PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ

(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)


Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a)
.
b)
.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức
với
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
.
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn
và
. Tính giá trị biểu thức

.
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn
và
. Tính giá trị biểu thức
.
Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
c) Tứ giác BEDF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK.
c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2.
Câu 5 (3,0 điểm).
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng


b) Tìm nghiệm nguyên
của phương trình

.
--------------Hết--------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.........................................
Số báo danh:........................................


Chữ ký của giám thị 1:..................................
Chữ ký của giám thị 2:.........................



PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)


Câu
Đáp án
Điểm

Câu 1
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)


Nếu
hay
thì
.
Nếu
hay
thì
.
0,25


* TH1: Với
, PT đã cho trở thành
(t/m).
0,75


* TH2: Với
, PT đã cho trở thành
(loại).
0,75


Vậy PT đã cho có nghiệm
.
0,25


b) (2,0 điểm)


Vì
với mọi x nên BPT đã cho tương đương với

1,0



. Vậy nghiệm của BPT ban đầu là
.
1,0

Câu 2
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)




1,0




1,0


b) (2,0 điểm)


Với điều kiện
ta có

.
Vậy với
thì
.


Câu 3
(3,0 điểm)
a) (1,5 điểm)




1,0


Thay số, ta được
.
0,5


b) (1,5 điểm)




1,0



.
Vậy B = 2.
1,0

Câu 4
(6,0 điểm)





a) (2,0 điểm)


Ta có BE và DF cùng vuông góc với AC. Do đó
(1)
0,5


Xét hai tam giác vuông AFD và CEB có AD = BC và
nên bằng nhau. Suy ra BE = DF (2)
1,0


Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
0,5


b) (2,0 điểm)


Ta có
;
mà
nên suy ra
.
1,0


Xét hai tam giác vuông CHB và CKD có
nên đồng dạng với nhau. Do đó ta có
.
1,0


c) (2,0 điểm)


Xét hai tam giác vuông ACH và ABE có góc A chung nên đồng dạng với nhau. Suy ra
.
Xét hai tam giác vuông AKC và AFD có góc A chung nên đồng dạng với nhau. Suy ra
.
1,0


Vậy
.
Mặt khác theo cmt thì AF = EC. Do đó ta có

(đpcm).
1,0

Câu 5
(3,0 điểm)


0,5

0,5

0.5




0,25