GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HOC PHỔ THÔNG NĂM 2022
Môn: TOÁN
Mã đề thi 103
Câu 1. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau

A B. C. D.
Lời giải. Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
• Đây là hàm .
• .
Do đó hàm số thỏa mãn là .
Câu 2. Nếu thì bằng?
A. B. C. D.
Lời giải. Ta có .
Câu 3. Phần ảo của số phức bằng
A B. C. D.
Lời giải. Ta có . Vậy phần ảo là .
Cách 2 : Dùng CASIO : w2(2pb)(1+b)=
Câu 4. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A B. C. D.
Lời giải. Ta có
Câu 5. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A B. C. D.
Lời giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu bằng .
Câu 6. Cho và mệnh đề nào dưới đây đúng
A B. C. D.

Hướng dẫn : Ta có và
Câu 7. Nếu và thì bằng
A B. C. D. .
Hướng dẫn: Ta có .
Câu 8. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng là
A B. C. D.
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng
cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm.



Câu 9. Từ các chữ số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Số các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các số là .
Câu 10. Cho khối nón có diện tích đáy bằng và chiều cao . Thể tích của khối nón đã cho bằng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Thể tích của khối nón đã cho bằng
Câu 11. Số nghiệm thực của phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Câu 12. Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Câu 13. Cho khối chóp có chiều cao bằng 5 , đáy có diện tích bằng . Thể tích khối chóp bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Câu 14. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Có suy ra trên khoảng là một nguyên hàm của hàm số .
Câu 15. Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong hình bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
Câu 16. Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Cả hai số phức và đều có phần ảo bằng nên ta chọn B.
Câu 17. Cho cấp số nhân với và công bội . Số hạng tổng quát bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Cấp số nhân với và công bội có số hạng tổng quát .
Câu 18. Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của có tọa độ là
A. B. C. D.
Câu 19. Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là . Tỉ số bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi diện tích đáy và chiều cao tương ứng của khối chóp và khối lăng trụ là và .
Ta có
Câu 20. Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào dưới đây thuộc ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Cho vậy.
Câu 21. Trong không gian , phương trình của mặt phẳng là:
A. B. C. D.
Câu 22. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 23. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. B. C. D.
Câu 24. Nghiệm của phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: . Vậy nghiệm của phương trình là .
Câu 25. Tập xác định của hàm số là
A.. B.. C.. D..
Hướng dẫn: Hàm số xác định khi . Tập xác định của hàm số là .
Câu 26. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta thấy: và .
Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là .
Câu 27. Trong không gian . Cho hai vectơ và . Vectơ có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: và . Vậy:
Cách 2: Dùng CASIO:
w5=CT1131=z4=0=CT123z1=z2=1=CT3+3T4=
Câu 28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Câu 29. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số để phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?

A. B C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi
Hoặc. Vậy. Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Câu 30. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. B
C. D.
Hướng dẫn: Ta có
Câu 31. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình. Khi đó bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Phương trình có nghiệm là và nên ta có:
.
Cách 2: Dùng định lý Vi ét:

Câu 32. Cho hình lập phương (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. B.
C. D.
Hướng dẫn : Ta có
Ta có  .
Câu 33. Trong không gian , cho điểm . Phương trình của mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Bán kính mặt cầu
Do đó phương trình của mặt cầu:
Câu 34. Với là các số thực dương tùy ý và , bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Câu 35. Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Gọi là trung điểm của .
Vì là hình lập phương nên

Mà là hình vuông cạnh 3 nên
Câu 36. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: .
Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Câu 37. Trong không gian, cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Do vuông góc với nên có một vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình của đường thẳng là: .
Câu 38. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố: chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục.
Khi đó .
Vậy
Câu 39. Biết là hai nguyên hàm của hàm số trên và . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Khi thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Đặt
+ Bước 1: Tìm C.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là S = 8, ta có:
Vậy
+ Bước 2: Tìm a.
Mặt khác theo đề bài


Mà
Câu 40. Cho hàm số với là tham số thực. Nếu thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có
và
Ta có , ,
Vậy
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi có đúng hai số nguyên thỏa mãn ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: (vì a>0)
+ Đặt ta có

Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>3
+ Để và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau:











* Trường hợp 1 (Bảng 1): + Do mỗi a tồn tại 2 số nguyên b dương nên:
. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1
*Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng tồn tại 2 số nguyên b   tồn tại 180 số a
Kết luận: có 1+ 180 = 181 số a thỏa mãn YCBT

Câu 42. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng 3. Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi là tâm đáy, là đường kính của đáy hình nón
và là đường kính của mặt cầu . Khi đó và .


Bán kính của mặt cầu là nên diện tích của là
Câu 43. Cho hàm số bậc bốn . Biết rằng hàm số có bảng biến thiên


Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và thuộc khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên hàm số ta có
Do và
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là nên và .
Do là hàm số bậc 3 nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có .
+ Lập bảng xét dấu của
Do  và do  dấu của cùng dấu với
Từ bảng biến thiên ta có bảng xét dấu như sau






Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:


Đặt.
Đổi cận:
.Khi . Khi
Suy ra .
Suy ra .
Vậy.
Do kết quả không yêu cầu tính toán chính xác nên không cần mất thời gian đề làm như trên


Dùng CASIO q(y(1pa1R[$)R30E35$$+q(y(1pa1R[$)R35E3=
Câu 44. Xét tất cả số thực sao cho với mọi số thực dương . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
+ Ta có:

Để x, y thỏa mãn (*) đúng với a > 0 tức là phương trình đúng với t R
Khi và chỉ khi
Suy ra tập hợp các điểm là hình tròn tâm và bán kính
+ Ta có
Cách 1. Để (x; y) thỏa mãn đồng thời (*) và (**) thi 2 đường tròn và phải có điểm chung
 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Cách 2. Bài toán là tìm (x; y) thỏa mãn sao cho biểu thức đạt nhỏ nhất
Ta có:
với
 P nhỏ nhất khi IM2 nhỏ nhất (tìm M thuộc hình tròn sao cho IM2 nhỏ nhất)
+ Ta có:
Vậy M nằm ngoài đường tròn IM nhỏ nhất khi I, M, O thẳng hàng, lúc đó: 
Có thể giải bằng phương pháp tọa độ như sau nhưng dài:
+ Đường thẳng IO có phương trình là  Tọa độ của thỏa mãn HPT:
Vậy vì M thuộc góc phần tư thứ IV.

