ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN THPT NĂM HỌC 2025-2026
PHẦN 1: Thí sinh trả lời từ câu 1 tới câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   2025 x
A. 2025 x  C .

B.

2025 x
C .
ln  2025

C. 2025.2024 x  C .

D. 2025 x  C.

1
3
1
5
Câu 2. Cho hai hàm số f  x    x3  x 2  1 và g  x    x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện
2
2
2
2
tích phần gạch chéo trong hình bằng bao nhiêu?

A. 8.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Câu 3. Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:
Tuổi thọ

3;5 

5; 7 

Số bóng đèn

11

20

 7;9  9;11 11;13
29

40

30

Giá trị của tứ phân vị thứ nhất là
A. Q1 

87
.
8

B. Q1 

206
.
29

C. Q1 

Câu 4. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu  S  tâm

37
.
4

D. Q1 

875
.
232

I  2; 1; 0  và có đường kính bằng 8 là

A.  S  :  x  2    y  1  z 2  8.

B.  S  :  x  2    y  1  z 2  16.

C.  S  :  x  2    y  1  z 2  64.

D.  S  :  x  2    y  1  z 2  64. .

2

2

2

2

2

2

 x2  2 x  5
là
x2
B. y   x  1 .
C. y  x  2 .

2

2

Câu 5. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y 
A. y   x .

1
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình  
2
A. 5;1 .

x2  4 x



D. x  2 .

1
là
32

B. 1;   .

C.  5;1 .

D.  ; 5   1;   .

Câu 7. Trong không gian O xyz , cho mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 và hai điểm A  2; 4;1 , B  1;1;3 
. Mặt phẳng  Q  đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  P  . Một vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng  Q  là'
Trang 1


A. n1  1; 3; 2  .


B. n2   3; 3; 2  .


C. n3   0;8;12  .


D. n4  1;3; 2  .

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD .Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?
A.  SAC    SBD  .
Câu 9. Phương trình 3x  2 
A. x  0 .

B. SH   ABCD  .

C.  SBD    ABCD  . D. CD   SAD  .

1
có nghiệm là
9
B. x  2 .

C. x  4 .

D. x 

19
.
9

Câu 10. Cho cấp số cộng  un  có u2  2, u3  1 . Số hạng u4 của cấp số cộng là
A. 4 .

C. 6 .

B. 5 .

D. 7 .

Câu 11. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Phát biểu nào sau đây sai?
  
  
A. AB  AD  AC  .
B. AA  AC  AC  .
   
  
C. BB  BA  BC  BD .
D. DA  DC  B D .
Câu 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Phát biểu nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  .
C. Điểm cực đại của hàm số là 4 .
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là  0;0  .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 tới câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
x 1
Câu 1. Cho hàm số y 
có đồ thị  C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C  .
x2
a) Hàm số đồng biến trên  \ 2 .
b) Hàm số có tâm đối xứng I  2;1 .

1
1
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x  1 là y  x  .
3
3
d) Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 3 .
Câu 2. Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng 14 (cm) , được thiết kế gồm hai phần,

phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng 8 (cm ) và phần trên là một phần của khối
cầu có đường kính bằng 8 (cm) (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

Trang 2

Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Thể tích phần dưới (khối lập phương) bằng 512 (cm 3 ) .
b) Phần chỏm cầu có bán kính R  4 (cm) và chiều cao h  6 (cm) .
c) Thể tích của chỏm cầu (phần phía trên) bằng 70 (cm3 ) .
d) Thể tích của đồ lưu niệm đó là 738 (cm 3 ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 3:

[MĐ4]Trong không gian Oxyz cho trước với mặt nước
phẳng lặng trùng với mặt phẳng  Oxy  , đơn vị trên mỗi trục
là mét. Một chú chim bói cá đang đậu trên một cành cây ở
vị trí A  0; 0;5  tiến hành bay xuống để thám thính ngang
qua trên mặt hồ nước đến đậu trên một cành cây khác tại vị
trí B  4; 0; 4  theo quỹ đạo là một cung tròn hoàn hảo nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt nước đi qua điểm M

