Website:tailieumontoan.com
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020

Câu 1:

(3.0đ)

1. Tồn tại hay không các số nguyên tố
2. Tìm giá trị nguyên của
Câu 2: (6.0đ)

thỏa mãn điều kiện

thỏa mãn

1. Giải phương trình:
2. Cho
thỏa mãn
Câu 3: (3.0đ)
Cho

là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Câu 4:

(6.0đ)

Cho tam giác nhọn
và

, Ba đường cao

. Đường thẳng qua I và song song với

1. Chứng minh:
2. Chứng minh:

.

. Chứng minh

cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm
cắt

lần lượt tại B và Q.

.
.

3. Gọi M là trung điểm của
Câu 5: (2.0đ)

chứng minh I là trực tâm của tam giác

.

Trong mặt phẳng cho 6 điểm
trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với
ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn
673. Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu
vi nhỏ hơn 2019.
(Hết)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 20192020
Câu 1:

(3.0đ)
1. Tồn tại hay không các số nguyên tố
2. Tìm giá trị nguyên của

thỏa mãn điều kiện

thỏa mãn
Lời giải

1. Giả sử tồn tại 3 số nguyên tố
Khi đó ta có:

thỏa mãn điêu kiện:

là số nguyên tố lẽ.
chẵn

Nếu

thì

là hợp số (trái với giả thiết)

Nếu

thì là số nguyên tố lẻ

(với

)

Vì

Lại có:
là hợp số (trái với giả thiết)
Vậy không tồn tại các số nguyên tố

thỏa mãn điều kiện

2. Ta có :

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vậy
Câu 2: (6.0đ)
1. Giải phương trình:
2. Cho

thỏa mãn

.

. Chứng minh
Lời giải

1. ĐKXĐ của phương trình là:
Ta có:

* Trường hợp 1:

* Trường hợp 2:

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

và

.

2. Ta có:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

+

(Vì

)

.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sy cho hai số dương ta có:

(1)
Tương tự:

(2)
(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

.
Câu 4:

(6.0đ)

Cho tam giác nhọn
điểm

và

, Ba đường cao

. Đường thẳng qua I và song song với

1/ Chứng minh:

cắt nhau tại H. Gọi I là giao
cắt

lần lượt tại

.

2/ Chứng minh:

.

3/ Gọi M là trung điểm của

. chứng minh I là trực tâm của tam giác

Lời giải

.
A

1. Chứng minh:

E
P

Ta có:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

và Q.

F

liệu

word

môn

toán:

K
N

I
H

B

D

Q

Tài liệu toán học

C

Website:tailieumontoan.com
Xét

có:

2. Kẻ AK và HN vuông góc với EF (
Ta có:

(cùng vuông góc với

)
)

(1)

Lại có:

(2)

Mặt khác:

Và

(3)
Từ (1), (2) và (3)

(*)

Vì

(**)

nên áp dụng quan hệ định lý Ta-Lét ta có:

Từ (*) và (**)
A

3.

Ta có:
Vì

là trung điểm của

M
J

Và

E

I
F
H

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học
B

D

C

Website:tailieumontoan.com
(1)
Lại có:

(2)

Từ (1) và (2)

Mặt khác:
Mà

cắt

Câu 5:

tại suy ra

là trực tâm của

.

(2.0đ)

Trong mặt phẳng cho 6 điểm
trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với
ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn
673. Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu
vi nhỏ hơn 2019.

Xanh
Đỏ

Xanh

Đỏ

Xanh

Đỏ

Xanh

Đỏ

Đỏ
Đỏ

Đỏ
Xanh

Lời giải

-Tổng số đoạn thẳng được sinh ra từ 6 điểm đã cho là:

(đoạn thẳng)

- Trong 15 đoạn thẳng trên các đoạn thẳng
(với
; 6}) có độ dài
nhỏ hơn 673 được tô bởi mà đỏ. Các đoạn thẳng còn lại được tô bởi màu xanh.
- Khi đó, trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ và các tam giác có 3
cạnh được tô cùng màu đỏ có chu vi nhỏ hơn 2019.
- Vì thế, ta chỉ cần chứng minh luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ.
- Thật vậy: Nối điểm

với 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng gồm

- Theo nguyên lí Dirichlet trong 5 đoạn thẳng này luôn tồn tại 3 đoạn thẳng được tô
cùng màu.
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

- Không mất tính tổng quát, Giả sử

có cùng màu xanh, khi đó tam

giác
có 3 cạnh được tô cùng màu đỏ (vì trong một tam giác bất kì luôn tồn tại
một cạnh màu đỏ)
- Nếu 3 đoạn thẳng
có cùng màu đỏ, khi đó tam giác
có một
cạnh được tô bởi màu đỏ (trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ).
Giả sử cạnh
được tô bởi màu đỏ, Ta có tam giác
màu đỏ.
- Bài toán được chứng minh.

có З cạnh được tô cùng

(Hết)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học