BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững định nghĩa cực trị của hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số;
điểm cực trị của đồ thị hàm số.
+

Hiểu và vận dụng được các định lí về điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

+ Trình bày và vận dụng được các cách tìm cực trị của một hàm số.
+ Nhận biết được các điểm cực trị trên đồ thị hàm số.
 Kĩ năng
+

Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số đã biết.

+

Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số

Chú ý:

Định nghĩa

1) Điểm cực đại (cực tiểu)

Giả sử hàm số f xác định trên

và

được gọi chung là

điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu)

của

hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt
a)

được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu

tồn tại một khoảng

chứa điểm

sao

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu)
không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

cho
Khi đó

được gọi là giá trị cực đại của hàm

f trên tập K;

chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

của hàm số f trên một khoảng

số f.
b)

cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu

tồn tại một khoảng

chứa điểm

3) Nếu

chứa

.

là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm

sao
số f.

cho
Khi đó

được gọi là giá trị cực tiểu của

hàm số f.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm
nếu f có đạo hàm tại điểm

. Khi đó,

thì

Chú ý:
1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm
có thể bằng 0 tại điểm
đạt cực trị tại điểm

.

Ví dụ 1: Hàm số

xác định trên

. Vì

và

nên hàm số đạt cực

tiểu tại điểm

dù hàm số không có đạo hàm tại

điểm x = 0, vì:

Ví dụ 2: Ta xét hàm số

, ta có:

. Hàm số đồng biến trên

nhưng hàm số f không
nên không có cực trị dù

Trang 2

2)

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà

tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a) Nếu
qua điểm

đổi dấu từ âm sang dương khi x đi
(theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực

tiểu tại điểm

.

b) Nếu

đổi dấu từ dương sang âm khi x đi

qua điểm
đại tại điểm

(theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực
.
Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng
chứa điểm

và f có đạo hàm

cấp hai khác 0 tại điểm
a) Nếu

.

thì hàm số f đạt cực đại tại

điểm
b) Nếu

thì hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm
Nếu

thì ta chưa thể kết luận được, cần

lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị
Bài toán 1: Tìm điểm cực trị của hàm số cụ thể
Phương pháp giải
Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu

Ví dụ 1: Hàm số

đạt cực

tiểu tại điểm
Bước 1. Tìm

A.

B.

C.

D.

tại đó đạo Hướng dẫn giải
Cách 1:
hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng
Hàm số đã cho xác định trên
không có đạo hàm.
Ta có
Bước 3. Xét dấu
. Nếu
đổi dấu khi x
Bước 2. Tìm các điểm

qua điểm

thì hàm số đạt cực trị tại điểm

.

.

Từ đó
Bảng xét dấu

Vậy hàm số đạt cực điểm tại điểm
Chọn B.
Cách 2: Dùng định lý 3

Cách 2:

Bước 1: Tìm

Hàm số đã cho xác định trên

Bước 2: Tìm các nghiệm

của phương

Bước 3: Tính
Nếu

Ta có:

Nếu

. Khi đó:

thì hàm số f đạt cực đại tại

điểm


Ta có:
Từ đó:

trình



.

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm
thì hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm


Nếu

thì ta lập bảng biến thiên
Trang 4

để xác định điểm cực trị.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Số điểm cực đại của hàm số
A. 1.

là

B. 3.

C. 2.

D. 0.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:

Từ đó:
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có hai điểm cực đại.
Chọn C.
Ví dụ 2: Số cực trị của hàm số
A. 1.

B. 3.

là

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:

. Vậy hàm số không có cực trị.

Chọn D.
Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu của hàm số
A.

B.

là
C.

D.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:

Trang 5

Từ đó:
Bảng xét dấu đạo hàm:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Chọn B.
Ví dụ 4: Số cực trị của hàm số
A. 2.

là

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:

Từ đó:

(

không xác định tại điểm

và

).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có hai cực trị là

và

Chọn A.
Ví dụ 5: Giá trị cực đại của hàm số
A.

