Đề ôn tập TN Môn Toán Lớp ⑫
File word Full lời giải chi tiết

Câu 1. Cho hai đường thẳng và cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng khi quay quanh là
A. Mặt cầu. B. Mặt trụ. C. Mặt nón. D. Mặt phẳng.
Câu 2. Trong không gian , vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và là
A. Cắt nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau.
Câu 3. Cho số phức . Khi đó bằng
A. . B. 25. C. 7. D. 5.
Câu 4. Cho hàm số xác định trên , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 5. Trong không gian , hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ là điểm . Khi đó giá trị bằng
A. 0. B. 35. C. 15. D. 50.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Trong không gian , mặt phẳng qua điểm và nhận vectơ pháp tuyến , có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Trong không gian , mặt cầu có phương trình . Bán kính của mặt cầu bằng
A. . B. 25. C. 5. D. .
Câu 10. Số phức nào sau đây có biểu diễn hình học là điểm ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
A. . B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 12. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại . B. Hàm số đạt cực đại tại .
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Câu 13. Cho là một số thực dương, khác 1. Khi đó, bằng
A. . B. 3. C. . D. .
Câu 14. Khối bát diện đều cạnh có thể tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 16. Trong không gian , mặt phẳng chứa hai đường thẳng và . Khi đó phương trình mặt phẳng là
A.. B. . C. . D. .
Câu 17. Biết hàm số liên tục và có đạo hàm trên , , . Tích phân bằng
A. . B. 3. C. . D. 6.
Câu 18. Cho số phức , thỏa mãn . Giá trị bằng
A. 3. B. . C. 2. D. .
Câu 19. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; ; . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình quay xung quanh bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 21. Khối nón có chiều cao bằng bán kính đáy và có thể tích bằng , chiều cao của khối nón đó bằng
A. 3. B. . C. . D. .
Câu 22. Cho hình lăng trụ đều có , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 23. Nếu và thì bằng
A. 10. B. 31. C. 5. D. 30.
Câu 24. Trong không gian , mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 25. Trong không gian , đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 26. Cho hàm số , chọn khẳng định đúng?
A. Nếu đổi dấu khi qua điểm và liên tục tại thì hàm số đạt cực trị tại điểm .
B. Nếu hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trị cực tiểu.
C. Nếu và thì không phải là cực trị của hàm số.
D. Hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi .
Câu 27. Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Xét cấp số cộng , có , . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. Trong không gian , cho hai vectơ và . Góc tạo bởi hai vectơ và là
A. . B. . C. . D. .
Câu 30. Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2.
Câu 32. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 33. Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A. 5. B. . C. 10. D. .
Câu 34. Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên là
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. Hệ số của số hạng chứa trong khai triển đa thức là
A. . B. . C. . D. .
Câu 36. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Tập hợp các giá trị của tham số để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
Câu 37. Với mỗi số , đặt . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 38. Cho hàm số với có đồ thị như hình vẽ sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. Biết với , là phân số tối giản. Giá trị của bằng
A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.
Câu 40. Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124. B. 120. C. 136. D. 132.
Câu 41. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 2.
Câu 42. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , , cạnh tạo với mặt đáy góc . Gọi là trung điểm của , là điểm trên cạnh sao cho . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên?
A. 65021. B. 65024. C. 65022. D. 65023.
Câu 44. Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại , tam giác vuông tại , tam giác cân tại . Biết , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Thể tích khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên thuộc sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt?
A. 2018. B. 2022. C. 2020. D. 2016.
Câu 46. Nếu , thì bằng
A. . B. . C. 15. D. 25.
Câu 47. Xét , , là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. . B.. C. . D. .
Câu 48. Cho 3 mặt cầu tâm , , đôi một tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng lần lượt tại, , . Biết , , . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh , , , , , bằng
A. . B. . C. 154. D. 90.
Câu 49. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Phương trình (với là tham số thực), có tối đa bao nhiêu nghiệm?
A. 16. B. 14. C. 12. D. 18
Câu 50. Cho hàm số , . Hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng . Khi đó tổng giá trị các phần tử của là
A. 12. B. 9. C. 6. D. 15.

