BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2022
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Mã đề thi 104

Câu 1. Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Số phức có phần ảo bằng .
Trong các số phức đã cho, số phức cũng có phần ảo bằng .
Câu 2. Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ đồ thị hàm số bậc ba , ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là
Câu 3. Phần ảo của số phức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: . Vậy phần ảo của số phức bằng .
Câu 4. Nếu và thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: .
Câu 5. Cho khối chóp có chiều cao bằng đáy có diện tích bằng Thể tích khối chóp bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Thể tích khối chóp là .
Câu 6. Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là . Tỉ số bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi đường cao, diện tích đáy lần lượt là  và 
Câu 7. Với là số thực dương tuỳ ý, bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Với , ta có: .
Câu 8. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào bảng biến thiên trên, ta nhận thấy đây là hàm số bậc ba có dạng với .
Mà . Do đó có duy nhất hàm số thoả mãn.
Câu 9. Số nghiệm thực của phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có
Câu 10. Trong không gian , phương trình của mặt phẳng là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Phương trình của mặt phẳng là .
Câu 11. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: .
Câu 12. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có đồ thị tăng trên khoảng , nên đó là đáp án đúng.
Câu 13. Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào dưới đây thuộc ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có :
(thỏa mãn).
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có :
(vô lí).
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có :
(vô lí).
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có :
(vô lí).
Vậy điểm thuộc đường thẳng .
Câu 14. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là .
Câu 15: Cho điểm nằm ngoài mặt cầu Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: nằm ngoài mặt cầu  .
Câu 16: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: .
Câu 17. Trong không gian , cho hai vectơ và . Vectơ có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có . Do đó
Dùng CASIO: w5131=z4=0=CT123z1=z2=1=CT3+3OT4=RR
Câu 18. Cho cấp số nhân và công bội . Số hạng tổng quát bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có
Câu 19. Cho , và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có mà cơ số nên hay .
Câu 20. Cho khối nón có diện tích đáy và chiều cao . Thể tích của khối nón đã cho là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Thể tích của khối nón đã cho là
Câu 21. Nếu thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có .
Câu 22. Tập xác định của hàm số là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Điều kiện: . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
Câu 23. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta dễ dàng thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng .
Câu 24. Nghiệm của phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Có
Câu 25. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là đường thẳng có phương trình:
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Từ bảng biến thiên ta có và , suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng .
Câu 26. Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của có tọa độ là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Mặt cầu có tâm .
Câu 27. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Số các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là hoán vị của 5 phẩn tử nên có (số).
Câu 28. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta vẽ đường thẳng

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 giao điểm.
Câu 29. Cho hình lập phương ( tham khảo hình vẽ bên dưới).
Giá trị sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
là đường thẳng AC suy ra góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng , suy ra
.
Gọi cạnh hình lập phương bằng 1, suy ra .
Xét tam giác vuông vuông tại C ta có:
.
Suy ra: .
Câu 30. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn , nên ta có số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi “Biến cố để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.
+ Gọi số cần chọn là
+ a được chọn từ tập và b được chọn từ tập  có 6 số
+ Với a = 3 thì  có 6 cách chọn
+ Với a = 4 thì  có 5 cách chọn
+ Với a = 5  không có cách chọn
Suy ra .
Xác suất của biến cố : .
Câu 31. Với là các số thực dương tùy ý và , bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có:
Câu 32. Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Ta có: .
Câu 33. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Vì là hai nghiệm của phương trình nên ta có: .
Ta có: .
Câu 34. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có :  nghịch biến trên khoảng
Câu 35. Trong không gian , cho điểm . Phương trình của mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn: Mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng đã cho có bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Câu 36. Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số để phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có yêu cầu bài toán tương đương với
Do và nguyên nên có 7 giá trị cần tìm là
Câu 37. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có véc tơ chỉ phương là .
Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là .
Câu 38. Cho hình lập phương có cạnh bằng (tham khảo hình bên dưới).
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
Gọi là tâm hình vuông .
Do là hình vuông nên tại .
Do là hình lập phương nên
.
tại


Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho với mỗi có đúng hai số nguyên thỏa mãn
A. 34 B. 32 C. 31 D. 33
Hướng dẫn: (vì a>0)
+ Đặt ta có

Cả hai hàm f(b) và g(b) đều đồng biến theo b do b>2
+ Để và thỏa mãn YCBT ta có hai trường hợp xảy ra thể hiện trong hai bảng xét dấu sau:










* Trường hợp 1 (Bảng 1): + Do mỗi a tồn tại 2 số nguyên b dương nên:
. Vậy trường hợp này có 1 số a= 1
*Trường hợp 2 (bảng 2): Theo YCBT trong khoảng tồn tại 2 số nguyên b    tồn tại 32 số a
Kết luận: có 1+ 32 = 33 số a thỏa mãn YCBT
Câu 40. Cho hàm số với là tham số thực. Nếu thì bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Xét hàm .
Hàm số đạt GTLN tại và liên tục trên đoạn .
Với ta có với .
. Cho .
Khi đó , , .
Suy ra (thỏa mãn giả thiết).
Vậy .
Câu 41. Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và , Khi thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn: và là hai nguyên hàm của hàm số trên nên ta có
(với là hằng số).
Do đó (1).
Lại có
(2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Khi đó , , .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và là
.
Câu 42. Cho các số phức thỏa mãn và . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác bằng
A. B. C. D.
Cách 1:
+ Từ

+ Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của suy ra
lần lượt đối xứng với qua trục
+ Ta có O, D, C' thẳng hàng
 Tứ giác là hình thoi có
+Tính A'B': Ta có:
+ Tính C'I: Ta có: 
Cách 2.
- Từ giả thiết ta được và .
- Theo giả thiết .
- Từ đẳng thức
- Theo giả thiết


- Theo giả thiết


Suy ra tam giác đều cạnh . Suy ra
Câu 43. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh bên , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Gọi là trung điểm của .
Ta có: + là tam giác vuông cân tại nên
+ là khối lăng trụ đứng nên
suy ra .
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa
và , mà tam giác vuông tại nên ta có là góc nhọn.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và bằng .
Trong tam giác vuông , ta có .
là tam giác vuông cân tại nên , .
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là .
Câu 44. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng và chiều cao bằng . Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi hình nón đỉnh , đường kính đáy hình nón là .
Gọi là tâm mặt cầu .
Ta có cân tại có và tại nên
suy ra đều.
Tam giác đều và tại suy ra
là đường trung tuyến của .
Mà suy ra .
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Câu 45: Xét tất cả các số thực , sao cho với mọi số thực dương . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Ta có: ,
,
,
.
Gọi thuộc hình tròn tâm , bán kính .
Gọi , ta có: . Do đó nằm ngoài hình tròn .
Khi đó: .
Vậy khi theo thứ tự thẳng hàng.
Câu 46. Cho hàm số bậc bốn . Biết rằng hàm số có bảng biến thiên như sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và thuộc khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ BBT của ta có .
Ta có .
Xét phương trình
Do suy ra phương trình vô nghiệm.
Từ đó suy ra .
Mặt khác .Do mặt khác do đó dấu của cùng dấu với Từ bảng biến thiên đã cho, ta có bảng xét dấu

Vậy



Cách 2:
với
Với
Vậy
Dùng máy tính CASIO 580VNX
y(1pa1R[$)R12Ea199R16$$py(1pa1R[$)Ra199R16EE4$=

Câu 47. Trong không gian , cho điểm . Gọi là mặt phẳng chứa trục sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Phương trình của là
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và trục .
Ta có . Do đó khoảng cách từ đến
lớn nhất khi .
Khi đó đi qua và có một vectơ pháp tuyến là
nên có phương trình là .
Câu 48. Có bao nhiêu số phức thỏa và .
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi , .
Ta có : (1).


.
+ TH-1: thỏa (1) .
Vậy .
+ TH-2: .
Thay vào ta được (1) :
.
Với .
Với .
Kết luận: có 4 số phức .
Câu 49. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Cách 1.
Xét hàm số ; có
- Để hàm số có đúng 3 cực trị thì phải thỏa mãn 2 điều kiện:
+ Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (*)
+ Hàm số phải có 1 cực trị (**)
* Điều kiện (*): Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (*) có ít nhất 2 nghiệm phân biệtPT có 1 nghiệm (dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1))
  
Bảng xét dấu:
PT có 1 nghiệm khi (*)





* Điều kiện (**): Hàm số có đúng 1 cực trị  PT có 1 nghiệm đơn (x=0 không phải là nghiệm của (2))
Nên. Đặt .
Có ; .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (**)
Từ điều kiện (*) và (**) 
Kết hợp với điều kiện nguyên dương suy ra
Cách 2:

+
+ Hàm số có 3 cực trị khi PT y' = 0 có 3 nghiệm đơn.
+ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) và (2).
+ PT đã có nghiêm x = 0  Tổng số nghiệm đơn của (1) và (2) phải là 2
* Xét (1):
+
 

Bảng xét dấu:
PT có (1) nghiệm khi (*)

* Xét (2):

Có ;
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra PT (2) có 1 nghiệm khi
(**)
Từ điều kiện (*) và (**) 
Kết hợp với điều kiện nguyên dương suy ra

Câu 50. Trong không gian , cho mặt cầu tâm , bán kính bằng 2. Gọi là hai điểm lần lượt thuộc hai trục sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng . Gọi là tiếp điểm của và , giá trị bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Gọi
+ Ta có nên tiếp xúc với mặt phẳng
tại điểm và cũng đi qua .
Lại có
và 3 điểm thẳng hàng nên ta được:
.
+ Tứ diện có và vuông tại nên nếu gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì .
Suy ra
Ta có (với bán kính đường tròn ngoại tiếp ) (áp dụng công thức
)

Mà

Đặt , ta có HPT:
(Giải bằng máy tính MA:  )
 