B.

là số nào dưới đây?
C.

D.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Trang 6

Ta có:
Từ đó:
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm

, giá trị cực đại của hàm số là

Chọn C.
Ví dụ 6: Các điểm cực đại của hàm số

có dạng (với

A.

B.

C.

D.

)

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có:

. Khi đó

Vì

nên

là điểm cực tiểu.

Vì

nên

là điểm cực đại

Chọn A.
Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết đồ thị
Phương pháp giải
+) Nếu đề cho đồ thị của hàm

, xem lại lý thuyết.

+) Nếu đề cho đồ thị của đạo hàm, để ý các điều sau để có thể lập được bảng xét dấu đạo hàm:
Đồ thị

nằm phía trên trục hoành:

.

Đồ thị

nằm phía dưới trục hoành:

.

Ví dụ mẫu
Trang 7

Ví dụ 1: Hàm số

A. 1.

có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số f là

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.
Chọn C.
Ví dụ 2: Hàm số

A. 1.

có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng

B. 3.

C. 2.

là

D. 4.

Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có bốn điểm cực trị.
Chọn D.
Ví dụ 3: Hàm số

xác định trên

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
khoảng

trên

là

A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Cách 1: Trong khoảng
trị trên

, đồ thị

cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực

.

Chọn A.
Cách 2: Nhìn vào hình vẽ dưới đây,
trị trên

đổi dấu tổng cộng 5 lần trong khoảng

nên có 5 điểm cực

.

Chọn A.
Trang 8

Ví dụ 4: Cho hàm số
dưới đây (đồ thị

có đạo hàm đến cấp hai trên

và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của

hàm số là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Ta có bảng biến thiên của hàm số

Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số
biệt. Vậy hàm số

như sau

tại tối đa 2 điểm nên

có tối đa 2 nghiệm phân

có tối đa 2 điểm cực trị.

Chọn D.
Bài toán 3. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng biến thiên
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây sai?
Trang 9

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Cực đại bằng – 1.

D. Cực tiểu bằng – 2.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số có ba cực trị.

B. Hàm số có một cực tiểu.

C.

D.

.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Bài toán 4. Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm
Phương pháp giải
Đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số

có đạo hàm

Số điểm cực trị của hàm số
A. 6.

.

là

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Hướng dẫn giải
Ta có:

và

có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị.

Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số

có đạo hàm

. Tìm số điểm cực trị của hàm số

.
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình

có 3 nghiệm bội lẻ là

nên số điểm cực trị của hàm số

là 3.
Chọn C.
Chú ý: Nhắc lại:
Trang 10

Đạo hàm của hàm số hợp

hay

Ví dụ 3: Cho hàm số

liên tục trên

, có

.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên

.

B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên

.

C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên

.

D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên

.

Hướng dẫn giải
Với

ta có:

.

Vậy hàm số không có cực trị trên

.

Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ dưới đây (

liên tục trên

, có đạo hàm

với

là hàm đa thức

đồng biến trên

. Số điểm cực trị của hàm số
A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

và trên

là

Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị, phương trình
là
.
Tóm lại, phương trình
điểm cực trị.

có 3 nghiệm bội lẻ là

và một nghiệm bội chẵn

và

là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4

chỉ có

Chọn D.
Bài toán 5. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm
Ví dụ 1: Cho hàm số

liên tục trên

điểm cực tiểu của hàm số
A. 1.

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Số

là
B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu.
Chọn A.
Trang 11

Ví dụ 2: Cho hàm số

liên tục trên

Số điểm cực trị của hàm số
A. 1.

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

là

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số

liên tục trên

Số điểm cực trị của hàm số
A. 1.

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

là

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là

.

Xét tại điểm

, đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm

số liên tục trên

nên

, nhưng theo đề bài, hàm

xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị.

Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hàm số

liên tục trên

Số điểm cực trị của hàm số
A. 1.

