MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY

A.
●

MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng

cách giải nhanh hơn.

●

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì

vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu
cầu trình bày phần này.

●

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng

thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

●

Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên.

●

Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó

bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trị cụ thể.

B.

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I.

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Cho n số thực không âm

a1 ,a 2 ,.. .,a n , n∈ Z ,n≥2 , ta luôn có:
n

a1 +a2 +.. .+an ≥n . √ a1 . a2 . .. a n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

II.

a1 =a 2=. . .=a n

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1.

Kỹ thuật tách ghép bộ số

1.1

Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

( a+b ) ( b+c ) ( c+a )≥8 abc

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

( a+b ) ( b+c ) ( c+a )≥2 √ ab .2 √bc .2 √ ac=8 abc

(đpcm)

Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:

√ ac+ √bd ≤√ ( a+b )( c+d )
1
nmh369358@gmail.com

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

√ ac+ √ bd

√

√

a
c
b
d
.
+
.
( a+b ) ( c +d )
( a+ b ) ( c+ d )
√ ( a+b ) ( c +d )
1 a
c
1 b
d
1 a+b c +d
¿
+
+
+
=
+
=1
2 a+b c+ d
2 a+b c +d
2 a+b c +d
=

(

) (

) (

⇒ √ ac + √ bd≤√ ( a+b ) ( c+d )
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

{a>c¿¿¿¿

)

(đpcm)

. Chứng minh rằng:

√ c ( a−c ) +√ c ( b−c )≤√ ab
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

√ c ( a−c ) + √ c ( b−c ) =
√ ab
1
2
1
¿
2
¿

1
+ (
(cb +a−c
)
a
2
(cb +1−ca )+12 (

√

√

c ( a−c )
c ( b−c )
.
+
.
b a
a b
c b−c
+
a b
c
c
+ 1− =1
a
b

⇒ √ c ( a−c )+ √ c ( b−c )≤ √ab

)
)

(đpcm)

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

3

1+ √ abc≤√ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c )
3

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3

1+ √ abc

√ ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c )
3

1
3
1
¿
3
¿

≤

√
3

√

1
1
1
b
c
3 a
.
.
+
.
.
( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+ c ) (1+ a ) ( 1+b ) ( 1+c )

(11+ a +11+b + 11+c )+13 (a1+a + b1+ b +c1+c )
1+c
+
=1
(1+1+ aa +1+b
1+b 1+c )
3

⇒1+ √ abc≤ √( 1+a )( 1+b )( 1+c )
3

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

{a≥1¿¿¿¿

(đpcm)

. Chứng minh rằng:

2
nmh369358@gmail.com

a √ b−1+b √ a−1≤ab
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1
ab
a √ b−1=√ a √ ab−a≤ ( a+ab−a )=
2
2
Tương tự:

b √ a−1≤

ab
2

(1)

(2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

a √ b−1+b √ a−1≤ab

(đpcm)

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:

2

16 ab ( a−b ) ≤( a+b )

4

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

[

] [ ]
2

2

4 ab+ ( a−b )2
( a+b )2
2
2
16 ab ( a−b ) =4 . ( 4 ab ) ( a−b ) ≤4 .
=4 .
=( a+b )4
2
2

(đpcm)

Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a ( 1+b ) + b (1+ c )+ c ( 1+a )≥3 √ abc ( 1+ √abc )
3

3

Giải:
Ta có:

a ( 1+b ) +b (1+c )+c ( 1+a )=( a+b+c ) + ( ab+bc+ca )
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a+b +c≥3 √3 abc

ab+bc+ca≥3 √ ( abc )2
3

⇒ ( a+b+c ) + ( ab+bc+ca ) ≥3 √ abc+3 √ ( abc ) =3 √ abc ( 1+3 √ abc )
3

3

3

2

⇒ a ( 1+b ) +b ( 1+c ) +c (1+ a )≥3 √ abc ( 1+ √ abc )
3

Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:

3

3

(đpcm)

a b
ab+ + ≥a+b+1
b a

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

(

)(

)(

a b ab a
ab b
a
b
ab+ + =
+
+
+
+
+
b a
2 2b
2 2a
2b 2a

)
3

nmh369358@gmail.com

¿2

√

√

√

ab a
ab b
a b
. +2
. +2
. =a+b +1
2 2b
2 2a
2b 2a
a+b +c=10

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

. Tìm GTLN của:

(đpcm)

2

3 5

A=a b c

Giải:
Ta có:

√( ) ( ) ( )

2
a a b b b c c c c c
10 a
b 3 c
10=a+b+c= + + + + + + + + + ≥10
.
.
2 2 3 3 3 5 5 5 5 5
2
3 5

⇒

√( ) ( ) ( )

10

()()()

5

a 2 b 3 c 5
a 2 b 3 c 5
.
.
≤1 ⇒
.
.
≤1⇒ a 2 b3 c 5 ≤2 2 3 3 55 =337500
2
3 5
2 3
5

Dấu “=” xảy ra

⇔¿

{

a
b
c
= = ¿¿¿
2
3
5

Vậy GTLN của A là 337500.

