CHỦ ĐỀ 6
TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
1. Khối trụ tam giác 
 Bài toán 1: Gọi  là thể tích khối lăng trụ,  là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: .

Cho hình lăng trụ tam giác . Khi đó: .
 Bài toán 2: Gọi  là thể tích khối lăng trụ,   là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: .
Cho hình lăng trụ tam giác . Khi đó: .
 Bài toán 3: Cho hình lăng trụ tam giác . Mặt phẳng cắt các đường thẳng  lần lượt tại  sao cho  thì 

2. Khối hộp 
 Bài toán 1: Gọi là thể tích khối hộp,   là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp và 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song . Khi đó: .

 Bài toán 2: Gọi là thể tích khối hộp,   là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ( trừ trường hợp 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song) . Khi đó: .
 Bài toán 3: Gọi là thể tích khối hộp,  là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 8 đỉnh của khối hộp (1 đỉnh thuộc mặt phẳng đáy, 4 đỉnh còn lại thuộc mặt phẳng đáy còn lại). Khi đó: .

 Bài toán 4: Cho hình hộp . Mặt phẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại  sao cho  và thì: 


Chú ý: Hai khối đa diện đồng dạng với tỉ số thì tỉ lệ thể tích của chúng là hay  


MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH KHÁ
Câu 1. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Tính thể tích khối đa diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai khối: và
.
Khối chóp và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao
.
Câu 2. Cho lăng trụ , là trung điểm . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh và là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B

là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh tức là
là thể tích khối đa diện còn lại
Khi đó ta có tỉ số: .
Câu 3. Khối lăng trụ có thể tích bằng . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
Chọn A

+) Thể tích khôi lăng trụ là: .
+) Thể tích khối chóp tam giác là:
.
Vậy thể tích khối chóp tứ giác là: .
Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác có thể tích . Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số . Tìm ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Ta có .
Khi đó .
Vậy .
Câu 5. Cho lăng trụ tam giác có thể tích là . Gọi là trung điểm cạnh . Khi đó thể tích khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Vì nên suy ra
Mà
Vậy .

Câu 6. Cho lăng trụ . Biết diện tích mặt bên bằng 15, khoảng cách từ điểm đến bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Ta có
Mà
Câu 7. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Tính thể tích khối đa diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D

Gọi chiều cao của lăng trụ là , . Khi đó .
Ta có .
Câu 8. Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là . Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Giả sử khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là và chiều cao là . Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác đều được tính bởi công thức .
Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy mới . Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao mới . Vì vậy thể tích khối lăng trụ mới sẽ là: .
Câu 9. Biết khối hộp có thể tích . Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp mới là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có nếu tăng mỗi cạnh của khối hộp lên hai lần thì ta được khối hộp mới đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số 2. Do đó thể tích khối hộp mới bằng .
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng có là trung điểm của . Tỉ số thể tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A

Ta có:

Câu 11. Cho hình hộp có là giao điểm của và . Gọi và lần lượt là thể tích của các khối và . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A

Ta có:







MỨC ĐỘ KHÁ GIỎI
Câu 12. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Gọi là trung điểm ; lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh , sao cho , . Tính thể tích khối đa diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D

Ta có .
Vậy .
Câu 13. Cho hình lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm , , lần lượt thuộc các cạnh , , sao cho , . Tính thể tích của đa diện
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Lấy điểm sao cho .
Ta có .
Dễ thấy , .
Vậy .
Câu 14. Cho khối lăng trụ đứng tam giác . Gọi lần lượt là các điểm thuộc , ,, , thỏa mãn , , , . Gọi , là thể tích khối tứ diện và . Tính tỷ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.

.


Suy ra,
Mặt khác nên

Vậy .
Câu 15. Cho hình lăng trụ. Gọi , , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , , sao cho , , . Gọi , lần lượt là thể tích của hai khối đa diện và . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C


Gọi là thể tích khối lăng trụ . Ta có .
.
.
Do là hình bình hành và, nên .
Suy ra , Từ đó
.
Như vậy . Bởi vậy: .
Câu 16. Cho hình lăng trụcó thể tích là .Gọi là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho . Tính thể tích khối chóp theo .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1:

Ta có: .
Theo công thức tỷ số thể tích: .
Ta có: .
.
.
Vậy: .
Cách 2:

Gọi lần lượt là độ dài đường cao của hình lăng trụvà hình chóp , S là diện tích tam giác .
độ dài đường cao của hình chóp là:
(1).
Mặt khác:
Ta có (vì 2 tam giác và có cùng chiều cao và ).
(2).
Từ (1) và (2) ta có:.
Câu 17. Cho khối lăng trụ . Điểm thuộc cạnh sao cho . Đường thẳng cắt đường thẳng tại , và đường thẳng cắt đường thẳng tại , Tính tỉ số thể tích khối chóp và thể tích khối đa diện lồi
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D

Ta có .
Gọi là chiều cao của lăng trụ , là thể tích của khối lăng trụ .
Ta có
.