B. 3.

và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

là
C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Hàm số có 3 điểm cực trị là
xác định tại điểm

(hàm số không đạt cực trị tại điểm

vì hàm số không

).

Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số

có bảng biến thiên của

như hình vẽ dưới đây

Trang 12

Số điểm cực trị của hàm số
A. 4

là

B. 2

C. 3

D. 5

Hướng dẫn giải

Dễ thấy phương trình

có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn C.
Bài toán 6. Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị
Ví dụ 1: Cho hàm số
số

là hàm đa thức. Trên hình vẽ là đồ thị hàm

trên

(và hàm số

đồ thị của hàm số

trên

trên

(và

(và hàm số

). Hỏi hàm số

nghịch biến trên

),

), đồ thị của hàm số
luôn đồng biến trên

,

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải
Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:
* Hàm số

nghịch biến trên

nên

và đồng biến trên

nên

.
* Hàm số

* Hàm số

có

có

Lại có

mà
. Vậy trong khoảng

và nếu có đúng 1 nghiệm thì
Vậy

và

, phương trình

có tối đa 1 nghiệm,

đổi dấu khi qua nghiệm ấy.

có tối đa 3 nghiệm (bội lẻ) nên hàm số

có tối đa 3 điểm cực trị.

Trang 13

Ví dụ 2: Cho hàm số

có đạo hàm cấp hai liên tục trên

trên đoạn

, đồ thị của hàm số

. Hỏi hàm số

trên

. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số
, đồ thị của hàm số

trên

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:
+ Đồ thị của hàm số
khi

trên

+ Đồ thị hàm số

khi

và

.

+ Đồ thị của hàm số
khi

cắt trục hoành tại điểm

trên

cắt trục hoành tại điểm

khi

và

.
trên đoạn

: hàm số đồng biến trên

và

; hàm số nghịch biến

trên

Từ bảng xét dấu trên, đồ thị
đổi dấu 2 lần, trên

cắt trục hoành tối đa tại 2 điểm trên
thì

đổi dấu 3 lần nên hàm số

, khi đó trên

thì

có tối đa 5 điểm cực trị.

Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Hàm số
A.

có điểm cực đại là
B.

C.

D.

Câu 2: Hàm số
A. nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

B. nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.
Trang 14

C. nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại.
Câu 3: Cho hàm số
trên đoạn

D. nhận điểm làm điểm cực đại.

liên tục trên đoạn

và có đồ thị

như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu

điểm cực đại?
A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 4: Cho hàm số
. Tìm
A.

. Hàm số

đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại

,

.
.

B.

Câu 5: Cho hàm số

.

C.

.

D.

.

có bảng biến thiên như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 6: Hàm số dạng
A. 2.

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
B. 1.

C. 4.

D. 3.

Bài tập nâng cao
Câu 7: Cho hàm số
trên đoạn

có đạo hàm cấp hai liên tục trên

(và hàm số

đồ thị của hàm số

nghịch biến trên
trên

(và hàm số

. Trên hình vẽ là đồ thị hàm số
), đồ thị của hàm số
luôn đồng biến trên

trên
). Hàm số

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 15

A. 5.

B. 2.

Câu 8: Cho hàm số

liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ dưới đây (
bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 4.

Câu 9: Cho hàm số
dưới đây (đồ thị
hàm số là

A. 5.

C. 4.

D. 3.

, có đạo hàm

với

đồng biến trên

và trên

C. 2.

có đạo hàm đến cấp 2 trên

). Hàm số

có

D. 3.
và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

chỉ có 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Dạng 2: Cực trị hàm bậc ba
Bài toán 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm cho trước
Phương pháp giải
Ví dụ 1:
Tìm m để hàm số

đạt
Trang 16

cực đại tại điểm x = 3.
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có
Bước 1. Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm
thì

Hàm số đạt cực đại tại

thì

, tìm được tham số.

Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào
 Với

hàm số ban đầu để thử lại.

suy ra

là

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc điểm cực tiểu.
nghiệm như sau:

 Với

suy ra

là điểm cực đại.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại

Chọn C.