AMB  135
thỏa mãn 
Các phát biểu sau đây là đúng hay sai?
a) Quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng y  0 .
3 5
b) Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm  ;0; 
2 2

c) Khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là 3, 58 m (làm tròn
đến hàng phần trăm).
d) Biết rằng vận tốc của con chim bói cá là 2 m/s thì thời gian chim bói cá bay từ điểm A  0; 0;5 
tới điểm gần mặt nước nhất mất 1, 5 s (làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 4. Một công ty công nghệ tổ chức một kỳ thi tuyển dụng với hai bài kiểm tra: một bài kiểm tra lập
trình và một bài kiểm tra tư duy logic. Công ty nhận thấy rằng, 60% ứng viên là nam, 40%
ứng viên là nữ. 80% nam vượt qua bài kiểm tra lập trình, 70% nữ vượt qua bài kiểm tra lập
trình. 75% nam vượt qua bài kiểm tra tư duy logic, 85% nữ vượt qua bài kiểm tra tư duy logic.
Giả sử các bài kiểm tra là độc lập giữa các giới tính.
7
a) Trong những người vượt qua bài kiểm tra lập trình tỉ lệ ứng viên nữ là
.
19
Trang 3

b) Trong những ứng viên nam có 40% ứng viên không vượt qua được ít nhất một bài kiểm tra.
c) Có 59,8% ứng viên vượt qua được hai bài kiểm tra.
d) Một ứng viên ngẫu nhiên được chọn và được biết rằng người đó vượt qua cả hai bài kiểm tra
lập trình lập trình và logic. Khi đó xác suất người đó là nữ là 0,397 (làm tròn đến hàng phần
nghìn).
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 tới câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh

 ABC  trùng với trung điểm của

2, hình chiếu A lên mặt

BC và biết rằng góc nhị diện C , BC , A  135. Khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và AC  là: (làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 2. Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển.

Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích 1 m 3  . Để
đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp 1,5 lần
chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là 240000 đồng/m2 , chi phí vật liệu làm mặt bên là
180000 đồng/m2 (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …).
Hỏi với số tiền 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Câu 3. Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể
phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một
hình tròn với bán kính 450 ( km ) và chiều cao 30 ( km ). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với mặt
phẳng Oxy là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục Oz hướng lên cao và gốc tọa độ O trùng
với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 ( km ). Một tên lửa bắt đầu
từ vị trí điểm A(30; –780; 60) , dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 ( km )/ giây hướng
thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng
rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 4. Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông

ABCD với AB  100  m  , DC  60  m  và

AD  40  m  . Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao
phần của đường cong  H  , biết rằng

H 

bởi

cạnh AB và một

chứa các điểm K sao cho tích khoảng cách từ

K đến AD và BC luôn bằng 600 2 (m). Anh nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức
ăn cho cá được tạo bởi cạnh AD, DC và đường cong Parabol  P  có đỉnh A , biết rằng phần
1600 2
 m  . Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường
3
thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn
nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm)
đất để xây nhà kho có diện tích S 

Trang 4

Câu 5. Một con mã đang được đặt ở vị trí chính giữa tâm ô vuông d 4 trong bàn cờ vua. thầy Nghĩa di
chuyển con mã 4 bước để sau 4 bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện 4
bước đi không trùng nhau. Mỗi bước di chuyển thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa
tâm ô vuông đó ( 4 điểm đặt con mã sau 4 bước được xem là 4 điểm ở tâm ô vuông con mã đi
a
đến). Xác suất đường đi của con mã có 4 điểm đặt đó là 4 đỉnh của hình vuông có dạng
(là
b
phân số tối giản, a, b  * ). Tính a  2b .

Cách di chuyển quân mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật 2  3 ô vuông (hoặc
3  2 ô vuông).
Câu 6. Trong trận đấu giữa Thuỵ Điểm và Anh tại giải vô địch bóng đá thế giới, khi thời gian trận đấu sắp
kết thúc, Zlatan Ibrahimvic đã thực hiện một cú xe đạp chổng ngược móc bóng từ khoảng cách
xa vào lưới đội tuyển Anh. Đây được coi là một trong những bàn thắng đẹp nhất lịch sử bóng đá
thế giới với khoảng cách xa nhất từng ghi được bằng kĩ thuật này. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn
vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho  Oxy  trùng với mặt đất, tại thời điểm Ibra tung người
móc bóng, quả bóng thuộc tia Oz và có độ cao 2m , bay theo quỹ đạo của một Parabol thuộc mặt
phẳng vuông góc với mặt đất, rơi xuống vị trí điểm A nằm trong khung thành. biết
d  A, Oy   AH  8  H  Oy  và OH  15 . Sau khi bay lên không trung quả bóng đạt độ cao lớn
nhất tại điểm có hoành độ x  3 . Tại thời điểm bóng bắt đầu bay vào khung thành (tức là bóng
nằm trên vạch kẻ ngang của khung thành) thì độ cao của quả bóng so với mặt đất là bao nhiêu
mét? Biết khung thành CDEF nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất và đi qua hai điểm
M  4;15; 2  , N  8;14; 6  (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trang 5

