SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023-2024
Ngày thi: 2/6/2023
Môn: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút

Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : Sưu tầm đề và tự gõ đáp án.File word
giá 500 nghìn có đáp án.
Bài 1 (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức A 


a  2 a 1 1
2 a


 a  0, a  1
a 1  a 1 a a  a  a  1 

2) Cho hai đường thẳng  d1  : y  2 x  4,  d2  : y  (m2  2) x  m  2 .Tìm m để hai
đường thẳng  d1  ,  d2  căt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.
Bài 2 (1,5 điểm)
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21
2.Tìm x,y nguyên thỏa x2  xy  4 x  2 y  1
Bài 3 (2,5 điểm)
1.Giải phương trình ( x2  1)2  x x  1  1  0
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m nguyên để phương
trình x2  2  m  1 x  m2  4m  1  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều
kiện

x1 x2
nguyên
x1  x2

3. Cho a,b dương thỏa 2024a  1011b  2023 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

20 23
  1944a  988b
a
b

Bài 4 (3,5 điểm)
1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Hai tia AB,CD cắt nhau tại E sao cho góc
AED= 400 , hai tia BC và DA cắt nhau tại F sao cho AFB= 300 .Tính số đo các góc
trong tứ giác ABCD.
2.Cho (O) và dây BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC
nhọn.Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Tia phân giác góc BAC cắt (O) tại
D khác A.
a.Tam giác BDI cân.Suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
b.Gọi E,P,Q lần lượt các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB.Đường thẳng qua A song
song BC cắt EP,EQ lần lượt tại M,N.Gọi F đối xứng E qua I.Chứng minh AM=AN
và F là trực tâm tam giác EMN.
c.Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại K.Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuông góc
K trên AB,CA.Chứng minh XY luôn qua điểm cố định khi a thay đổi.
Bài 5 (1,0 điểm) Cho số nguyên n  6 .Xét 1 đa giác lồi n cạnh A1 A2 ... An .Người ta
muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác
thành đúng k lục giác lồi không có điểm trong chung

a.Với n=2022 và k=505,hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó
b.Với n=2023 và k=505,ta có thể chia đa giác đó được không ? Hãy giải thích.
Lời giải
Bài 1 (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức A 


a  2 a 1 1
2 a


 a  0, a  1
a 1  a 1 a a  a  a  1 

2) Cho hai đường thẳng  d1  : y  2 x  4,  d2  : y  (m2  2) x  m  2 .Tìm m để hai
đường thẳng  d1  ,  d2  căt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.
Lời giải
1) Ta có A 

 a 1
a  2 a 1 1
2 a



a 1  a 1 a a  a  a  1  a 1

2) Ta có  d1  cắt trục hoành thì 0=2x+4 nên x=-2.Lúc đó  d1  qua M(-2;0).Ta có  d1  giao

 d2 

 m2
tại M nên 0  (m  2).(2)  m  2  
m   3
2

2

Bài 2 (1,5 điểm)
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21
2.Tìm x,y nguyên thỏa x2  xy  4 x  2 y  1
Lời giải
1.Cho a nguyên ,biết a chia cho 3 dư 2 ,a chia cho 7 dư 3.Tìm số dư khi chia a cho 21
Ta đặt a  3k  2, a  7m  3, k , m  .Xét 2a+8=3(2k+4) chia hết cho 3 và
2a+8=7(m+1) chia hết cho 7.Ta có (3;7)=1 nên 2a+8 chia hết cho 21 hay a chia 21 dư
17.
2.Ta có x2  xy  4 x  2 y  1  y( x  2)  x 2  4 x  1 (1).Ta xét x=-2 thì 0=-1 (vô lý).
x2  4 x  1
5
 x2
Ta xét x khác -2 thì y( x  2)  x  4 x  1  y 
.Để y nguyên
x2
x2
2

thì

5
nguyên.Xét tất cả trường hợp ta có nghiệm (3;4);(-7;4);(-1;4);(-3;4)
x2

Bài 3 (2,5 điểm)
1.Giải phương trình ( x2  1)2  x x  1  1  0
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m nguyên để phương
trình x2  2  m  1 x  m2  4m  1  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều
kiện

x1 x2
nguyên
x1  x2

3. Cho a,b dương thỏa 2024a  1011b  2023 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

20 23
  1944a  988b
a
b

Lời giải
1.Ta có x  1,( x  1)  x x  1  1  0  ( x  2 x  1)( x  x  1)  0  x  2
2

2

2. Để phương trình x2  2  m  1 x  m2  4m  1  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
thì  '  0  m  1.Ta có mãn điều
kiện x1  x2  2(m  1)  0  m  1, x1 x2  m2  4m  1 .Ta có
x1 x2
m 2  4m  1
4
4

