả sử sai.
* Giả sử a < b. Chứng minh tương tự, ta có a > b(mâu thuẫn với a < b).
Do đó a = b và từ b = c.
Bài 2.x, y, z > 0; x + y + z = 3 ( y + z = 3 – x
Chứng minh
với a, b > 0.Dấu “=” xảy ra (a = b.
Áp dụng , ta có:

(do xy + xz > 0 nên
).Dấu “=” xảy ra

Bài 3. a) Chứng minh MN ( BC.
Chứng minhBM =
BC =
AB = AN; BN =
AB =
BC = CM
• Vẽ NS // AC (S
BC) ((NBS đều( BS = BN
( MS = BS – BM = BN – BM =
BC–
BC =
BC = BM
( NM là trung tuyến của(NBS đều( MN ( BC.
b) Tính
.
(AMCCNB(c.g.c) yttưtứ giác BNIM nội tiếp
900.
Bài 4. x2 + ax + bc = 0 (1), x2 + bx + ca = 0 (2), x2 + cx + ab = 0 (3)
•Gọi x0, x1 là nghiệmcủa (1) và x0, x2 là nghiệmcủa (2) (với x0 là nghiệm chung
và x1 (x2 :do (1) và (2) cóđúng mộtnghiệmchung)
• Ta có:

(do a, b, c là ba số đôi một khác nhau nên a ( b0). Từ (1), ta có:c2 + ac + bc = 0
( a + b + c = 0 (*)(do c( 0)
• Theo hệ thức Viète, từ (1) và (2), ta có:
và
mà 0 nên x1 = b và x2 = a.
• Từ x1= b và từ (3): b2 + cb + ab = b(b + c + a) = b.0 = 0 nên x1 =