SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2022 – 2023
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không tính thời gian phát đề
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a. ; b. .
Câu 2 (2,0 điểm).
a. Rút gọn biểu thức với và .
b. Tìm giá trị của tham số m để ba đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
và .
Câu 3 (2,0 điểm).
a. Bạn An đi xe đạp từ nhà đến trường trên quãng đường dài 4 km. Khi đi từ trường về nhà vẫn trên con đường đó, An đạp xe với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình lúc đi là 3 km/h. Tổng thời gian đạp xe cả đi và về của An là 36 phút. Tính vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường.
b. Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol và đường thẳng .
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ . Tìm m để .
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho đường tròn (O) và dây cung BC không đi qua tâm O. Hai tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A. Lấy điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C), gọi I, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AB, AC.
a. Chứng minh các tứ giác MIBH, MICK nội tiếp;
b. Chứng minh .
2. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PQ, PR tới đường tròn với Q và R là các tiếp điểm. Đường thẳng qua P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F (E nằm giữa P và F; dây cung EF không đi qua tâm O). Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của PF và QR. Chứng minh rằng: .
Câu 5 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

- - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - -
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………… Phòng thi ……
Cán bộ coi thi số 1: ……………………………… Cán bộ coi thi số 2: …………………………………
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:

Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1 (2,0đ)
a)

Vậy tập nghiệm của phương trình là
1.00

b)

Vậy tập nghiệm của phương trình là
1.00
Câu 2 (2,0đ)
a)


Vậy với và .
1.00

b)
Gọi
Để ba đường thẳng cắt nhau thì
Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

Tung độ giao điểm của và là
cắt tại điểm
Để ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì

(TMĐK)
Vậy là giá trị cần tìm.
1.00
Câu 3 (2,0đ)
a)
Gọi vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ trường về nhà là x + 3 (km/h)
Thời gian An đi từ nhà đến trường là (h)
Thời gian An đi từ trường về nhà là (h)
Vì tổng thời gian đạp xe cả đi và về của An là 36 phút (= giờ) nên ta có phương trình:




Vậy vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường là 12 km/h.
1.00

b)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :
(1)
Vì nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: (*)
Theo đề bài: (2)
Cách 1:
Vì là nghiệm của phương trình (1) nên:
(3)
Thay (3) vào (2) được:

Mà

Vậy là các trị cần tìm.
Cách 2:
Vì là nghiệm của phương trình (1) nên:
(4)
Thay (4) vào (2) được:
(5)
Thay (*) vào (5) được:

Vậy là các trị cần tìm.
Cách 3:
(2) (vì )
(6)
Thay (*) vào (6) được:

Vậy là các trị cần tìm.
1.00

Câu 4 (3,0đ)


0.25

1a)
Tứ giác MIBH có:
(GT)

Tứ giác MIBH nội tiếp
Tứ giác MICK có:
(GT)

Tứ giác MICK nội tiếp
0.75

1b)
(O) có (1)
Tứ giác MIBH nội tiếp (2)
Tứ giác MICK nội tiếp (3)
Từ (1), (2), (3)
Chứng minh tương tự được
MIH và MKI có:
;
MIH  MKI (g-g)

1.00

2)


PQE và PFQ có :
chung ;
PQE  PFQ (g-g)
(1)
(O) có I là trung điểm của dây EF
PQ, PR là các tiếp tuyến của (O)
5 điểm P, Q, I, O, R cùng thuộc đường tròn đường kính PO
Xét đường tròn đường kính PO có
Xét (O) có

PQK và PIQ có :
chung ;
PQK  PIQ (g-g)
(2)
Từ (1) và (2) PE.PF = PK.PI
Mà I là trung điểm EF PE + PF = 2PI
Do đó:
Vậy (đpcm)
1.00

Câu 5 (1,0đ)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và , ta có:

Tương tự:

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và , ta có:
Do đó:

Dấu “=” xảy ra

Vậy
1.00

- - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - -

Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn
Trường THCS Nguyễn Huệ – Cẩm Giàng – Hải Dương