--------------HẾT---------------


ĐÁP ÁN ĐỀ THI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
C
C
D
A
C
A
C
D
C
C
A
D
B
A
A
D
B
A
D
B
A
B
A
D
D
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
C
B
C
B
A
B
D
C
B
B
B
A
A
A
D
C
B
B
A
A
C
A
C
B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hai đường thẳng và cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng khi quay quanh là?
A. Mặt cầu. B. Mặt trụ. C. Mặt nón. D. Mặt phẳng.
Lời giải

Do và cắt nhau nhưng không vuông góc nhau nên theo định nghĩa ta có mặt tròn xoay tạo thành khi khi quay quanh là mặt nón.
Câu 2. [Mức độ 2] Trong không gian , vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và là
A. Cắt nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau.
Lời giải
qua và có vtcp .
qua và có vtcp .
Ta có: và
Mặt khác: .
Vậy hai đường thẳng và chéo nhau.
Câu 3. [Mức độ 1] Cho số phức . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 4. [Mức độ 1] Cho hàm số xác định trên , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ vào bảng biến thiên ta thấy
suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang
suy ra đường thẳng là tiệm cận ngang
suy đường thẳng là tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận.
Câu 5. [Mức độ 1] Trong không gian , hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ là điểm . Khi đó giá trị bằng
A. 0. B. 35. C. 15. D. 50.
Lời giải
Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ là điểm .
Khi đó .
Vậy .
Câu 6. [Mức độ 1] Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số ngịch biến trên khoảng . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 7. [Mức độ 1] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 8. [Mức độ 1] Trong không gian , mặt phẳng qua điểm và nhận véctơ pháp tuyến , có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Mặt phẳng qua điểm và nhận véctơ pháp tuyến , có phương trình là .
Câu 9. [Mức độ 1] Trong không gian mặt cầu có phương trình là . Bán kính của mặt cầu bằng
A.. B. 25. C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vậy bán kính của mặt cầu bằng 5.
Câu 10. [ Mức độ 1] Số phức nào sau đây có biểu diễn hình học là điểm ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
là điểm biểu diễn hình học của số phức .
Câu 11. [Mức độ 1] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ BBT, ta có giá trị cực tiểu của hàm số là: .
Câu 12. [Mức độ 1] Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại . B. Hàm số đạt cực đại tại .
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng . D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Lời giải
Gọi là tập xác định của hàm số .
Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy:
Tồn tại sao cho và nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Câu 13. [Mức độ 2 ] Cho là một số thực dương, khác . Khi đó, bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 14. [Mức độ 2 ] Khối bát diện đều cạnh có thể tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải

Thể tích cần tìm , với khối chóp đều có tất cả cạnh bằng .
Ta có ; trong vuông tại có .
Khi đó, .
Vậy thể tích khối bát diện đã cho là .
Câu 15. [Mức độ 2] Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Do nên
Để hàm số xác định thì : v
Tập xác định
Câu 16. [Mức độ 2] Trong không gian , mặt phẳng chứa hai đường thẳng và Khi đó phương trình mặt phắng là
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
là VTCP của .
là VTCP của .
Ta thấy: , suy ra cùng phương với .
Và lấy thay vào ta được : ( vô lý ), suy ra điểm .
Từ và suy ra .
Lấy .
là VTCP của .
với
Phương trình mặt phẳng qua và nhận làm VTPT có dạng : .
Vậy phương trình mặt phẳng : .
Câu 17. [ Mức độ 2] Biết hàm số liên tục và có đạo hàm trên , . Tích phân bằng
A. . B. 3. C. . D. 6.
Lời giải
Đặt .
Đổi cận:

Khi đó: .
Câu 18. [Mức độ 2] Cho số phức thỏa mãn . Giá trị bằng
A. 3. B. . C. 2. D. .
Lời giải
Ta có:
.
Vậy .
Câu 19. [ Mức độ 1] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; ; . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình quay xung quanh bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình quay xung quanh bằng
.
Câu 20. [Mức độ 2] Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do hàm số có đạo hàm .
Ta có:

Suy ra bảng xét dấu của đạo hàm là

Theo bảo xét dấu của đạo hàm, hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 21. [Mức độ 2] Khối nón có chiều cao bằng bán kính đáy và có thể tích bằng , chiều cao của khối nón đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức và thay ta được .