1.2

Kỹ thuật tách nghịch đảo

Bài 1: Chứng minh rằng:

a b
+ ≥2 , ∀ a,b> 0
b a

Giải:
Vì

a,b> 0

a
b
>0 ,
>0
b
a

nên

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

√

a b
a b
+ ≥2 . =2
b a
b a
Bài 2: Chứng minh rằng:

a+

(đpcm)

1
≥3 , ∀ a>1
a−1

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a+

√

1
1
1
=a−1+
+1≥2 ( a−1 )
+1=2+1=3
a−1
a−1
a−1

Bài 3: Chứng minh rằng:

2

a +2

√a 2+1

(đpcm)

≥2 , ∀ a∈ R

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

4
nmh369358@gmail.com

a2 +2

=

a2 +1+1

√a 2 +1 √ a 2 +1
Bài 4: Chứng minh rằng:

= √ a 2 +1+

1

√ a2 +1

2

≥2

√

√ a2 +1

1

√a 2 +1

=2

(đpcm)

3a
1
≤ , ∀ a≠0
4 2
1+9 a

Giải:
Với

∀ a≠0

, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

3a
1
1
1
1
=
=
≤
=
4
4
1
2
1+ 9 a
1 9a
+ 3 a2 2 1 .3 a2
+ 2
2
2
2
3a
3a 3 a
3a

√

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(

(đpcm)

)

2

a2
A= ( a+1 ) +
+2 , ∀ a≠−1
a+1
2

Giải:

(

)

2

a 2 +2 a+2
A= ( a+1 ) +
a+1
2

[

]

( a+1 )2 +1
¿ ( a+1 ) +
a+1
1
¿ ( a+1 )2 + a+1+
a+1
2

(

2

¿ 2 ( a+1 ) +

)

2

Cauchy

1
+2 ¿
( a+1 )2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy GTNN của

2

2 ( a+1 )2 =

√

2 2 ( a+1 )

1
( a+1 )2

hay

21

( a+ 1 )2

+2=2 √ 2+2

4

−2±√ 8
a=
2

A=2 √ 2+2

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A=a+

2
, ∀ a>0
a2

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

A=a+

√

√

2 a a
1
a a
1
3 1
33
= + +
≥3 . 3 . .
=3 = √ 4
2
2 2
a a
2 2
a 2 2 2. a . a
2. .
2 2
2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy GTNN của

A=

a 2
=
2 a2

hay

3

a=√ 4

33
√4
2
5

nmh369358@gmail.com

Bài 7: Chứng minh rằng:

a+

1
≥3 , ∀ a>b>0
b( a−b )

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a+

√

1
1
1
3
=b+ ( a−b ) +
≥3 b . ( a−b ) .
=3
b ( a−b )
b ( a−b )
b ( a−b )

Bài 8: Chứng minh rằng:

a+

4
≥3 , ∀ a>b>0
( a−b ) ( b+1 )2

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a+

( b+ 1 ) ( b+1 ) 1
4
=( a−b ) +
+
+
−1
2
2
2
( b+1 ) ( b+1 )
( a−b )( b+1 )
( a−b )
2
2

√

≥4 . 4 ( a−b ) .

1.3

Kỹ thuật ghép đối xứng

( b +1 ) ( b+ 1 ) 1
.
.
−1=3
2
2
( b+1 ) ( b+ 1 )
( a−b )
2
2

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:

Phép nhân:

{

a+b+c=

a+b b+c c+a
+ + ¿ ¿¿¿
2 2 2

{abc=√ab √bc √ca, (a ,b,c≥0 ) ¿¿¿¿

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:

bc ca ab
+ + ≥a+b +c
a b c

Giải:
Ta có:

(

) (

) (

bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc
+ + =
+
+
+
+
+
a b c
2 a b
2 b c
2 c a
¿

√

√

√

)

bc ca
ca ab
ab bc
. +
. +
. =a+b+c
a b
b c
c a

Bài 2: Cho ba số thực

. CMR:

abc≠0

a2 b2 c 2 b c a
+ + ≥ + +
b2 c 2 a2 a b c

Giải:
6
nmh369358@gmail.com

Ta có:

(

) (

) (

a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 1 b 2 c 2 1 c2 a 2
+ + =
+ +
+
+
+
b2 c 2 a 2 2 b2 c 2 2 c 2 a 2 2 a 2 b2
≥

√ √

√

)

a2 b 2 b 2 c2
c 2 a2 b c a b c a
+
.
+
. 2 =| |+| |+| |≥ + +
2 2
2
2
2
a b c a b c
b c
c a
a b

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa

abc=1

. CMR:

b+c c +a a+b
+
+
≥√ a+ √ b+ √ c +3
√a √b √c
Giải:

b+ c c+ a a+ b 2 √ bc 2 √ ca 2 √ ab
+
+
≥
+
+
=2
√ a √b √ c √ a
√b
√c
¿

( √ √ ) (√ √ ) (√ √ )
bc
ca
+
+
a
b

ca ab
+
+
b
c

ab
bc
+
c
a

(√ bca +√ cab + √abc )

√√ √ √ √ √ √ √ √

bc ca
ca ab
ab bc
+2
+2
a b
b c
c
a
¿ 2 ( √ a+ √ b+ √ c )=( √a+ √ b+ √ c )+ ( √ a+ √ b+ √ c )
¿2

3

¿ √ a+ √ b+ √ c +3 √ √ a √b √c= √ a+ √ b+ √ c +3
Vậy

b+c c +a a+b
+
+
≥√ a+ √ b+ √ c +3
√a √b √c

Bài 4: Cho

Δ ABC , AB=c , BC=a ,CA=b , p=

a+b+c
2

. CMR:

1
( p−a ) ( p−b ) ( p−c )≤ abc
8
Giải:
Ta có:

7
nmh369358@gmail.com

Bài 5: Cho

Δ ABC , AB=c , BC=a ,CA=b , p=

a+b+c
2

. CMR:

(

1
1
1
1 1 1
+
+
≥2 + +
p−a p−b p−c
a b c

)

Giải:
Ta có:

(

) (

) (

1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
+
+
=
+
+
+
+
+
p−a p−b p−c 2 p−a p−b 2 p−b p−c 2 p−c p−a
1
1
1
¿
+
+
√ ( p−a )( p−b ) √ ( p−b ) ( p−c ) √ ( p−c ) ( p−a )
1
1
1
¿
+
+
( p−a ) + ( p−b ) ( p−b ) + ( p−c ) ( p−c ) + ( p−a )
2
2
2
1 1 1
¿2 + +
a b c

(

)

)

1.4

Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo

Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với

n∈ N

¿

và

x 1 , x 2 , ... , x n >0

(

1

thì

1

1

)

2
( x 1+ x 2 +. ..+x n ) x + x +..+ x ≥n
1
2
n
Chứng minh bất đẳng thức trên :
Ta có với

x 1 , x 2 , . .. , x n >0

( x 1 + x 2+. ..+ x n )
Với

n=3

và

(

thì

)

√

1 1
1
1
n
n
+ +..+ ≥n √ x1 x 2 . .. x n . n
=n 2
x1 x2
xn
x1 x 2 . .. x n

x 1 , x 2 , x 3 >0

(

1

thì

1

1

)

( x 1 + x 2+ x 3 ) x + x + x ≥9
1
2
3
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:

b+c c +a a+b
+
+
≥6
a
b
c

Giải:
Ta có:

8
nmh369358@gmail.com

(

)(

)(

)

b+ c c+ a a+ b
b +c
c +a
a+ b
+
+
= 1+
+ 1+
+ 1+
−3
a
b
c
a
b
c
a+b+c b+c +a c+ a+b
=
+
+
−3
a
b
c
1 1 1
=( a+b+c ) + + −3≥9−3=6
a b c

(

)

Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c +a a+b 2
(Bất đẳng thức Nesbit)

Giải:
Ta có:

(

)(

)(

)

a
b
c
a
b
c
+
+
= 1+
+ 1+
+ 1+
−3
b+ c c+ a a+ b
b +c
c +a
a+ b
a+b+c b+c +a c+ a+b
=
+
+
−3
b+ c
c+ a
a+b
1
1
1
=( a+b+c )
+
+
−3
b+c c +a a+b
1
1
1
1
= [ ( b+ c )+ ( c+ a ) + ( a+ b ) ]
+
+
−3
2
b+ c c +a a+b
9
3
¿ −3=
2
2

(

(

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:

2

)

2

)

2

c
a
b
a+b+ c
+
+
≥
a+b b+c c + a
2

Giải:

(

)(

)(

)

c2
a2
b2
c2
a2
b2
+
+
= c+
+ a+
+ b+
−( a+b+ c )
a+b b+c c + a
a+ b
b+ c
c+a

( a+c b )+a(1+ b+ca )+b (1+ c+ab )−( a+b+ c )
a+ b+c
b+c +a
c +a+ b
=c (
+ a(
+b (
−( a+b +c )
)
)
a+b
b+c
c +a )
c
a
b
=( a+b+c ) (
+
+
−( a+ b+c )
a+ b b+ c c +a )
c
a
b
¿ ( a+b +c ) (
+
+
−1)
a+b b+c c+ a
=c 1+

Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c +a a+b 2
9
nmh369358@gmail.com

Do đó

2

2

( )

2

c
a
b
3
a+b+ c
+
+
≥( a+b+c ) −1 =
a+b b+c c + a
2
2
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa

a+b +c≤1

(đpcm)

. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1
1
1
+ 2
+ 2
≥9
a +2 bc b +2 ca c + 2 ab
2

Giải:
Do

a+b +c≤1

ta có:

(

)

1
1
1
1
1
2 1
+ 2
+ 2
≥( a+ b+c ) 2
+ 2
+ 2
2
a +2 bc b +2 ca c +2 ab
a +2 bc b +2 ca c +2 ab
1
1
1
2
2
2
= ( a + b + c +2 ab+2 bc+ 2 ac ) 2
+ 2
+ 2
a +2bc b +2 ca c +2 ab
1
1
1
2
2
2
=[ ( a +2 bc ) + ( b + 2 ac ) + ( c +2 ab ) ] 2
+ 2
+ 2
≥9
a +2 bc b +2 ca c +2 ab

(

2.

(

)

)

Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và
dễ nhận biết hơn.
Bài 1: Cho

Δ ABC , AB=c , BC=a,CA=b .

CMR:

( b+c−a ) ( c +a−b ) ( a+b−c ) ≤abc
Giải:
Đặt:

(1)

{b+c−a=x¿{c+a−b=y¿ ¿

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

x . y . z≤

x+ y y +z z+x
.
.
2
2
2

Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

x, y ,z>0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

x + y y+ z z+ x
.
.
≥√ xy . √ yz √ zx =xyz
2
2
2
Hay

( b+c−a ) ( c +a−b ) ( a+b−c ) ≤abc

(đpcm)
10

nmh369358@gmail.com

Bài 2: Cho

Δ ABC , AB=c , BC=a,CA=b .

