HSG-HA-NOI-2020-2021
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Văn Xá (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:25' 13-01-2022
Dung lượng: 288.6 KB
Số lượt tải: 106
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Văn Xá (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:25' 13-01-2022
Dung lượng: 288.6 KB
Số lượt tải: 106
Số lượt thích:
0 người
ĐỀ HỌC SINH GIỎI SỞ HÀ NỘI
NĂM HỌC 2020 - 2021
THỜI GIAN : 180 PHÚT
ĐỀ BÀI
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị. Tìm tất cả giá trị của tham sốđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho tam giác có diện tích bằng( với là gốc tọa độ).
Câu II. 1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình .
Bài III. Cho đa giác đều 30 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm , đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Câu IV. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh sao cho đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc bằng .
1. Tinh độ dài đoạn thẳng .
2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng và
Câu V. Cho dãy số xác định bởi
1. Chứng minh dãy số là dãy tăng.
2. Chứng minh.
Câu VI. Với , , là các số thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị. Tìm tất cả giá trị của tham sốđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho tam giác có diện tích bằng( với là gốc tọa độ).
Lời giải
TXĐ: .
Ta có .
Đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị thìcó 2 nghiệm phân biệt.
Gọi hai điểm cực trị củađồ thị hàm số là. Ta có.
Ta có .
KL: .
Câu II. 1. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Ta có
Giải (1) đặt
dễ dànglà hàm đồng biến trên, và là hàm nghịnh biến trênnên có nghiệm tồn tại nghiệm duy nhất. Nhẩm nghiệm (thỏa)
Vậy là nghiệm của phương trình.
2. Giải hệ phương trình .
Lời giải
Đặt .
Hệ phương trình trên trở thành: .
Nhận thấy: (vì hàm số đơn điệu tăng).
Suy ra .
Xét hàm số .
Đơn giản ta thấy hàm số đơn điệu tăng với .
Do đó phương trình .
Suy ra (vì ).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Bài III. Cho đa giác đều 30 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm , đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
Lời giải
Mỗi tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử.
Số tam giác được tạo thành bằng .
Gọi là tập các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 đỉnhcủa đa giác .
là tập cáctam giác cần tìm.
Khi đó là tập các tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác.
TH1:Tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác
+ Chọn 1 cạnh có 30 cách chọn, có được hai đỉnh của tam giác.
+ Chọn một đỉnh từ 26 đỉnh trừ đi hai đỉnh kề với hai đỉnh đã chọn có 26 cách chọn.
Số tam giác thỏa mãn .
TH2:Tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác
Để chọn được một tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác thì ta chọn ba đỉnh liền kề nhau nên có 30 cách chọn tạo ra 30 tam giác thỏa mãn.
Ta có .
Vậy số tam giác thỏa mãn bằng .
Câu IV. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh sao cho đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc bằng .
1). Tinh độ dài đoạn thẳng .
2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng và
Lời giải
/
1). Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
.
2). Kẻ .
Ta có:
Mà nên .
Đặt .
Ta có:
Mà .
Đặt .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của với .
Ta có
Lập bảng biến thiên, ta thấy luôn đồng biến
Dấu bằng xảy ra khi .
Câu V. Cho dãy số xác định bởi
1) Chứng minh dãy số là dãy tăng.
2) Chứng minh.
Lời giải
1) Ta có:
Có , giả sử , khi đó
Các ý kiến mới nhất