+) Hàm số đạt cực đại tại
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Hàm số

đạt cực tiểu tại

và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của

là
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:
+) Hàm số đạt cực tiểu tại
+) Thay

ta thấy

nên

là điểm cực tiểu.

+) Mặt khác ta có:
Vậy
Chọn B.
Ví dụ 2: Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

. Giá trị của biểu thức
A.

B.

và đạt cực đại tại điểm

là
C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có

Trang 17

Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm

và đạt cực đại tại điểm

nên ta có hệ phương

trình

Chọn C.
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của m để hàm số
A.

có cực đại và cực tiểu là

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Hàm số

có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi

có hai nghiệm phân biệt hay

có hai nghiệm phân biệt.
Do đó
Chọn D.
Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có
cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số

có hai nghiệm phân biệt.

có cực trị?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:
+) Với
Vậy
+) Xét

, hàm số trở thành

, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.

thỏa mãn yêu cầu.
, để hàm số có cực trị thì

có hai nghiệm phân biệt

.
Hợp cả hai trưởng hợp, khi

thì hàm số có cực trị.

Chọn B.
Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai
trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.

Trang 18

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để hàm số

không có cực trị.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:
+) Với

, hàm số trở thành

là hàm đồng biến trên

+) Xét

, hàm số không có cực trị khi

Hợp cả hai trường hợp, khi

nên không có cực trị, nhận

.

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

thì hàm số không có cực trị.

Chọn C.
Bài toán 3. So sánh hai điểm cực trị với một số hoặc hai số cho trước
Phương pháp giải
Nhắc lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn:
Cho tam thức bậc hai
(*) có hai nghiệm trái dấu

. Xét phương trình
hay

.

(*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

(*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

(*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
(*) có hai nghiệm phân biệt
(*) có hai nghiệm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số

để hàm số
có hai điểm cực trị trái dấu là
Trang 19

A. 18.

B. 17.

C. 19.

D. 16.

Hướng dẫn giải

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi

Vậy

có hai nghiệm trái dấu

, có 18 giá trị của m.

Chọn A.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

có hai điểm

cực trị đối nhau?
A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau

có hai nghiệm đối nhau

Chọn C.
Ví dụ 3: Giá trị của m để đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị có hoành

độ dương là
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương

có hai nghiệm phân biệt dương

Chọn B.

Trang 20

Ví dụ 4: Cho hàm số

. các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm

cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình

Khi đó, giả sử

,

(với

) là hai nghiệm của phương trình

có hai nghiệm phân biệt

.

Bảng biến thiên

Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:

Kết hợp điều kiện có cực trị thì

và

thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.
Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:
Xét

Trang 21

Ví dụ 5: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
nằm bên phải trục tung.
A.

.

B.

.

C.

.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình

Khi đó, giả sử

,

(với

) là hai nghiệm của phương trình

có hai nghiệm phân biệt

thì

Bảng biến thiên

Do

nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

nằm bên phải trục tung

(2).
Từ (1), (2) ta có
Chọn A.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
khoảng

có các điểm cực trị thuộc

?

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Trang 22

Ví dụ 7: Giá trị của m để hàm số
mãn

có hai điểm cực trị

,

thỏa

là

A. m < 2.
C.

B. m < 2 hoặc m > 6.
hoặc m > 6.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.

Yêu cầu bài toán trở thành

Chọn D.
Bài toán 4. Hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm
số
trị

Bước 1. Tìm điểm cực trị (trực tiếp hoặc gián tiếp).

có hai điểm cực
,

sao cho

?

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị khi

có hai

nghiệm phân biệt hay
(*).
Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét.

Theo định lí Vi-ét ta có:
Suy ra

Thử lại với điều kiện (*), ta nhận được

.

Chọn A.
Ví dụ mẫu
Trang 23

Ví dụ 1: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số
cực trị

,

thỏa

có hai điểm

. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 2.