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐÁP ÁN PHẦN I
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

B

B

A

C

C

D

A

A

11
D

12
C

ĐÁP ÁN PHẦN II
CÂU 1
a)Sai
b)Sai
c)Đúng
d) Sai

CÂU 2
a) Đúng
b)Đúng
c) Sai
d) Đúng

CÂU 3
a)Đúng
b)Sai
c)Đúng
d) Đúng

CÂU 4
a)Đúng
b)Đúng
c) Đúng
d) Sai

ĐÁP ÁN PHẦN III
Câu
Trả lời

1
0,61

2
209

3
37

4
5,23

5
26

6
0,56

LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. CÂU TRẮC NGHIỆM CHỌN 1 ĐÁP ÁN:
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   2025 x
A. 2025 x  C .

B.

2025 x
C .
ln  2025

C. 2025.2024 x  C .

D. 2025 x  C.

Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản:
x
 a dx 

ax
 C  0  a  1
ln a

Với a  2025, ta có:
x
 2025 dx 

2025 x
C
ln  2025 

1
3
1
5
Câu 2. Cho hai hàm số f  x    x3  x 2  1 và g  x    x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện
2
2
2
2
tích phần gạch chéo trong hình bằng bao nhiêu?

Trang 6

A. 8.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị, miền gạch chéo được giới hạn bởi hai đường f  x  và g  x  từ hoành độ giao
điểm x  1 đến x  1.
Diện tích S được tính bởi công thức
S

1

1

f  x   g  x  dx

Xét hiệu hàm số:
3
5
1
3
1
3
 1
  1
f  x   g  x     x 3  x 2  1    x     x 3  x 2  x 
2
2
2
2
2
2
 2
  2

Tính tích phân xác định
1

3
1
3
1
1
3 1
 1
 1
I     x3  x 2  x   dx    x 4  x3  x 2  x 
 0,875  1,125  2
2
2
2
2
2
4
2  1
 8
1 
Vậy S  2  2.
Câu 3. Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:
Tuổi thọ

3;5 

5; 7 

Số bóng đèn

11

20

7;9  9;11 11;13 
29

40

30

Giá trị của tứ phân vị thứ nhất là
A. Q1 

87
.
8

B. Q1 

206
.
29

C. Q1 

37
.
4

D. Q1 

875
.
232

Lời giải
Chọn B
Theo đề ta có n  130. Vị trí Q1 

130
 32,5. Tần số tích lũy:
4

⮚ Nhóm 3;5  :11
⮚ Nhóm 5; 7  :11  20  31  32,5 
⮚ Nhóm  7;9  : 31  29  60   32,5  . Đây là nhóm chứa Q1.
Áp dụng công thức ta có:

Q1  7 

32,5  31
206
.2 
.
29
29

Câu 4. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu  S  tâm

I  2; 1; 0  và có đường kính bằng 8 là

A.  S  :  x  2    y  1  z 2  8.

B.  S  :  x  2    y  1  z 2  16.

C.  S  :  x  2    y  1  z 2  64.

D.  S  :  x  2    y  1  z 2  64. .

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn B
Trang 7

2

2

Bán kính mặt cầu: R 

8
 4. Phương trình mặt cầu tâm I  2; 1; 0  bán kính R  4 :
2

 S  :  x  2    y  1
2

2

 z 2  16.

x2  2x  5
là
x2
B. y   x  1 .
C. y  x  2 .
Lời giải

Câu 5. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y 
A. y   x .

