BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2022
Bài thi: TOÁN - Mã đề thi 101
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. Nếu thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Nếu thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Trong không gian cho mặt cầu Đường kính của bằng
A. B. C. D.
Câu 7. Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho khối chóp có chiều cao bằng , đáy có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho hình trụ có chiều cao và bán kính đáy . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình :
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A.. B. . C. . D. .
Câu 14. Mô đun của số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm của phương trình là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 16. Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
A. 1320. B. 36. C. 220. D. 1728.
Câu 19. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Trong không gian , phương trình mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Cho hàm số có đồ thị như đường cong trong hình bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C.. D. .
Câu 23. Trong không gian , cho đường thẳng : .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của ?
A. B. C. D.
Câu 24. Cho tam giác vuông tại có và . Khi quay tam giác quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng
A. 7. B. 3. C. 5. D. 4.
Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 26. Cho hai số phức . Số phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 27. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 28. Đạo hàm của hàm số là
A.. B. . C. D. .
Câu 29. Trong không gian , cho ba điểm , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số ?
A. 7. B. 8. C. 9. D. Vô số.
Câu 32. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó bằng
A. . B.. C.. D..
Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , và (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .
Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật có và (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. B. C. D.
Câu 35. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 36. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 37. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Mặt phẳng đi qua và song song với có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có đúng ba số nguyên thoả mãn ?
A. 72. B. 73. C. 71. D. 74.
Câu 40. Cho hàm số với là tham số thực. Nếu thì bằng
A. . B. 4. C. . D. 1.
Câu 41. Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Khi thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. Trong không gian , cho điểm . Gọi là mặt phẳng chứa trục sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Phương trình của là
A.. B. . C. . D. .
Câu 43. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng . Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 44. Xét tất cả các số thực sao cho với mọi số thực dương . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Cho các số phức thỏa mãn và . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 46. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. Cho hàm số bậc bốn . Biết rằng hàm số có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và thuộc khoảng nào dưới đây?
A.. B.. C.. D..
Câu 48. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 49. Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính bằng . Gọi , là hai điểm lần lượt thuộc hai trục , sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng . Gọi là tiếp điểm của và , giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có đúng ba điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
HƯỚNG DẪN - MÃ ĐỀ 101
Câu 1. Nếu thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có
Câu 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Thể tích khối lăng trụ: .
Câu 3. Nếu thì bằng
A. B. C. D.
Câu 4. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và .
Câu 6. Trong không gian cho mặt cầu Đường kính của bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có bán kính của là nên đường kính của bằng .
Câu 7. Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là điểm nên hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là điểm
Câu 8. Cho khối chóp có chiều cao bằng, đáy có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có
Câu 9. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có . Vậy
Câu 10. Cho hình trụ có chiều cao và bán kính đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là .
Câu 11. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình :
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có .
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là .
Câu 13. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên ta có nên loại A và B.
Có nên loại C chọn D.
Câu 14. Mô đun của số phức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: .Vậy mô đun của số phức bằng .
Câu 15. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm của phương trình là
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 16. Tập xác định của hàm số là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Điều kiện: . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: .
Câu 17. Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có .
Câu 18. Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
A. 1320 B. 36 C. 220 D. 1728
Hướng dẫn: Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là .
Câu 19. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là .
Câu 20. Trong không gian, phương trình mặt phẳng là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua gốc tọa độ có phương trình là .
Câu 21. Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn: Xét phương trình
Câu 22. Cho hàm số có đồ thị như đường cong trong hình bên.


Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta suy ra số điểm cực trị của hàm số đã là .
Câu 23. Trong không gian , cho đường thẳng : .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ phương trình đường thẳng ta thấy véctơ là một véctơ chỉ phương của .
Câu 24. Cho tam giác vuông tại có và . Khi quay tam giác quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng
A. 7 B. 3 C. 5 D. 4
Hướng dẫn: Xét tam giác vuông tại , ta có .
Khi quay tam giác quanh cạnh góc vuông thì đường gấp
khúc tạo thành hình nón có đường sinh là cạnh huyền .
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 5.
Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là .
Câu 26. Cho hai số phức . Số phức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có : .
Câu 27. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Ta có .
Câu 28. Đạo hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có.
Câu 29. Trong không gian , cho ba điểm , và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Ta có , .
Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có một véctơ chỉ phương là .
Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là.
Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Xét hàm số trên đoạn , ta có:
.
.
; ; .
Suy ra .
Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số ?
A. 7 B. 8 C. 9 D. Vô số
Hướng dẫn: Điều kiện .
Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
Câu 32. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Vì và là hai nghiệm phức của phương trình
nên theo định lý Vi ét, ta có: . Khi đó .
Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , và (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai mặt phẳng và bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:

Ta có ,
mà .
Lại có .
Xét vuông tại có: .
Xét vuông tại có: .
Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật có và (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
Ta có: và .
Suy ra:
Câu 35. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: .
Câu 36. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Xét hàm số: có TXĐ.
Ta có . Vậy hàm số đồng biến trên .
Câu 37. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Mặt phẳng đi qua và song song với có phương trình là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Gọi là mặt phẳng cần tìm. Theo bài
Mà qua . Vậy mp.
Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Không gian mẫu
Gọi số tự nhiên chọn được theo yêu cầu có dạng , Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục nên a chỉ được chọn là 4 hoặc 5.
Với
Với
Có 9 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy xác suất chọn được số theo yêu cầu đề bài là .
Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có đúng ba số nguyên thoả mãn ?
A. 72 B. 73 C. 71 D. 74
Hướng dẫn: (do a>0)
+ Đặt ta có
Và 
Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>2
+ Để và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau:


* Trường hợp 1 (Bảng 1): Do mỗi a nguyên dương tồn tại 2 số nguyên b dương nên:
. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1
*Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng tồn tại 2 số nguyên b 

 Vậy tồn tại 72 số a
Kết luận: có 1+ 72 = 73 số a thỏa mãn YCBT
Câu 40. Cho hàm số với là tham số thực. Nếu thì bằng
A. B. 4 C. D. 1
Hướng dẫn: Phương pháp là theo hai bước:
+ Bước 1: Tìm hàm số
+ Bước 2: Tính f(2)
Giải:
Ta có
.
Điều kiện cần để là PT có nghiệm .
+ Khi đó

Ta có .
Vậy và khi .
Câu 41. Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Khi thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Giả thiết đều là nguyên hàm của nên ta có: (1).
+ Ta có .
+ Mà theo giả thiết nên .
Suy ra .
Ta có .Mà nên ta có  chọn D
Câu 42. Trong không gian, cho điểm . Gọi là mặt phẳng chứa trục sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Phương trình của là
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên trục .
Ta có .
Gọi là điểm chiếu của lên mặt phẳng .
Ta có
Suy ra , đạt được khi .
Khi đó mặt phẳng qua có một vectơ pháp tuyến là .
Nên phương trình mặt phẳng là .
Vậy .
Câu 43. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng . Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi là đỉnh của hình nón và gọi là tâm mặt cầu.
Gọi đường kính đường tròn đáy của hình nón là ;
là trung điểm của .
Ta có.
Vì nên là tam giác đều.
Suy ra .
Vậy
Câu 44. Xét tất cả các số thực sao cho với mọi số thực dương . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có:

Với a > 0 

* Bài toán trở về việc tìm nhỏ nhất thỏa mãn
Cách 1: Dùng hình học:
+ Gọi M(x; by) thỏa mãn (1) nên M(x; y) thuộc miền trong và biên của đường tròn
+ với
 P lớn nhất khi MI lớn nhất
Tái có:  I nằm trong đường tròn.
MI lớn nhất khi M, O, I thẳng hàng (dễ dàng chứng minh dựa vào
tính chất: Trong đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất)
Lúc đó