B. – 2.

C. 4.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.

Hàm số có hai điểm cực trị khi

có hai nghiệm phân biệt

(luôn đúng).
Theo định lí Vi-ét ta có:
.
Vậy tổng cần tìm bằng

.

Chọn A.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
cực trị

,

sao cho

để hàm số

có hai điểm

?

A. 38.

B. 35.

C. 34.

D. 37.

Hướng dẫn giải
Ta có

.

Hàm số có hai điểm cực trị khi

có hai nghiệm phân biệt

(*).
Theo định lí Vi-ét ta có

.

Khi đó
(thỏa mãn(*)).
Do m nguyên và

nên

.

Vậy có 37 giá trị của m.
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số
đạt cực trị tại hai điểm
A. 0.

. Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số
,

sao cho

B. 1.

là
C. – 2.

D. – 3.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Trang 24

Hàm số có hai điểm cực trị khi

có hai nghiệm phân biệt
(*).

Theo định lí Vi-ét ta có

.

Từ

thế vào

ta được

thỏa mãn (*).
Chọn C.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số
điểm cực tiểu

thỏa mãn

A. 1.

có điểm cực đại

,

?

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.

Hàm số có hai điểm cực trị khi

có hai nghiệm phân biệt

(*)

Trường hợp 1: m < 0 khi đó, lập bảng xét dấu đạo hàm dễ thấy
Khi đó:
(thỏa mãn).
Trường hợp 2: m > 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có

.

, loại.
Vậy

thỏa mãn đề bài.

Chọn A.
Bài toán 5. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía, khác phía so với trục hoành
Bài toán 5.1. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục
hoành
Phương pháp giải
Ví

dụ:

Tìm

m

để

đồ

thị

hàm

số

có hai điểm cực trị nằm khác
phía so với trục hoành.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Bước 1. Xác định tham số để hàm số có hai điểm

Ta có

.

Trang 25

cực trị.

Xét phương trình

ta có
.

Bước 2. Tìm điều kiện để

.

Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với
trục hoành
Khi đó

.
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số
Cách 2: Định tham số để phương trình
có ba nghiệm phân biệt.

có hai điểm
cực trị nằm khác phía so với trục hoành.
Xét phương trình

Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với
trục hoành thì phương trình

có ba nghiệm

phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác 1.
Vậy

.

Bài toán 5.2. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục
hoành
Phương pháp giải
Ví

dụ:

Tìm

m

để

đồ

thị

hàm

số

có hai điểm cực trị nằm
cùng phía với trục hoành.
Trang 26

Hướng dẫn giải
Bước 1. Định tham số để hàm số có hai điểm cực Ta có:
trị.

.

Để đồ thị hàm số

có hai

điểm cực trị thì phương trình

có hai nghiệm

phân biệt.
Khi đó:

.

Bước 2.
Cách 1. Tìm m để

hoặc

.

Để ý là đối với hàm bậc ba, có hai điểm cực trị thì
.
Cách 2. Tìm tham số m để hàm số có hai điểm cực Xét phương trình
trị và đồ thị chỉ có tối đa hai điểm chung với trục
hoành.

Để phương trình có nhiều nhất hai nghiệm thì:
Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt và một nghiệm bằng 1. Ta có:

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép. Ta
có:
Trường hợp 3: Phương trình (1) vô nghiệm.
Ta có:
Kết hợp với điều kiện ta có
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để đồ thị hàm số

có hai

điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?
A. 34.

B. 30.

C. 25.

D. 19.

Hướng dẫn giải
Trang 27

Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục
hoành là

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì

có ba nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác 1

Do m nguyên và

nên

Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề.
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hàm số
khoảng

. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong

để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng

.

Số phần tử của tập S là
A. 9.

B. 12.

C. 7.

D. 11.

Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có
Xét

. Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị nằm về hai phía đường thẳng

Do

và thuộc

nên

.