D. x  2 .

Chọn A

 x2  2 x  5   x  2  2  x  2  5
5

 x 
x2
x2
x2
2

y

 lim  y  x   lim
x 

x 

5
 0  y   x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x2

1
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình  
2
A. 5;1 .

x2  4 x



1
là
32

B. 1;   .

C.  5;1 .

D.  ; 5   1;   .

Lời giải
Chọn C

1
 
 2

x2  4 x

1
1

 
32
 2

x2  4 x

5

1
    x 2  4 x  5  x 2  4 x  5  0  x   5;1
2

Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho S   5;1
Câu 7. Trong không gian O xyz , cho mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 và hai điểm A  2; 4;1 , B  1;1;3
. Mặt phẳng  Q  đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  P  . Một vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng  Q  là'

A. n1  1; 3; 2  .


B. n2   3; 3; 2  .


C. n3   0;8;12  .


D. n4  1;3; 2  .

Lời giải
Chọn C


Mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 có véctơ pháp tuyến n  1; 3; 2  ,

AB   3; 3; 2 

Mặt phẳng  Q  đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  P  có véctơ pháp tuyến

 
a   AB, n    0;8;12 
Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD .Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?
A.  SAC    SBD  .
B. SH   ABCD  .
C.  SBD    ABCD  . D. CD   SAD  .
Lời giải
Chọn D

Trang 8

Vì S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH   ABCD  . Do dó A đúng

 AC  BD
 AC   SBD    SAC    SBD  . Do dó B đúng

 AC  SH
Ta có : SH   ABCD  mà SH   SBD  nên  SBD    ABCD  . Do đó C đúng
Vậy đáp án D sai.
Câu 9. Phương trình 3x  2 

1
có nghiệm là
9

A. x  0 .

B. x  2 .

C. x  4 .

D. x 

Lời giải
Chọn A
Ta có: 3x  2 

1
 3x  2  32  x  2  2  x  0 .
9

Câu 10. Cho cấp số cộng  un  có u2  2, u3  1 . Số hạng u4 của cấp số cộng là
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: d  u3  u2  1   2   3 .
Do đó, u4  u3  d  4 .

Câu 11. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Phát biểu nào sau đây sai?
  
  
A. AB  AD  AC  .
B. AA  AC  AC  .
   
  
C. BB  BA  BC  BD .
D. DA  DC  B D .
Lời giải
Chọn D

   
Ta có: DA  DC  DB  DB .
Câu 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Phát biểu nào sau đây sai?
Trang 9

D. 7 .

19
.
9

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  .
C. Điểm cực đại của hàm số là 4 .
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là  0;0  .
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta thấy điểm cực đại của hàm số là x  2 .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 tới câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
x 1
Câu 1. Cho hàm số y 
có đồ thị  C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C  .
x2
a) Hàm số đồng biến trên  \ 2 .
b) Hàm số có tâm đối xứng I  2;1 .

1
1
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x  1 là y  x  .
3
3
d) Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 3 .
Lời giải
Chọn a) Sai | b) Sai| c) Đúng | d) Đúng
 x  1  x  2    x  2   x  1
3
a) Với x  2 , ta có: y  

0.
2
2
 x  2
 x  2
Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  2;   .
Chọn SAI.
b) Ta có: lim y  1 và lim y  1 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  1;
x 

x 

lim  y   và lim  y   nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 .

x   2 

x   2 

Do đó, đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm I  2;1 của hai đường tiệm cận.
Chọn SAI.

1
c) Với x  1 thì y 1  0 và y 1  .
3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x  1 là:
y  y 1 x  1  y 1  y 

1
1
1
 x  1  0  y  x  .
3
3
3

Chọn ĐÚNG.
Trang 10

x 1
3
 1
.
x2
x2
3 
3 


Gọi A  a;1 
   C  , B  b;1 
  C  .
a2
b2


 
3   
3 
IA   a  2; 
 , IB   b  2; 
.
a2
b2


d) Ta có: y 

Đặt a1  a  2 ; b1  b  2 với a1  0, b1  0, a1  b1 .
9
 2 9
a1  2  b12  2

 IA  IB
a
b1

 
ABI đều khi và chỉ khi 
    1
cos IA, IB  cos60
 IA.IB  1

 IA.IB 2
2

2



9
 2 9
2
 a1  a 2  b1  b 2
1
1


9
  a1b1 
a1b1 1


 2 9
2
a

 1 a2

1



1
.