Cách 2: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số bất kỳ a, b, x, y
hay dấu “=”xảy ra khi
Từ kết quả cách 1 thì x, y thỏa mãn (1) và (2) sao cho Pmax, tức là: Tìm x, y sao cho và đạt lớn nhất.
+ Ta có:
+ .
.
Khi đó .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng .
Câu 45. Cho các số phức thỏa mãn và . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Ta có
.
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của suy ra
lần lượt đối xứng với qua trục .
+ Ta có, trong đó
,
suy ra tứ giác là hình thoi có và .
+Tính A'B': Ta có:
+ Tính C'I: Ta có:

Câu 46. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Ta có: và .
Suy ra góc .
Ta giác vuông tại , có .
Tam giác vuông tại , có .
Thể tích khối lăng trụ là .
Câu 47. Cho hàm số bậc bốn . Biết rằng hàm số có bảng biến thiên như sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Cách 1: Từ và từ
+ Từ bảng biến thiên ta thấy
+ Xét phương trình Với là các điểm cực trị trên bảng biến thiên


Ta đổi biến bằng cách đặt lúc đó các cận của tích phân lần lượt là ,
Vậy
Dùng CASIO 580VNX đề tính
q(y(1pa1R[$)Ra43R8EE6$+o$+q(y(1pa1R[$)R6E2=

Cách 2: Ta có.
Từ bảng biến thiên ta có

Ta có .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là




.
Câu 48. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Số phức z thỏa mãn
(**) 

(ở trên ta đã sử dụng tính chất: và )
* Xét : .
Khi đó suy ra (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
* Xét :
Giả sử với
Ta có .
Hay và .
Khi đó .
Vậy có số phức , , , thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49. Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính bằng . Gọi , là hai điểm lần lượt thuộc hai trục , sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng . Gọi là tiếp điểm của và , giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
+ Đặt và.
Nhận xét: Do   tiếp xúc mà tiếp xúc
tiếp xúc tại tiếp điểm của và
(A là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Oxz)
+
Do và cùng phương .
+ Khi đó có vuông tại ,
(do , )
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
(Chứng minh: Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp OIMN. Để J cách đều 3 điểm O, M, N thì J phải nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp OMN  J Nằm trên đường trung trực của MN. Để IM=JI thì J phải nằm trên đường trung trực của IM. Vậy tâm J của mặt cầu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp IMN)
Suy ra: (sử dụng công thức )
Mà .
(do)
Thay vào ta được: .
Ta có .
Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có đúng ba điểm cực trị?
A. B. C. D. Hướng dẫn: Xét hàm số;

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi hàm số
cắt hoành tại 2 điểm phân biệt và có một cực trị  PT
có ít nhất hai nghiệm đơn phân biệt và PT có đúng 1 nghiệm đơn.
* Tìm điều kiện để PT có 2 nghiệm đơn phân biệt
+ Ta có:
+ (1)  
+ Ta có: 
+ Bảng biến thiên:
Để PT (1) có 1 nghiêm đơn
 (*)



* Tìm điều kiện để PT có đúng 1 nghiệm đơn
+ Ta có.
(vì không là nghiệm của phương trình ).
Xét hàm số ; ;
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra . (vì m = 12 thì f'(x) = 0 có nghiệm kép vẫn chấp nhận)
Vậy có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2:

+ Hàm số có đúng ba điểm cực trị khi PT y' = 0 có đúng 3 nghiệm đơn
  (1) và (2) có nghiệm đơn và không trùng nhau
+ Xét (1): 
+ Ta có: 
+ Bảng biến thiên:
Để PT (1) có 1 nghiêm đơn
 (*)


+ Xét 2: (vì không là nghiệm của phương trình.
Xét hàm số ; ;
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra để (2) có nghiệm đơn 
 Để (1) và (2) mỗi PT có 1 nghiệm đơn thì từ (*) và (**) ta có mà m Z  m [0;1;2;3;…;12;13]. Vậy có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
Nhận xét: HS thường chọn m < 12  bỏ sót m = 12  Kết quả sai (tại m = 12 thì f'(x) = 0 có nghiệm kép, hàm số không đổi dấu nên không có cực trị)