CMR:

a
b
c
+
+
≥3
b+c−a c +a−b a+b−c

(1)

Giải:
Đặt:

{ b + c −a = x > 0 ¿ { c + a − b = y > 0 ¿ ¿

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

y+z z+x x+ y
+
+
2x 2 y 2 z
Ta có:

( ) ( ) ( )

y +z z+ x x + y 1 y x 1 z x 1 z y
+
+
=
+ +
+ +
+
2x 2 y 2z
2 x y 2 x z 2 y z
≥
Hay

a
b
c
+
+
≥3
b+c−a c +a−b a+b−c

Bài 3: Cho

Δ ABC , AB=c , BC=a,CA=b .
2

√

√ √

2 y x 2 z x 2 z y
. +
. +
. =3
2 x y 2 x z 2 y z
(đpcm)

CMR:

2

2

a
b
c
+
+
≥a+ b+c
b+c−a c +a−b a+b−c
Giải:
Đặt:

(1)

{ b + c −a = x > 0 ¿ { c + a −b = y > 0 ¿ ¿

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

( y + z )2 ( z+ x )2 ( x+ y )2
+
+
≥x + y + z
4x
4y
4z
11
nmh369358@gmail.com

( y + z )2 ( z + x )2 ( x + y )2 yz zx xy 1
+
+
≥ + + =
4x
4y
4z
x y z
2
yz zx
≥
. +
x y

Ta có:

2

2

2

a
b
c
+
+
≥a+ b+c
b+c−a c +a−b a+b−c
Bài 4: Cho

√

(

√

) (

) (

yz zx 1 zx xy 1 xy yz
+
+
+
+
+
x y 2 y z
2 z x

√

)

Hay

zx xy
xy yz
. +
. = z+ x + y
y z
z x

(đpcm)

Δ ABC , AB=c , BC=a ,CA=b , p=

a+b+c
2

. CMR:

1
1
1
p
+
+
≥
2
2
2
( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) ( p−a ) ( p−b ) ( p−c )

(1)

Giải:
Ta có:

p−a=

b+c −a
>0
2

Tương tự:

p−b >0
p−c>0

{ p−a=x>0 ¿ { p−b=y>0¿¿¿¿

Đặt:

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

1 1 1 x+ y+z
+ + ≥
xyz
x2 y2 z2
Ta có:

(

) (

) (

1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1
+ 2 + 2=
+ 2 +
+ 2 +
+
2
2
2
2 x
2 y
2 z2 x2
x
y
z
y
z
¿

√

√

√

1 1
1 1
1 1
1
1
1
x+ y+ z
. 2+
. 2+ 2 2=
+
+
=
2
2
xy yz zx xyz
x y
y z
z x

1
1
1
p
+
+
≥
( p−a )2 ( p−b )2 ( p−c )2 ( p−a ) ( p−b ) ( p−c )

Hay

)

Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c +a a+b 2

(đpcm)

(1)

Giải:

12
nmh369358@gmail.com

{b+c=x¿{c+a=y¿¿¿

Đặt:

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:

y + z −x z +x− y x+ y −z 1
+
+
≥
2x
2y
2z
2

( ) ( ) ( )

y +z−x z+x− y x + y−z 1 y x 1 z x 1 z y 3
+
+
=
+ +
+ +
+ −
2x
2y
2z
2 x y 2 x z 2 y z 2

Ta có:

≥
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c +a a+b 2

Hay

Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa

√

√

(đpcm)

( a+c ) ( b+c )=1

. CMR:

1
1
1
+
+
≥4
( a−b )2 ( a+c )2 ( b+c )2

Giải:
Đặt:

√

2 y x 2 z x 2 z y 3 3
. +
. +
. − =
2 x y 2 x z 2 y z 2 2

(1)

{a+c=x¿¿¿¿

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

1
1 1
+ 2 + 2 ≥4
2
( x− y ) x y
Ta có:

13
nmh369358@gmail.com

1
1 1 1
2
2 1
+
+
=
+
x
+
y
= 2
+ x 2+ y 2
2
2
2
2
2
( x− y ) x y ( x− y )
x −2 xy + y
1
1
¿ 2
+ ( x 2 + y 2 −2 ) +2≥2 2
. ( x2 + y 2 −2 ) +2=4
2
2
x −2+ y
x −2+ y

√

1
1
1
+
+
≥4
2
2
( a−b ) ( a+c ) ( b+c )2

Vậy

(đpcm)

Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

xyz=1

.

Tìm GTNN của biểu thức:

2
2
2
x ( y +z )
y ( z+x )
z ( x+ y )
A=
+
+
y √ y+2 z √ z z √ z+2 x √ x x √ x+2 y √ y
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

x2 .2 √ yz
y 2 .2 √ zx
z 2 .2 √ xy
A≥
+
+
y √ y+2 z √ z z √ z+2 x √ x x √ x+2 y √ y
2x √ x √ xyz 2 y √ y √ yzx 2z √ z √ zxy
≥
+
+
y √ y+2 z √ z z √ z+2 x √ x x √ x+2 y √ y
2x x
2y y
2z z
≥ √
+ √
+ √
y √ y+2 z √ z z √ z+2 x √ x x √ x+2 y √ y
Đặt:

{a=y√y+2z√z¿{b=z√z+2x√x¿¿¿¿

Khi đó

A≥
¿

(

2 −2 a+4 b+c a−2 b+4 c 4 a+b−2 c
+
+
9 a
b
c

[ (

)(

2
b a c c a b
−6 +4 + + + + +
9
a c b a b c
≥

√

(

)]

)

√ )

2
2
3b a c
3c a b
−6+4 . 3. . . +3 . . . = (−6+12+3 )=2
9
a c b
a b c 9

Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=c=1

Vậy GTNN của A là

2
14

nmh369358@gmail.com

3.

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

●

Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm

●

Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

3.1

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biến

Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực

. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

a≥2
Sai lầm thường gặp là:

√

1
1
A=a+ ≥2 a . =2
a
a

Lời giải đúng:

1
a

. Vậy GTNN của A là 2.

