Trường THCS Hàn Thuyên – Lương Tài

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A.LÝ THUYẾT.
I. Định nghĩa.
Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong các dấu căn.
II.Các bước giải phương trình vô tỉ
Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
III. Các kiến thức liên quan.
1. Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả
phương trình.
2.Các phép biến đổi căn thức.
3.Các dạng phương trình đã học
-Phương trình bậc nhất
-Phương trình tích.
-Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
-Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
-Phương trình bậc 2, pt bậc cao.
4.Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức.
B.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I.Phương pháp nâng lên lũy thừa
Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)
1

b)
c)
Giải:
a) ĐKXĐ: x ≥ 3/2

Khi x ≥ 3 bình phương 2 vế không âm ta có:
2x – 3 = x2 – 6x +9
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 2)(x – 6) = 0
 x1 = 2 ( Không thỏa mãn ĐK)
x2 = 6 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6.
b)
Với ĐKXĐ: -4≤ x ≤ 1/2 ta có:
x + 4 = 2 – 3x + 2
2x + 1 =
Khi x ≥ - ½ bình phương 2 vế không âm ta có:
(2x + 1)2 = (1 – x)(1 – 2x)
 2x2+7x = 0
 x1 = 0; x2 = - 7/2 thử lại các điều kiện ta được x = 0.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
c)
thay

ta có:

Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi
mới kết luận nghiệm.
II.Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Giải phương trình :
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 1

2

+) Nếu x > 2 ta có phương trình:
không thỏa mãn.
+) nếu 1≤ x ≤ 2 ta có phương trình: 2 = 2 luôn đúng với 1≤ x ≤ 2
Vậy: 1≤ x ≤ 2
III.Phương pháp đặt ẩn phụ.
1.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải:

Điều kiện x ≥ 1
Đặt:
với a ≥ 0; b ≥ 0 phương trình đã
cho thành: a + b = 1 + ab  (a -1)(b – 1) =0 a= 1 hoặc b = 1.
+) nếu a = 1 ta có:
=1 x = 2 thỏa mãn đk.
+) nếu b = 1 ta có:
= 1 x3 + x2 + x = 0 x(x2 + x + 1) = 0
(Không thỏa mãn)

(Phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
2.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình với ẩn phụ.
2.1.Nếu bài toán có chứa

và f(x) ta đặt t =

2.2.Nếu bài toán có chứa

và

Đặt t =

( k là hằng số) khi đó:

( t ≥ 0) thì

2.3.Nếu bài toán có chứa
Đặt t =

( t ≥ 0) khi đó f(x) = t2.

mà f(x)+g(x)=k khi đó:
thì

Ví dụ: Cho phương trình: 2(x2- 2x) +

-9=0
Giải:

ĐKXĐ: x ≥ 3 ; x ≤ -1
Đặt t =
với t ≥ 0 ta có phương trình:
2
2t + t – 3 = 0
 t1 = 1 ( thỏa mãn); t2 = - 3/2 ( không thỏa mãn).

3

Với t = 1 thì
=1 x2 – 2x -3 =1 ( x - 1)2 = 5  x = 1

( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 1

3.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai với ẩn phụ và tham số là x.
(Áp dụng khi ∆ là một bình phương)
Ví dụ: Giải phương trình:
:
Đkxđ: x ≤ 0 ; x ≥ 2.
Đặt t =
với t ≥ 0 ta có pt:
2
x – 2tx – 1 = 0
có ∆' = t2 +1 =( x-1)2
do đó x = t±(x – 1) ta có 2 trường hợp sau :
+) trường hợp 1 : x =
+ (x – 1)
x=1
( thỏa mã điều kiện)

=1

x2 – 2x -1= 0

+) trường hợp 2 : x =
- (x – 1)
= 2x -1
2
Với x ≥ 1/ 2 ta có : 3x – 2x + 1 = 0 có ∆' = -2 nên pt này vô nghiệm.
KL : Vậy pt đã cho có nghiệm là : x = 1
4.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về hpt với 1 ẩn phụ và một ẩn x
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải:
ĐK: x ≥ -5 đặt
=a ( a ≥ 0) suy ra x + 5 = a2
a2 – x = 5.
Ta có hệ phương trình sau:

Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có :

+) Với x = a ta có:
= x Khi x ≥ 0 bình phương hai vế ta có:
2
x – x -5 = 0
∆ = 21 phương trình có nghiệm :
( Không thỏa mãn đk)
( Thỏa mãn đk)
+) Với x = -a – 1 ta có :
4

x= - 1
= -x – 1 Khi x ≤ -1 bình phương 2 vế ta được
x + 5 = x2 + 2x + 1  x2 + x – 4 = 0
∆ = 17 phương trình có nghiệm :
( Không thỏa mãn đk)
( Thỏa mãn đk)
KL : Vậy phương trình có hai nghiệm :