Chọn C.
Bài toán 6. Diện tích tam giác có hai đỉnh là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Phương pháp giải
Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác ABC:

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số

có hai

điểm cực trị là A, B. Diện tích tam giác OAB bằng
Trang 28

A. 4.

B. 2.

C. 8.

D. 6.

Bước 1. Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị rồi Hướng dẫn giải
tính diện tích

Ta có:

Do

nên tam giác OAB vuông tại O.

Suy ra
Chú ý: Để tính diện tích tam giác ABC ta có thể
làm như sau:
Bước 1. Tính

Chọn A.

.

Bước 2.

, trong đó
.

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Cho hàm số

có đồ thị (C) và điểm

. Tổng các giá trị nguyên dương

của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là
A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Ta có
Đồ thị (C) luôn có hai điểm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt).
Khi đó

Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấy

.

Trang 29

Do m nguyên dương nên ta nhận được

. Tổng là 3.

Chọn C.
Chú ý: Học sinh nên kiểm tra điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và điều kiện để ba điểm A, B, C
không thẳng hàng (dù trong bài toán này, nếu “quên” thì không ảnh hưởng đến kết quả).
Ta có thể tính nhanh diện tích như sau:
Ta có

và

Khi đó:
Bài toán 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa điểm cực trị
Phương pháp giải
Ví dụ: Biết hàm số
có hai điểm cực trị
.

Giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

bằng
A. – 12.

B. – 18.

C. – 22.

D. – 16.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị nếu
Bước 1. Dùng định lí Vi-ét, đưa biểu thức cần tìm
về một biến.
Bước 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng các Theo định lí Vi-ét:
phương pháp sau:
+) Bổ sung hằng đẳng thức.

Khi đó

+) Dùng bất đẳng thức đã học (bất đẳng thức
AM – GM).
+) Dùng bảng biến thiên.
.
Trang 30

Dấu “=” khi

(thỏa mãn

có hai nghiệm

phân biệt)
Chọn C.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
sao cho giá trị biểu thức
A. 2.

có hai điểm cực trị

đạt giá trị lớn nhất?

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Ta có
Hàm số có hai điểm cực trị khi
Theo định lí Vi-ét

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(thỏa mãn).

Chọn B.
Ví dụ 2: Gọi

là hai điểm cực trị của

. Giá trị lớn nhất của

là
A. 16.

B. 32.

C. 4.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Ta có

. Do

trái dấu nhau nên

luôn có hai nghiệm trái dấu hay hàm số

luôn có hai điểm cực trị.
Theo định lí Vi-ét:
Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi
Chọn D.
Bài toán 8. Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp giải
Để tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị, ta làm Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
các bước sau:

thị hàm số

đi qua điểm nào sau
Trang 31

đây?
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Bước 1. Tìm

. Định tham số để đồ thị hàm số có Ta có:
hai điểm cực trị (trong bài toán chứa tham số).
Bước 2. Viết

, với t, d lần lượt là thương

và dư trong phép chia đa thức y cho

.

Khi đó d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Chú ý: Nếu tọa độ hai điểm cực trị dễ tìm được thì
ta viết đường thẳng theo công thức:

Xét
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là

và

suy ra
Cách khác:
nên

là

một

vectơ

chỉ

phương của đường thẳng
Suy ra phương trình đường thẳng

:

Chọn A.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị và

khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có

Hàm số có hai cực trị khi
Một trong hai điểm cực trị là

có hai nghiệm phân biệt
và

và
Trang 32

Đường thẳng d qua hai điểm cực trị có hệ số góc là
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi

Chọn A.
Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
qua gốc tọa độ. Giá trị lớn nhất

của

và đường thẳng (AB) đi

bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Đường thẳng qua hai cực trị là
Do (AB) qua gốc O nên
Khi đó

Vậy

khi

Chọn D.
Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị A, B. Gọi M, N là hai giao điểm của

đường thẳng (AB) và đường tròn
đến

. Biết MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số có hai điểm cực trị

có hai nghiệm phân biệt

Viết hàm số dưới dạng
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là
Trang 33