1
⇔a= ⇔ a=1
a

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2

A=a+

vô lý vì theo giả thuyết thì

.

a≥2

√

1 a 1 3a
a 1 3a
3 .2 5
A=a+ = + + ≥2 . + ≥1+
=
a 4 a 4
4 a 4
4 2

Dấu “=” xảy ra

a 1
⇔ = hay a=2
4 a

Vậy GTNN của A là

5
2

.

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi
dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số

và

a

1
a

a=2

. Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi

vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách

hoặc

a

“=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

( )
a 1
,
α a

sao cho tại “Điểm rơi

” thì

a=2

1
a

a=2

” . Ta không thể áp

để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu

a 1
=
α a

, ta có sơ đồ sau:

{

a 2
a=2⇒ ¿ = ¿ ¿¿
α α
Khi đó:

1 a 3a 1
A=a+ = + +
a 4 4 a

và ta có lời giải như trên.

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số

( αa , 1a )

ta có thể chọn các các cặp số sau:

(αa , 1a ) (a , αa ) (a , αa1 )
hoặc

hoặc

.

15
nmh369358@gmail.com

Bài toán 2: Cho số thực

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

a≥2
Sơ đồ điểm rơi:

{

A=a+

1
a2

a 2
a=2⇒ ¿ = ¿ ¿ ¿
α α
Sai lầm thường gặp là:

Vậy GTNN của A là

√

9
4

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

Lời giải đúng:

Dấu “=” xảy ra

√

√

a 1 7a
a 1 7a
1 7a
1 7. 2 9
A= + 2 + ≥2
. 2+ =
+ ≥
+
=
8 a
8
8 a
8
2a 8
2 .2 8
4

9
4

là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “

√

. Dấu “=” xảy ra

.

⇔a=2

a≥2⇒

√ √

1
1
≥
2a
2. 2

là sai”.

a a 1 6a
a a 1 6a 3 6.2 9
A= + + 2 + ≥3 . 3 . . 2 + ≥ +
=
8 8 a
8
8 8 a
8 4 8
4
⇔a=2

Vậy GTNN của A là

9
4

Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

. Tìm GTNN của

a+b≤1

A=ab+

1
ab

Phân tích:

( )

a+ b 2 1
ab≤
≤
2
4

Ta có:

Sơ đồ điểm rơi:

{

1
ab 1
ab= ⇒¿ = ¿ ¿¿
4
α 4α
Giải:
Ta có:

( )

a+b 2 1
ab≤
≤
2
4
1
⇒−ab≥−
4

16
nmh369358@gmail.com

A=16 ab+
Dấu “=” xảy ra

√

1
1
1 17
−15 ab≥2 16 ab −15 ab≥8−15 . =
ab
ab
4 4

1
1
⇔ ab= ⇔ a=b=
4
2

Vậy GTNN của A là

17
4

Bài 2: Cho số thực

. Tìm GTNN của

a≥6

A=a2 +

18
a

Phân tích:
Ta có

A=a2 +

18
9 9
=a 2 + +
a
a a

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi

a=6

{

. Ta có sơ đồ điểm rơi:

a2 36
a=6 ⇒¿ = ¿ ¿ ¿
α α
Giải:

√

2
a2 9 9 23 a2
3 a
9 9 23 a2
A= + + +
≥3
. . +
24 a a 24
24 a a 24
9 23 . 36
¿ +
=39
2 24

Ta có:

Dấu “=” xảy ra

⇔

2

a
9
= ⇔ a=6
24 a

Vậy GTNN của A là 39
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a+2 b+3 c≥20

. Tìm GTNN của

3 9 4
A=a+b+ c+ + +
a 2b c
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi
Sơ đồ điểm rơi:

a+2 b+3 c=20

,tại điểm rơi

a=2 ,b=3 , c=4

.

{

a 2
a=2⇒ ¿ = ¿ ¿ ¿
α α
17
nmh369358@gmail.com

{
c 4
c=4⇒¿ { = ¿ ¿¿
γ γ

b=3⇒ ¿

b 3
= ¿ ¿¿
β β

(

)(

Giải:

A=

√

)(

)

3a 3
b 9
c 4 a b 3c
+ + +
+ + + + +
4 a
2 2b
4 c 4 2 4

√

√

3a 3
b 9
c 4 a+ 2b +3 c
. + 2 . +2
. +
4 a
2 2b
4 c 4
¿ 3+3+2+5=13
¿2

Dấu “=” xảy ra

⇔ a=2 , b=3 , c=4

Vậy GTNN của A là

13

Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa

{ab≥12¿¿¿¿

. Chứng minh rằng:

( a+b +c ) +2

(

)

1 1 1
8 121
+ +
+
≥
ab bc ca abc 12

Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi

{ab=12¿¿¿¿

,tại điểm rơi

.

a=3 , b=4 , c=2

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

√

a b 2
3a b
2 1
+ + ≥3
. . =
18 24 ab
18 24 ab 2
a c 2
3a c 2
+ + ≥3 . . =1
9 6 ca
9 6 ca

√

√

b c 2
3b
c 2 3
+ + ≥3
. . =
16 8 bc
16 8 bc 4
a c b 8
8
4
4a c b
+ + +
≥4 . . .
=
9 6 12 abc
9 6 12 abc 3

√

18
nmh369358@gmail.com

13 a 13 b
+
≥2
18 24
13 b 13 c
+
≥2
48 24

√
√

13 a 13 b
.
≥2
18 24
13 b 13 c
.
≥2
48 24

√
√

13 13
13
. . 12=
18 24
3
13 13
13
. . 8=
48 24
4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