2

 1
 1
1
1
Xét phương trình 1  a12  b12  9  2  2   0  a12  b12  9  2  2   0
 a1 b1 
 b1 a1 
a b 

a
9 
 a12  b12  9  2 2   0   a12  b12   1  2 2   0  
 a1 b1 
 a1 b1 
a
2
1

 a1  b1
a  b
b
1
.
 1
 a1b1  3
b 9

 a1b1  3

2
1
2 2
1 1

2
1

2
1

+) Trường hợp 1: a1  b1 loại vì a1  b1 .

9
1
 a12 1
+) Trường hợp 2: a1  b1 , thay vào  2  ta có:
  1  (vô lí).
9
2
2
a12  2
a1
9
3 
3  1  a 2  9  12 (vô lí).
+) Trường hợp 3: a1b1  3 , thay vào  2  ta được:
1
9
a12
a12  2 2
a1
9
3
3  1  a 2  9  12 .
+) Trường hợp 4: a1b1  3 , thay vào  2  ta được:
1
9
a12
a12  2 2
a1
9
Do đó, IA2  a12  2  12  AB 2 (vì ABI đều).
a1
 a12 

Vậy AB  2 3 .
Chọn ĐÚNG.
Trang 11

Câu 2. Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng 14 (cm) , được thiết kế gồm hai phần,

phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng 8 (cm ) và phần trên là một phần của khối
cầu có đường kính bằng 8 (cm) (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Thể tích phần dưới (khối lập phương) bằng 512 (cm 3 ) .
b) Phần chỏm cầu có bán kính R  4 (cm) và chiều cao h  6 (cm) .
c) Thể tích của chỏm cầu (phần phía trên) bằng 70 (cm3 ) .
d) Thể tích của đồ lưu niệm đó là 738 (cm 3 ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.
a) Phần dưới là một khối lập phương có cạnh bằng 8 (cm) nên có thể tích

V1  83  512 (cm3 ) .
Chọn ĐÚNG.
b) Bán kính chỏm cầu là R 

8
 4 (cm) và chiều cao chỏm cầu là h  14  8  6 (cm) .
2

Chọn ĐÚNG.
c) Phần trên là một phần của khối cầu có đường kính bằng 8 (cm ) .

Do đó, phần trên chính là phần chỏm cầu với bán kính R  4 (cm) và chiều cao
h
6


h  6 (cm) nên có thể tích V2  Vchom cau    h 2   R      62   4    72 (cm 3 ) .
3
3


Chọn SAI.
d) Thể tích của đồ lưu niệm trên là V  V1  V2  512  72  738 (cm ) .
3

Câu 4:

Chọn ĐÚNG.
[MĐ4]Trong không gian Oxyz cho trước với mặt nước
phẳng lặng trùng với mặt phẳng  Oxy  , đơn vị trên mỗi trục
là mét. Một chú chim bói cá đang đậu trên một cành cây ở
vị trí A  0; 0;5  tiến hành bay xuống để thám thính ngang
qua trên mặt hồ nước đến đậu trên một cành cây khác tại vị
trí B  4; 0; 4  theo quỹ đạo là một cung tròn hoàn hảo nằm

Trang 12

trong mặt phẳng vuông góc với mặt nước đi qua điểm M thỏa mãn 
AMB  135
Các phát biểu sau đây là đúng hay sai?
a) Quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng y  0 .
3 5
b) Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm  ;0; 
 2 2

c) Khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là 3,58 m (làm tròn
đến hàng phần trăm).
d) Biết rằng vận tốc của con chim bói cá là 2 m/s thì thời gian chim bói cá bay từ điểm A  0; 0;5 
tới điểm gần mặt nước nhất mất 1,5 s (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Đúng| d) Đúng

a) Mặt phẳng chứa quỹ đạo bay của chim vuông góc với  Oxy  và đi qua A  0; 0;5  , B  4; 0; 4 


Mặt phẳng này nhận vectơ k  0;0;1 và AB  4; 0; 1 làm cặp vectơ chỉ phương
  
Vectơ pháp tuyến nP  [k , AB ]   0;1; 0  , suy ra phương trình mặt phẳng là y  0
Chọn ĐÚNG.