 m  3
nguyên thì
nguyên.Xét tất cả trường hợp ta có
x1  x2
2m  2
m 1
m 1

m=1 và m=-3.
3.Ta có
P

20 23
20
23
1
  1944a  988b 
 80a   23b  2024a  1011b  1987  a  , b  1
a
b
a
b
2

Bài 4 (3,5 điểm)
1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Hai tia AB,CD cắt nhau tại E sao cho góc
AED= 400 , hai tia BC và DA cắt nhau tại F sao cho AFB= 300 .Tính số đo các góc
trong tứ giác ABCD.
2.Cho (O) và dây BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC
nhọn.Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Tia phân giác góc BAC cắt (O) tại
D khác A.
a.Tam giác BDI cân.Suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
b.Gọi E,P,Q lần lượt các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB.Đường thẳng qua A song
song BC cắt EP,EQ lần lượt tại M,N.Gọi F đối xứng E qua I.Chứng minh AM=AN
và F là trực tâm tam giác EMN.
c.Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại K.Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuông góc
K trên AB,CA.Chứng minh XY luôn qua điểm cố định khi a thay đổi.
Lời giải
E

A

D

O
B

C

F

1.Ta có 4 góc trong tam giác là góc A,B,C,D.Vì ABCD nội tiếp nên
A  C  180, B  D  180(1), FDC  B, DCF  A
 DCF :180  DFC  FDC  DCF  A  B  1500 (2) .Tương tự ta có
CBE  D, BCE  A  A  D  1400 (3) .Từ (1);(2) và (3) suy
ra  A  B  ( A  D)  100 , B  D  1800  D  850  B  950  A  550  C  1250

2a.Gọi S là 1 điểm trên tia đối IB.Suy ra tam giác ABI có :

B A
 , SIA  BID .Ta có
2 2
A
A B
 DAC  DBC  IBD  IBC  BDC    IBD  BID hay tam giác BID cân tại
2
2 2

AIS  IBA  BAI , SIA 

D,mà AD phân giác góc BAC,D thuộc (O)suy ra BD=CD=DI.Lúc đó D là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
b.Ta có MN//BC suy ra gócMNE=gócBEN=gócBEQ.Ta có
gócBEQ=gócBQE,gócBQE=gócAQN suy ra gócAQN=gócMEN=gócANQ hay tam
giác AQN cân tại A.Lúc đó AQ=AN.Tương tự AM=AP.Mà AP,AQ là tiếp tuyến nên
AQ=AP.Nên suy ra AM=AN
c.Ta có O thuộc trung trực BC.Goi OK và BC giao điểm là G.Vì OK trung trực BC
nên G là trung điểm BC và GK vuông góc BC.Ta có CGK  CYK  1800  CGKY nội
tiếp .Suy ra GKY  GCY  1800  GKY  BCA(1800  GKY )
Ta có gọi T là điểm trên tia đối BK.Suy ra

TBA  BCA, TBA  XBK  GKY  XBK , BXK  BGK  1800  BGKX nội tiếp.Lúc đó
 XBK  XGK  XGK  GKY .Nên XG//KY.Tương tựGY//XK nên XGYK là hình bình

hành.Nên XY đi qua trung điểm GK,BC cố định ,(O) cố định nên G cố định,K cố
định nên trung điểm GK cố định.
Bài 5 (1,0 điểm) Cho số nguyên n  6 .Xét 1 đa giác lồi n cạnh A1 A2 ... An .Người ta
muốn kẻ một số đường chéo của đa giác sao cho các đường chéo này chia đa giác
thành đúng k lục giác lồi không có điểm trong chung
a.Với n=2022 và k=505,hãy chỉ ra một cách chia đa giác đó
b.Với n=2023 và k=505,ta có thể chia đa giác đó được không ? Hãy giải thích.

Lời giải
a.Ta đánh các số theo chiều kim đông hồ 1,2,3...,2022.Nối các đỉnh sau 1-6 có lục
giác 1,2,3,4,5,6.Nối 1-14 có lục giác 1,6,7,8,9,10.Nối 1-14 ta có lục giác
1,10,11,12,13,14.Nối 1-18,1-22,1-26,...,1-2022 ta có 505 lục giác thỏa yêu cầu vì
2022  6
 1  505
4

b)Với n=2023 ta không thể chia được vì :giả sử có thể chia được .Gọi a là số giao
điểm của các đường chéo nằm trong đa giác .Mỗi đỉnh của lục giác là đỉnh của đa
giác hoặc 1 trong a điểm trên.Suy ra tổng số góc của các lục giác
là 3600.a  2023.1800  3600  3600.a  3637800 .Tổng số góc ở đỉnh của 505 lục giác là
505.(6.1800  3600 )  3636000 .Ta có 3600.a   3637800  3636000  a 

lý).

1800 1
(vô

3600
2