 ;

5.Đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về hpt với ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ: 0 ≤ x ≤ 25 đặt

ta có hpt:

Vậy a, b là nghiệm của phương trình: X2 – 5X + 6 = 0
X1 = 2, X2 = 3 vậy (a;b){(2;3);(3;2)} đối chiếu với điều kiện
Suy ra a = 3; b =2 ta có hệ:
(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
IV.Phương pháp nhân liên hợp
Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

Giải:ĐK x
(1)

Đối chiếu với ĐKXĐ suy ra phương trình có 2 nghiệm là : x = 0 ; x=5.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(2)

5

Đk:

(2) được biến đổi thành

Đối chiếu với điều kiện xác định suy ra x = 2 là nghiệm của phương trình.
Nhận xét: ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp khi pt có dạng:
h(x)(f(x) – g(x)) =
V.Phương pháp đánh giá.
Ví dụ 1: Giải phương trình :
Giải:
ĐKXĐ: x > 0 ; x <

Áp dụng BĐT Cô si suy ra VT ≥ 2
Dấu “=” xảy ra khi 4x2 = 4x2 + 4x + 1

không thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy pt vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( Sách bài tập toán 9 tập 1)
6

Giải:

ĐKXĐ: x ≥ 0
Với x ≥ 0 phương trình có VT ≥ 1 dấu “ =” xảy ra khi x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
Ví dụ 3:Giải phương trình: x2 +
- 2x + 1= 0
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ -1 phương trình được biến đổi thành
(x – 1)2 +

=0

không tìm được x.

KL: Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình
(Tính đơn điệu của hàm số)

Giải:
Ta thấy vế trái của phương trình là hàm số đồng biến
Với x < 0 thìVT < 1
Với x = 0 thì VT = VP
Với x > 0 Thì VT > VP
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
VI.Phương pháp điều kiện cần và đủ.
Áp dụng với bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
duy nhất hoặc vô số nghiệm.
Dựa vào tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất:
(nếu pt có nghiệm x0 thì cũng có nghiệm –x0)
Gải:
Ta thấy nếu pt có nghiệm x0 thì cũng có nghiệm –x0
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = - x0  x0 = 0
Thay x0 = 0 vào phương trình suy ra m = 3
Thử lại: Với m = 3 ta có phương trình:
ĐK 1- x2 ≥ 0
Ta thấy:
Do đó pt có nghiệm khi và chỉ khi:

(đúng)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 3.
Ví dụ 2: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 0
Giải:
Nếu pt có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0 thì cũng có nghiệm x = 0 nên ta có:
khi m ≥ 2 bình phương 2 vế ta có:
7

-m2 + 2m + 4 = m2 – 4m + 4  2m( m – 3) = 0 do m ≥ 2 suy ra m = 3
Thử lại: Với m = 3 ta có phương trình:
(Luôn đúng)

Vậy với m = 3 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0
VII. Một số bài toán khác
Ví dụ 1:Giải phương trình
Giải:

Đkxđ: x ≤ -1/3; x = 0; x ≥ 1
+) x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
+) khi x ≤ -1/3 phương được biến đổi thành:

vì VT > 0 mà VP < 0 suy ra phương trình này vô nghiệm.
+)Khi x ≥ 1 chia cả 2 vế cho
ta có:

Do x ≥ 1 thì VP ≥ 0; VT ≤ 0 nên phương trình có nghiệm khi
( thỏa mãn đk)
KL: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0; x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ -1

(1)

(Thỏa mãn Đkxđ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
Ví dụ 3: Giải phương trình :
Giải:
8

ĐK: 0 ≤ x ≤ 20
Đặt t=
( t ≥ 0) suy ra x = 20 –t4
Phương trình trở thành :
Đk: t ≤ 4 bình phương 2 vế ta có:
4
2
4
2
20 – t = 16 – 8t + t  t + t – 8t – 4 = 0  (t – 2)(t3 + 2t2 + 5t + 2) = 0 do t ≥ 0
Suy ra t = 2
( thỏa mãn đk)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
C.CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
c)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)

b)
d)

b)
c)
d)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a)
9

b)
c)
d)
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a)
b)

Bài 7: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất
Bài 9:Cho phương trình: (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3)
a) Giải phương trình với m = -3.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

10