b) Vì tứ giác AMBN nội tiếp nên 
ANB  180  135  45 , dẫn đến góc ở tâm 
AIB  90 với

I là tâm đường tròn
Bán kính R  IA 

AB
17
34


2
2
2

 
34
Giải hệ điều kiện IA  IB  0 và IA 
với I  a; 0; c 
2

Trang 13

 a  2,5
 
TM 
 IA  IB  0 ( a )(4  a)  (5  c)(4  c)  0



c  6, 5



34  a 2  (5  c ) 2  17
 a  1, 5
 IA 


2
 L

2
 c  2,5
(Do điểm M đúng như hình vẽ nên tọa độ của tâm I sẽ có cao độ lớn hơn của điểm B )
Khi

đó

phương

trình

đường tròn

có

dạng:

 x  2, 5   z  6,5 
2

2



17
2

có

tâm

34
 5 13 
I  ;0;  , R 
.
2
2
2
Chọn SAI.
c) Khoảng cách ngắn nhất đến mặt nước là KH  d  I , Oxy   R  6,5 

34
 3,58 m
2

Chọn ĐÚNG.
d) Điểm gần với mặt nước nhất là điểm K là giao của đường tròn và IH ( IH có phương trình
x  2, 5 ). Khi đó quãng đường chim bói cá bay được đến điểm gần mặt nước nhất là độ dài cung



34
 6,5  L 

 z 
2
 x  2,5 2   z  6,5 2  17
 


34
AK  R  AIK  
 K  2,5; 0; 
 6,5 
2  
34
2
 6,5 TM 


 x  2,5
 z  
2



 x  2,5

4 34 4 34
 
 3 34 
IA  IK
3 34
Cos AIK     42  4 
 AIK  arccos 

17
R
3
| IA |  | IK |
 3 
2

Khi đó: AK  R  AIK 

 3 34 
34
 arccos 
 . Suy ra: t AM 
2
 3 

 3 34 
34
 arccos 

2
 3   1,502 s
2

Chọn ĐÚNG.
Câu 4. Một công ty công nghệ tổ chức một kỳ thi tuyển dụng với hai bài kiểm tra: một bài kiểm tra lập
trình và một bài kiểm tra tư duy logic. Công ty nhận thấy rằng, 60% ứng viên là nam, 40%
ứng viên là nữ. 80% nam vượt qua bài kiểm tra lập trình, 70% nữ vượt qua bài kiểm tra lập
trình. 75% nam vượt qua bài kiểm tra tư duy logic, 85% nữ vượt qua bài kiểm tra tư duy logic.
Giả sử các bài kiểm tra là độc lập giữa các giới tính.
7
a) Trong những người vượt qua bài kiểm tra lập trình tỉ lệ ứng viên nữ là
.
19
b) Trong những ứng viên nam có 40% ứng viên không vượt qua được ít nhất một bài kiểm tra.
c) Có 59,8% ứng viên vượt qua được hai bài kiểm tra.

Trang 14

d) Một ứng viên ngẫu nhiên được chọn và được biết rằng người đó vượt qua cả hai bài kiểm tra
lập trình lập trình và logic. Khi đó xác suất người đó là nữ là 0,397 (làm tròn đến hàng phần
nghìn).
Lời giải
Chọn a) Đúng | b) Đúng| c) Đúng | d) Sai
Gọi A là biến cố “ứng viên là nam”, B1 là biến cố “vượt qua bài kiểm tra lập trình” và B2 là
biến cố “vượt qua bài kiểm tra tư duy logic”.

 

Ta có: P  A   60%  0,6 , suy ra ứng viên nữ là P A  40%  0, 4 .





Ta lại có: P  B1 | A  80%  0,8 , P B1 | A  70%  0, 7 , P  B2 | A   75%  0, 75 và





P B2 | A  85%  0,85 .

Tính P  B1   0, 6.0,8  0, 4.0, 7  0, 76 và P  B2   0,6.0, 75  0, 4.0,85  0,79





P A | B1 

  

P A .P B1 | A

  0, 4.0, 7  7

P  B1 
0,76
19
a) Ta có:
.
Chọn ĐÚNG.
b) Xác suất qua cả 2 bài đối với ứng viên nam là: P  0,8.0,75  0, 6 .
Vậy xác suất ứng viên nam không v