Câu 45. Cho các số phức thỏa mãn và. Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta có


Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của suy ra
lần lượt đối xứng với qua trục
+ Ta có
 Tứ giác là hình thoi có
+Tính A'B': Ta có:
+ Tính C'I: Ta có: 
Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ
Ta có

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của suy ra lần lượt đối xứng với qua trục
Nhận xét: Do bài toán chỉ yêu cầu tình diện tích ABC, không yêu cầu tìm của số phức cụ thể nên ta có thể chọn mà không ảnh đến kết quả bài toán (vì vị trí tương đối của A, B, C không đổi)
+ Gọi, . Ta có:
HPT trên đối xứng, vai trò của hoặc có thể đổi chỗ cho nhau Vị trí A' và B' có thể đổi cho nhau
+ Từ (2), (3) và (4)  và
 và

+ Đường thẳng A'B' có VTCP  Phương trình đường thẳng A'B' là


Cách 3: Không mất tính tổng quát, giả sử.
Khi đó trở thành.
Đặt .
Ta có và nên .
Suy ra
Do đó .
Nên tọa độ các điểm là .
Diện tích tam giác là .
Câu 46. Trong không gian, cho điểm. Gọi là mặt phẳng chứa trục sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Phương trình của là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm lên trục là .
+ Khi (P) quay quanh trục Ox thì AM luôn luôn không đổi và lớn nhất
(vì là cạnh huyền)  AH lớn nhất khi HK
Vậy khoảng cách từ đến lớn nhất nên mặt phẳng có vecto
pháp tuyến là .
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vecto pháp tuyến là nên .
Câu 47. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và?
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
+ Biến đổi:
Vậy z thỏa mãn HPT:
+ Giải (*): thỏa mãn phương trình (2), cả 2vế đều bằng 4

+ Giải (**):
Đặt
Khi đó
(1) 
Lại có:
(2) 
Vậy
Do đó ta có các số thỏa mãn.
Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh bên , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Kẻ , ta có nên .
và suy ra .
Suy ra góc giữa và là  .
vuông tại có

vuông cân tại nên .

Vậy thể tích của khối lăng trụ đứng là
Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị?
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Cách 1:
+ Gọi và
+ Đề hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt và phương trình phải có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
* Tìm điều kiện PT phải có 2 nghiệm phân biệt.
+ Ta có:
+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT (1). Từ (1) 
+ 
(chú ý rằng: nên y cùng dấu với
+ Bảng biến thiên:


PT phải có 2 nghiệm phân biệt 
PT (1) có 1 nghiêm đơn  Từ bảng biến thiên

* Tìm điều kiện PT phải có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
+
+ 
+ Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên  PT phải có 1 nghiệm
đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép 
Từ (*) và (**)  mà a Z 

Nhận xét: Với a = -6 thì và đồ thị có dạng như sau: (dùng phần mền để vẽ)






Cách 2:


+ Để hàm số có đúng 3 cực trị thì PT y' = 0 phải có 3 nghiệm bội lẻ
. Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) và (2)
Để y' = 0 có 3 nghiệm bội lẻ thì tổng số nghiệm của (1) và (2) là 2 nghiệm và không có nghiệm chung
*Xét (1):
+ 
+ Bảng biến thiên:
()


*Xét (2):
 
+ Ta có bảng biến thiên:



nên khi thì PT y' = 0 có 2 nghiệm đơn (dương) và 2 nghiệm dương này không trùng nhau vì giả sử chúng trùng nhau ta có:
(tại nghiệm kép hàm số không đạt cực trị)
Vậy YCBT mà a Z 
Nhân xét: Nên giải theo cách 2 do đơn giản hơn và chặt chẽ hơn.

Câu 50. Trong không gian cho mặt cầu tâm bán kính bằng 3. Gọi là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng . Gọi là tiếp điểm của và , giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Cách 1: + Đặt và.
Nhận xét: Do   tiếp xúc mà tiếp xúc
tiếp xúc tại tiếp điểm của và
(A là hình chiếu vuông góc của I lên mp(Oxz)
+
Do và cùng phương.
+ Khi đó có vuông tại ,
(do , )
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
(Chứng minh: Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp OIMN. Để J cách đều 3 điểm O, M, N thì J phải nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp OMN  J Nằm trên đường trung trực của MN. Để IM=JI thì J phải nằm trên đường trung trực của IM. Vậy tâm J của mặt cầu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp IMN)
Suy ra: (sử dụng công thức )
Mà
(do )
Thay vào ta được:
Dùng máy tính MA:
Ta có .
Cách 2: tiếp xúc với .
Gọi

tiếp xúc với tại nên là hình chiếu của lên .
Suy ra .
Gọi là trung điểm .
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Gọi là trung điểm
Mà .
Ta có
.
cùng phương nên



Từ và suy ra


thẳng hàng

Từ

Ta có


+ Trường hợp 1: .
.
.
+ Trường hợp 2: .
.

Chú ý: Nên giải theo cách 1