( a+b +c ) +2
3.2

(

)

1 1 1
8 121
+ +
+
≥
ab bc ca abc 12

(đpcm)

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:
Cho 2 số thực dương a, b thỏa

Bài toán:

a+b≤1

.. Tìm GTNN của

1 1
A=a+b+ +
a b

√

1 1 4
1 1
A=a+b+ + ≥4 a .b . . =4
a b
a b

Sai lầm thường gặp là:

Vậy GTNN của A là 4.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4

1 1
⇔a=b= = ⇔ a=b=1
a b

. Khi đó

trái giả thuyết .

a+b=2≥1

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a=b=
Sơ đồ điểm rơi:

1
2

{

1
a b 1
a=b= ⇒ ¿ = = ¿ ¿¿
2
α α 2α
Lời giải đúng:

(

Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=

Vậy GTNN của A là
Bài 1:

√

)

1 1
1 1
4
A= 4 a+4 b+ + −3 a−3b≥4 4 a. . 4 b . . −3 ( a+b )≥8−3=5
a b
a b
1
2

5

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a+b +c≤

3
2

. Tìm GTNN của

1 1 1
A=a+b+ c+ + +
a b c
19
nmh369358@gmail.com

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a b c 

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

{

1
a b c 1
a=b=c= ⇒¿ = = = ¿ ¿¿
2
α α α 2α
Giải:

(

)

1 1 1
A= 4 a+ 4 b+ 4 c + + + −3 a−3 b−3 c
a b c

√

6
1 1 1
¿ 6 4 a. 4 b . 4 c . . . −3 ( a+b+ c )
a b c
9 13
¿ 12− =
2 2
Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=c=

Vậy GTNN của A là

Bài 2:

1
2

13
2

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a+b +c≤

3
2

. Tìm GTNN của

1 1 1
A=a2 + b2 + c2 + + +
a b c
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a b c 
Sơ đồ điểm rơi:

1
2

{

1
1
a=b=c= ⇒¿ a2 =b 2=c 2= ¿ ¿¿
2
4
Giải:

20
nmh369358@gmail.com

(

A= a 2 +b 2 +c 2 +

√

)

1 1 1 1 1 1
3 3 3
+ + + + +
+ + +
8 a 8b 8c 8a 8b 8c 4 a 4b 4c

(

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
. . . . . +
+ +
8 a 8 b 8 c 8 a 8b 8 c 4 a b c
9
1
9 9 1
9 9
27
¿ +9 . 3
≥ + .
≥ + . 2=
4
4
√ abc 4 4 a+b+ c 4 4
3
9

¿ 9 a2 . b2 . c 2 .

Dấu “=” xảy ra

Bài 3:

1
2

⇔a=b=c=

Vậy GTNN của A là

)

27
4

Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của

A=

a+b √ ab
+
√ ab a+b

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a=b
Sơ đồ điểm rơi:

a=b⇒¿

{

a+b 2a 2
= = ¿ ¿¿
α √ ab αa α

)

√

Giải:

A=

(

Dấu “=” xảy ra

a+b √ ab 3 ( a+b )
a+b √ ab 3 . 2 √ ab
3 5
+
+
≥2
.
+
=1+ =
2 2
4 √ab a+b 4 √ ab
4 √ ab a+b 4 √ ab
⇔a=b

Vậy GTNN của A là

Bài 4:

5
2

Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của

A=

a
b
c
b+c c + a a+ b
+
+
+
+
+
b+ c c +a a+b
a
b
c

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a=b=c
Sơ đồ điểm rơi:

21
nmh369358@gmail.com

a=b=c⇒¿

{

a
b
c 1
= = = ¿ ¿¿
b+c c+a a+b 2

Giải:

c+ a a+ b 3 b+ c c +a a+b
+
+
+
+
+
(ab+ c +bc+a + ca+b + b+c
)
4 a 4 b 4 c ) 4 (a
b
c
a
b
c
b+c c+ a a+b 3 b c c a a b
¿6
.
.
.
√ b+c c+ a a+b 4 a . 4 b . 4 c + 4 (a +a + b +b +c + c )
A=
6

√

3 6b c c a a b
9 15
¿3+ .6 . . . . . . =3+ =
4
a a b b c c
2 2

Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=c

Vậy GTNN của A là

Bài 5:

15
2

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a+b≤1

. Tìm GTN

N của :

A=

1
1
+
2 2 ab
a +b
2

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a=b=
Sơ đồ điểm rơi:

1
2

{

1
1
a=b= ⇒ ¿ 2 2 =2 ¿ ¿¿
2
a +b
Giải:

A=

Dấu “=” xảy ra

√

1
1
1
1
4
+
≥2
≥2 . 2 2
=
≥4
2 2 ab
2
2
a +b
a + b + 2ab ( a+ b )2
( a +b ) 2 ab
2
2

⇔¿ { a2+b 2=2ab ¿ ¿¿

Vậy GTNN của A là 4

Bài 6:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a+b≤1

. Tìm GTNN của

22
nmh369358@gmail.com

A=

1
1
+
2
2 2 ab
1+a +b

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a=b=

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

{

1
1
2
a=b= ⇒ ¿
= ¿ ¿¿
2
2
2
1+a +b 3
Giải:

1
1
1
+
+
1+ a2 +b 2 6 ab 3 ab
1
1
¿2
+
( 1+ a2 +b 2 ) 6 ab 3 ab
1
1
4
1
¿ 2.
+
=
+
2
2
2
1+a +b +6 ab 3 ab ( a+b ) +1+ 4 ab 3 ab
2
A=

√

¿

4

¿

4
4
+
2
2 ( a+ b ) +1 3 ( a+b )2

¿

4
4 8
+ =
2 . 1+1 3. 1 3

Dấu “=” xảy ra

(

2

Do ab≤

( ))
a+b
2

2

⇔¿ {1+a +b =6ab ¿ {a=b¿¿¿

Vậy GTNN của A là

Bài 7:

1
a+b
3
2

( ) ( )

a+b
( a+b ) +1+ 4
2
2

+
2

2 2

8
3

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a+b≤1

. Tìm GTNN của

A=

1
1
+ + 4 ab
2 ab
a +b
2

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

23
nmh369358@gmail.com

a=b=

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

{

1
1
a=b= ⇒ ¿ 2 2 =2 ¿ ¿¿
2
a +b
1
a=b= ⇒ ¿ { 4 ab=1 ¿ ¿ ¿
2
Giải:

1
1
1
1
+
+4
ab+
+
4 ab 4 ab
a2 + b2 2 ab
1
1
1
¿2
+2
4
ab
.
+
4 ab 4 ab
( a2 +b 2 ) 2 ab
1
1
4
1
¿ 2. 2 2
+2+
=
+2+
2
4 ab ( a+b )
4 ab
a +b +2 ab
2
A=

√

¿

√

4
+2+
( a+b )2

5
+2
( a+b )2
5
¿ +2=7
1

1
a+b
4
2

(

( )

2

( ) )

Do ab≤

a+b
2

2

¿

Dấu “=” xảy ra

{

1
⇔¿ {a +b =2ab ¿ 4 ab= ¿ {a=b¿¿¿
4ab
2 2

Vậy GTNN của A là 7

Bài 8:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a+b≤1

. Tìm GTNN của

A=

1
1
1
+ 2 + 2
3
a +b a b ab
3

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

24
nmh369358@gmail.com

a=b=

1
2

Sơ đồ điểm rơi:

{

1
1
a=b= ⇒ ¿ 3 3 =2 ¿ ¿ ¿
2
a +b
Giải:

1
1
1
1
1
+ 2 +
+ 2 +
3
3
2
a + b 2 a b 2ab 2 a b 2 ab 2
1
1
1
1
1
¿55 3 3 . 2 .
. 2 .
2
a +b 2 a b 2 ab 2 a b 2 ab2
1
¿5 3 3
a + b + 2 a2 b+2 ab 2 +2 a2 b+2 ab 2
5
A=

√

¿

25
( a+b )3 +ab (a+b )
≥

25

( a+b )3 +
¿

25

1
1+
4

(

(a+b )3
4

( ) )

a+b
Do ab≤
2

2

=20

Dấu “=” xảy ra

{

1 1 1
⇔¿ 3 3 = 2 = 2 ¿ {a=b¿¿¿
a +b 2a b 2ab

Vậy GTNN của A là 20

Bài 9:

Cho ba số thực dương

thỏa

x, y ,z

1 1 1
+ + =4
x y z
P=

. Tìm GTLN của

1
1
1
+
+
2 x + y + z x +2 y+ z x + y +2 z
Đề thi Đại học khối A năm 2005

Giải:
25
nmh369358@gmail.com

Tương tự:

(
)
1
1 1 1 1 1
≤ ( + + + )
x + y +2 z 16 x y z z

1
1 1 1 1 1
≤
+ + +
x +2 y +z 16 x y y z

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

P=

(

)

1
1
1
1 4 4 4
+
+
≤
+ + =1
2 x + y + z x +2 y+ z x + y +2 z 16 x y z

Dấu “=” xảy ra

1 1 1 4
3
⇔ = = = ⇔ x= y=z=
x y z 3
4

Vậy GTLN của P là 1

4.

Kỹ thuật nhân thêm hệ số

Bài 1: Tìm GTLN của :

Giải:
Do

a,1-a>0

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(

)

1 2
1
1 a+a+2−2a 3 1 8
A= a ( 2−2 a )= a . a ( 2−2 a ) ≤
= .
2
2
2 3
2 27
4
⇒ A≤
27
Dấu “=” xảy ra

⇔a=2−2 a=

Vậy GTLN của A là

2
3

4
27

Bài 2: Tìm GTLN của :

3
A=a ( 2 -a ) , a ∈ ( 0,2 )

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(

)

4

1
1 a+a+a+6−3 a 27
A= a . a. a . ( 6−3 a )≤
=
3
3
4
16
Dấu “=” xảy ra

⇔a=6−3 a=

3
2

26
nmh369358@gmail.com

Vậy GTLN của A là

27
16

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa

{a≤3¿¿¿¿

. Tìm GTLN của

A= (3−a )( 4−b ) ( 2 a+3 b )
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(

)

3

1
1 6−2 a+12−3 b+2 a+3 b
A= ( 6−2a )( 12−3 b ) ( 2a+3 b )≤
=36
6
6
3
Dấu “=” xảy ra

⇔6−2a=12−3b=2a+3b=6⇔¿ {a=0¿¿¿

Vậy GTLN của A là 36
Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa

{ a ≥2 ¿ { b ≥6 ¿ ¿

. Tìm GTLN của:

3

A=

4

bc √ a−2+ca √ b−6+ab √ c−12
abc

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

bc
bc ( a−2 )+2 abc
=
√ ( a−2 ) . 2≤ . 2
2 √2
√2
√2
3
ca 3
ca ( b−6 )+3+ 3 abc
ca √ b−6= 3 √( b−6 ) . 3. 3≤3 .
= 3
3 √9
√9
√9 3
(
)
c−12 + 4+ 4+ 4 abc
4
ab 4
abc
ab √ c−12=4
.
= 4 =
√ ( c−12 ) . 4 . 4 . 4≤ab
4
4 √ 64 8 √ 2
√64
√ 64 4
bc √ a−2=

Khi đó ta có:

3

4

bc √ a−2+ ca √ b−6+ ab √ c−12
1
1
1
5
1
A=
≤
+ 3 +
=
+ 3
abc
2 √ 2 3 √ 9 8 √ 2 8 √2 3 √ 9
Dấu “=” xảy ra

⇔¿ {a−2=2¿ {b−6=3¿¿¿

Vậy GTLN của A là

5

+

1

8 √ 2 3 √3 9

Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a+b +c=1

. Tìm GTLN của:
27

nmh369358@gmail.com

A= √ a+b+ √ b+c+ √c +a
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

{{

1 2 2
a=b=c= ⇒¿ a+b= ¿ b+c= ¿ ¿¿
3 3 3
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

√√
√
√

√

( a+b ) +

3
2
3
( a+b ) . ≤ .
2
3
2 2
2
( b+ c ) +
3
3
√ b+c≤ .
2 2
2
( c +a )+
3
3
√ c+ a≤ .
2 2

√ a+b=

2
3

(1)
(2)
(3 )

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

A= √ a+b+ √ b+ c+ √ c +a≤
Dấu “=” xảy ra

{ {

√

3
.
2

2 ( a+b+ c )+ 3.
2

2
3

= √6

2 2
⇔¿ a+b= ¿ b +c= ¿ ¿¿
3 3

Vậy GTLN của A là

√6

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp.

Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

a+b +c=3
3

. Chứng minh rằng:

3

3

3

√ a+2 b+ √ b+2 c + √ c +2 a≤3 √ 3
Phân tích:

28
nmh369358@gmail.com

Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:

a=b=c=1 ⇒¿ {a+2b=3¿ {b+2c=3¿¿¿
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1

1 ( a+ 2b ) +3+3

3

√ a+2 b=3 √( a+2 b ) . 3 . 3≤ 3
√9
√9 3
3
6+ b+2 c
(2)
√ b+2 c≤ 3
3 √9
6+ c+ 2a
3
√ c+ 2 a≤ 3
(3 )
3 √9
3

=

6+a+2b
3

3√9

(1 )

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3

3

3

√ a+2 b+ √ b+2 c + √ c +2 a≤
Bài 7: Cho a, b, c

∈ [−2;2 ]

thỏa

18+3 ( a+b+ c )
3

3√9

a+b +c=3

3

=3 √ 3

(đpcm)

. Chứng minh rằng:

√ 4−a 2+√ 4−b 2+√ 4−c 2≤3 √ 3
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:

a=b=c=1 ⇒¿ {4−a =3 ¿ {4−b =3¿ ¿
2

2

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2
1 ( 4−a ) +3 7−a2
2
(
)
=
(1)
√ 4−a = 3 √ 4−a 3≤ 3 . 2
2 √3
√
√
2

1

7−b 2
2√3
2
√ 4−c 2≤7−c
2 √3

√ 4−b 2≤

(2 )
(3 )

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

21−( a2 + b2 + c2 )
√ 4−a + √ 4−b + √ 4−c ≤
2 √3
2

2

2

Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có

29
nmh369358@gmail.com

( a+ b+c )2 ≤( 1+1+ 1 ) ( a2 +b 2 +c 2 )
2
2
2
2 ( a+b+ c )
⇔a +b +c ≥
3
nên

( a+ b+c )2
21−
3
2
2
2
=3 √ 3
√ 4−a + √ 4−b + √ 4−c ≤
2√3

5.

Kỹ thuật hạ bậc

5.1

Bài toán 1

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

a+b +c=1

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức

2

2

a +b + c

(đpcm)

(*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

và

a+b +c

2

2

2

A=a + b + c

gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc

2

2

a +b + c

2

. Nhưng

ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức
Cauchy lần lượt cho

2

2

a, b

và

c

đạt giá trị nhỏ nhất khi

2 cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện
, từ (*) ta có

a=b=c

a=b=c=

1
3

a, b

và

c

. Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A

. Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi

đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:

a

√

1
1 2
a2 + ≥2 a 2 . = a
9
9 3

2

và

1
9

ta có:

(1) Dấu “=” xảy ra

1
1
⇔a 2= ⇔ a=
9
3

Tương tự:

1 2
b2 + ≥ b
9 3
1 2
c 2+ ≥ c
9 3

(2) Dấu “=” xảy ra

⇔b=

1
3

(3) Dấu “=” xảy ra

⇔c=

1
3

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

1 2
2
1
a2 +b2 + c 2 + ≥ ( a+b +c )= ⇒ a2 + b2 + c2 ≥
3 3
3
3
Dấu “=” xảy ra

⇔a=b=c=

Vậy GTNN của A là

.

1
3

1
3

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện

3

3

a +b =1

(*). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A= √ a+ √ b
30

nmh369358@gmail.com

Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho
hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện

a3 =b 3 =

1
2

√a

√ b . Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi

và

a

3

và

b

a=b

3

cùng với 5

, từ (*) ta có

. Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số:

a

√

()

√

()

và 5 số

3

1
2

5
1
6 3 1
1
a...