Câu 22. [Mức độ 2] Cho hình lăng trụ đều có , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải

Vì lăng trụ là lăng trụ đều nên đều và .
Suy ra .
Trong tam giác vuông tại có .
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
Câu 23. [Mức độ 2] Nếu và thì bằng:

A. 10. B. 31. C. 5. D. 30.
Lời giải
Ta có .
Lại có .
. Thay vào ta được: . Vậy .
Câu 24. [Mức độ 2] Trong không gian , mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
.
Lời giải
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng , nên ta có:
.
Vậy pt mặt cầu có tâm và bán kính là:.
Câu 25. [Mức độ 2] Trong không gian , đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có có vectơ pháp tuyến .
nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương.
Do đó đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương .
Vậy có phương trình là .
Câu 26. [Mức độ 2] Cho hàm số , chọn khẳng định đúng?
A. Nếu đổi dấu khi qua điểm và liên tục tại thì hàm số đạt cực trị tại điểm .
B. Nếu hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trị cực tiểu.
C. Nếu và thì không phải là cực trị của hàm số.
D. Hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi .
Lời giải
+ “Nếu hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trị cực tiểu” sai vì giá trị cực đại chưa chắc là giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu chưa chắc là giá trị nhỏ nhất. Giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu.
+ “Nếu và thì không phải là cực trị của hàm số” sai vì nếu và thì không kết luận được có là cực trị của hàm số hay không.
+ “Hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi ” sai vì hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi hoặc tại hàm số không có đạo hàm.
Câu 27. [ Mức độ 2] Giới hạn bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1: Dùng kết quả .
Ta có .
Cách 2: Dùng quy tắc L'Hôpital.
Ta có: .
Mà .
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
.
Câu 28. [Mức độ 2] Xét cấp số cộng , có . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi công sai của cấp số cộng là .
Ta có: .
.
Câu 29. [Mức độ 1] Trong không gian , cho hai vectơ và . Góc tạo bởi hai vectơ và là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
.
Câu 30. [Mức độ 2] Tập nghiệm của phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Câu 31. [Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình chứa bao nhiêu số nguyên ?
A. . B. . C. vô số. D. .
Lời giải
Vì nên BPT
Vậy tập nghiệm của bất phương trình chứa 1 số nguyên.
Câu 32. [Mức độ 2] Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Xét phương trình .
Ta có ; ; .
Suy ra và .
Vậy .
Câu 33. [Mức độ 2] Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A. 5. B. . C. 10. D. .
Lời giải
Giả sử hình trụ có bán kính đáy là và đường sinh là
Diện tích của hình chữ nhật là:
Diện tích xung quanh của hình trụ là: .
Câu 34. [Mức độ 3] Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
▪ Ta có: .
▪ Để hàm số đồng biến trên thì .
Câu 35. [Mức độ 2] Hệ số của số hạng chứa trong khai triển đa thức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Với số hạng tổng quát có dạng :
Số hạng chứa trong khai triển ứng với nên hệ số là .
Câu 36. [Mức độ 2] Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Tập hợp các giá trị của tham số để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải

Đặt
Ta có
Với một giá trị của ta có tương ứng một nghiệm . Do đó, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì có 3 nghiệm phân biệt
Dựa vào đồ thị .
Câu 37. [Mức độ 2] Với mỗi số , đặt . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1:
Đặt
Đổi cận:


Vậy
Cách 2:
là nửa đường tròn phía trên Ox, có bán kính
=
Câu 38. [ Mức độ 2] Cho hàm số với có đồ thị như hình vẽ sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1:
Đặt

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là
Cách 2:
Đặt
.
Câu 39. [Mức độ 2] Biết với là phân số tối giản. Giá trị của bằng
A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.
Lời giải
Ta có : .
Đặt : .
Đổi cận :
Khi đó tích phân đã cho trở thành:

Từ đó có : .
Câu 40. [Mức độ 3] Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
A. 124. B. 120. C. 136. D. 132.
Lời giải
Số cần lập là chia hết cho 15 khi và chỉ khi vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5.
.
Khi , các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: ; chia cho 3 dư 2: ; chia cho 3 dư 0: .
Ta có . Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ , , là một hoán vị của 1, 4, 7
+ , , là một hoán vị của 2, 5, 8
+ , , là một hoán vị của , , với ; và .
Vậy khi ta có số.
Khi . Các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: ; chia cho 3 dư 2: ; chia cho 3 dư 0: .
Ta có khi và chỉ khi và chia cho dư . Xét các trường hợp:
* thì , phải là hoán vị của , ; trong đó hoặc ; . Trường hợp này có số.
* , tương tự ta có số.
* , và đều khác . Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ , , là một hoán vị của 2, 8, 9
+ , , là một hoán vị của , , với và .
Trường hợp này có số.
Vậy khi ta có số.
Tổng cộng ta lập được: số thỏa điều kiện bài toán.
Câu 41. [Mức độ 3] Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng điểm cực trị?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 2.
Lời giải
Ta có