.
Mặt khác ta cũng có
.
.
Vậy .
Thầy, Cô muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề ôn thi 12 file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Câu 18. Cho lăng trụ Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp có thể tích và khối đa diện có thể tích . Biết rằng tìm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Ta có:






Câu 19. Cho khối đa diện như hình vẽ bên. Trong đó là khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 1, là khối chóp tam giác đều có cạnh bên . Mặt phẳng chia khối đa diện đã cho thành hai phần. Gọi là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh , là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện đã cho như hình vẽ.
; ;
; .
Gọi là thể tích toàn bộ khối đa diện: .
.
.
.
=> .
Suy ra .
Câu 20. Cho hình hộp có thể tích bằng . Gọi , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . Tính thể tích khối tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Gọi , , . Dễ thấy là đường trung bình của và là trọng tâm nên
.
Đặt và là chiều cao của khối hộp . Ta có
.
Mà .
Vậy .
Thầy, Cô muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 12 file word thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Câu 21. Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Biết ; ; . Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D



Ta có: .
.
Câu 22. Cho khối hộp có thể tích . Lấy điểm thuộc cạnh sao cho . Thể tích của khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Thể tích hình hộp là
Gọi diện tích tam giác là , ta có: .
Gọi là đường cao hạ từ xuống mặt phẳng đáy: tại , đặt . Dựng tại , ta có và có tỉ số .
Gọi là thể tích hình chóp , ta có: .
Thầy, Cô muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 11 file word ( 3042 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Câu 23. Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Biết , , như hình vẽ. Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn A


Gọi là giao điểm của mặt phẳng với .
Giả sử , , , . Khi đó .




.

Câu 24. Cho lăng trụ có thể tích bằng 6. Gọi và là các điểm nằm trên cạnh và sao cho là trung điểm của , và Đường thẳng cắt đường thẳng tại và đường thẳng cắt đường thẳng tại Thể tích của khối đa diện lồi bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Ta có .
Suy ra .
Mà ta lại có .
Và .
Ta lại có .
Suy ra .
Vậy .

Câu 25. Cho lăng trụ có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Thể tích khối lăng trụ là .
Gọi thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm là .
Ta có: .
Dễ thấy và nên .
và nên .
và nên .
Vậy .
Thầy, Cô muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 10 (Theo chương trình mới) file word thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Thầy, Cô muốn tải đầy đủ bộ tài liệu lớp 9 file word ( 1062 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Câu 26. Cho lăng trụ có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi lần lượt là tâm các mặt bên . Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A


Gọi là thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng .
Dễ chứng minh được và lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng suy ra .
Ta có .
Mặt khác .
Câu 27. Cho lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm các mặt bên và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Khối đa diện cần tìm

Ta có
Ta có
Ta có
Vậy thể tích khối cần tìm .
Câu 28. Cho lăng trụ có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Gọi là chiều cao của hình lăng trụ .
Vì đều có độ dài cạnh bằng nên .
Thể tích lặng trụ là .
Gọi là trung điểm của cạnh .
Thể tích khối chóp là .
Thể tích khổi đa diện là:
.
Câu 29. Cho hình hộp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng . Gọi và lần lượt là tâm của các mặt bên và . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Ta có .
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh suy ra .
Do hình chóp đồng dạng với hình chóp theo tỉ số nên .
.
Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật có . Điểm thuộc cạnh sao cho , điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Nhận xét: là hình bình hành
là trung điểm của mỗi đoạn nên cũng là trung điểm của đường chéo .
Vậy thiết diện tạo bởi mặt và hình chóp là hình bình hành .
Ta có: .
Cách 1:
Thể tích phần chứa là

.
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh
Gọi thể tích phần chứa là .
Ta có: .
Cách 3: Nhận xét nhanh do đa diện chứa đối xứng với đa diện không chứa qua nên thể tích của hai phần này bằng nhau, suy ra .
Câu 31. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là tâm các mặt của hình lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D

Ta có: dễ thấy là bát giác đều nên
Dễ thấy:
Lại có hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên:

Câu 32. Cho hình hộp chữ nhật có lần lượt là trung điểm các cạnh (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng , thể tích khối tứ diện bằng

A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A

Đặt ,



Câu 33. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằnga. Gọi S là điểm đối xứng của A qua . Thể tích khối đa diện là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A

Chia khối đa diện thành 2 khối là khối chóp và khối chóp

Gọi M là trung điểm BC.
Ta có: . Tam giác ABC đều .
Thể tích khối chóp là:.
Thể tích khối chóp là: .

Câu 34. Cho hình lăng trụ đứngcó đáy là hình thoi có cạnh , , . Gọi lần lượt là trung điểm cạnh . Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A

, là hình thang.

DK cắt (B'AC) tại B',
Mà: nên ta có:
Mặt khác:

Câu 35. Cho hình lập phương có thể tích . Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt các cạnh lần lượt tại . Gọi là thể tích khối đa diện . Tính tỷ số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Theo giả thiết . Từ tính chất của hình lập phương ta có suy ra do đó , từ đây ta suy ra do vậy ta có .
Ta xác định vị trí như sau: Ta có vì vậy do đó , vậy ta được , và theo trên ta lại có .
Vậy các điểm hoàn toàn được xác định.
Gọi là điểm trên cạnh thỏa mãn và là điểm trên đường thẳng thỏa mãn là hình bình hành. Khi đó ta có nằm trên mặt phẳng và
Đặt khi đó
Đặt cạnh của hình lập phương là ta có
do đó
Vậy .
Câu 36. Cho hình hộp có chiều cao 8 và diện tích đáy bằng 11. Gọi là trung điểm của là điểm trên cạnh sao cho và là điểm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Cho hình lăng trụ như hình vẽ, .
Chứng minh:




Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ ta áp dụng vào giải bài toán.

Ta có: , tương tự ta cũng có . Do đó là hình bình hành.
Ta có là đường trung bình của hai hình thang và suy ra
Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần khi cắt bởi mặt phẳng . Do đó .