Ta có hàm số liên tục trên . Do đó hàm số có đúng điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số có cực trị dương.
có hai nghiệm dương phân biệt

.
Vậy: Có giá trị nguyên cần tìm là
Câu 42. [Mức độ 3] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , cạnh tạo với mặt đáy góc . Gọi là trung điểm của là điểm trên cạnh sao cho . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A.. B. . C.. D..
Lời giải

Gọi thuộc cạnh sao cho .
Theo bài ra ta có là hình bình hành, suy ra .
Ta có:
+) .
+) .
Do là tam diện vuông tại nên ta có .
Vậy .
Câu 43. [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên?
A. 65021. B. 65024. C. 65022. D. 65023.
Lời giải
TH1:
Bất phương trình đã cho không thể có 5 nghiệm nguyên.
TH2: : không thoả mãn bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.'
TH3:
Để bất phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên thì
Vậy có giá trị nguyên của để bất phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên.
Câu 44. [Mức độ 4] Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại , tam giác vuông tại , tam giác cân tại . Biết , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Thể tích khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải

Ta có: .
Gọi là trung điểm .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó: , , , .
Gọi
, . .
, . .
. Phương trình mặt phẳng .
Một vectơ pháp tuyến của :
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .
.
Chiều cao của khối chóp là khoảng cách từ đến . Khi đó .
Diên tích tam giác : .
Thể tích khối chóp : .
Câu 45. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên thuộc sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt?
A. 2018. B. 2022. C. 2020. D. 2016.
Lời giải
Ta có
Đặt
Ta có .
Bảng biến thiên

Suy ra ứng với mỗi giá trị ta được hai giá trị của tương ứng.
Khi đó phương trình trở thành
Đặt
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Kết hợp điều kiện .
Vậy có 2018 giá trị của thỏa mãn.
Câu 46. [Mức độ 3] Nếu , thì bằng
A. . B. . C. 15. D. 25.
Lời giải
Từ và ta được

.
Suy ra .
Xét . Đặt suy ra nên .
Đổi cận: với , với .
Khi đó, .
Câu 47. [Mức độ 3] Xét , , là các số thực lớn hơn thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. . B.. C. . D. .
Lời giải
Vì , , là các số thực lớn hơn nên ta có: ; ; .
Theo giả thiết ta có .
Đặt với điều kiện: .
Áp dụng bất đẳng thức , với mọi , dấu “bằng” xảy ra khi .
Khi đó ta có:
(vì ).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là .
Dấu “bằng” xảy ra khi .
Câu 48. [Mức độ 4] Cho 3 mặt cầu tâm , , đôi một tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng lần lượt tại, , . Biết , , . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh , , , , , bằng
A. . B. . C. 154. D. 90.
Lời giải

Theo định lý đảo của Pitago ta có tam giác vuông tại và có diện tích
Gọi , , lần lượt là bán kính mặt cầu có tâm là , , .
Do 3 mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một nên ta có , và
Gọi , lần lượt là hình chiếu của lên và .
Ta có tương tự ta cũng có và . Giải hệ , , ta được , ,.
Thể tích khối đa diện lồi cần tính là tổng thể tích của khối lăng trụ đứng và thể tích khối chóp có đáy là hình thang vuông tại và
Tính ,

Vậy
Câu 49. [Mức độ 4] Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Phương trình (với là tham số thực), có tối đa bao nhiêu nghiệm ?
A. 16. B. 14. C. 12. D. 18
Lời giải
Xét phương trình .
Đặt , từ đồ thị, ta có khi thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Mặt khác phương trình .
Từ đồ thị hàm số trong giả thiết, ta suy ra đồ thị hàm số như sau:

Ta thấy, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Do đó, phương trình có tối đa 6 nghiệm phân biệt.
Theo nhận xét trên thì ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Do vậy, phương trình có tối đa 12 nghiệm.
Câu 50. [Mức độ 4] Cho hàm số , . Hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng . Khi đó tổng giá trị các phần tử của là
A.12. B.9. C.6. D.15.
Lời giải
Xét hàm số .
Ta có: .
Khi đó: .
Đặt , có dạng .
Xét sự tương giao đồ thị của hai hàm số và .

Từ giả thiết cho đồ thị hàm số ta được :
hay .
Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì với . Tức là:
.
Vì nên .
Vậy tổng giá trị các phần tử của bằng 9.

--------------HẾT---------------