Đường thẳng

luôn đi qua điểm cố định là

Đường tròn

tâm

, bán kính

và

nên đường thẳng luôn cắt

đường tròn tại hai điểm M, N.
Giả sử
Vậy khi

(thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB) qua

M, N với

, cắt đường tròn

tại hai điểm

là lớn nhất. Khi đó:

Chọn B.
Bài toán 9. Tính chất điểm uốn liên quan đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Phương pháp giải
Gọi

là nghiệm của phương trình

Khi ấy điểm

. Ví dụ: Đồ thị hàm số
do

được gọi là điểm uốn

có điểm uốn

là nghiệm của

của đồ thị hàm số.
Chú ý: Điểm uốn là trung điểm đoạn nối hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số bậc ba, suy ra điểm uốn
nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị.
Tức là:
Đường thẳng đi qua điểm uốn luôn cách đều hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là
điểm

. Giá trị của

A.

và

. Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại

bằng
B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trang 34

Ví dụ 2: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có hai

điểm cực trị A và B sao cho A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng

. Tổng các phần tử

của S bằng
A. 0.

B. 6.

C. – 6.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Đường thẳng

cách đều hai điểm cực trị của đồ thị thì có hai khả năng sau:

Khả năng 1: Đường thẳng d song song với đường thẳng AB, khi đó A, B nằm cùng phía so với đường
thẳng d, trái với giả thiết.
Khả năng 2: Đường d đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số (vì điểm uốn là trung điểm của A và B).
Ta có:

luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai

cực trị.
, suy ra tọa độ điểm uốn là
Khi đó:
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là
điểm

. Khi đó

và

. Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại

bằng

A. 3.

B. 6.

C. 2.

D. – 2.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của m thì đồ thị hàm số

có cực đại, cực

tiểu thỏa mãn
A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 3: Đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

đi qua điểm

. Khi đó m bằng
A.

B.

C.

Câu 4: Cho hàm số

D.

với m là tham số. Gọi

cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị

là đồ thị của hàm số đã

luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Hệ

số góc k của đường thẳng d là
A.

B.

C.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

D.
có các điểm cực đại

?
Trang 35

A. 0.

B. 3.

C. 1.

Câu 6: Cho hàm số
độ

D. 2.

(m là tham số). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa

đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là
A.

B.

C.

D.

Câu 7: Biết đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số

là

. Khi đó

bằng
A.

B.

C.

Câu 8: Biết đồ thị của hàm số

có hai điểm cực trị và trung điểm của đoạn thẳng

nối hai điểm cực trị đó thuộc đường thẳng
A.

D.

. Chọn khẳng định đúng.

B.

C.

Câu 9: Cho hàm số

D.
(m là tham số). Gọi A là điểm cực đại của đồ thị

hàm số và điểm M thuộc đường tròn
A.
Câu

. Giá trị nhỏ nhất của độ dài MA bằng

B.
10:

Biết

C.

điểm

tạo

với

hai

D.
điểm

cực

trị

của

đồ

thị

hàm

số

một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

B.

C.

D.

Bài tập nâng cao
Câu

11:

Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

để

đồ

thị

hàm

số

có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành?
A. 4035.

B. 4036.

C. 4037.

D. 4038.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
A. 4.
Câu 13: Gọi

B. 5.

C. 6.

là hai điểm cực trị của hàm số

thức
A. 8.

. Giá trị lớn nhất của biểu

là
B. 1064.

Câu 14: Biết hàm số
A.

D. 7.

C. 392.

D. 0.

không có cực trị. Giá trị nhỏ nhất của
B.

C.

Câu 15: Cho hàm số

là

D.

không có điểm cực đại. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là
Trang 36

A.

B.

C.

Câu 16: Cho hàm số

D.

. Biết rằng có hai giá trị

của tham số m để đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn

. Giá trị của

bằng
A. 0.

B. 10.

C. 6.

D. – 6.

Câu 17: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số

có điểm

cực đại và điểm cực tiểu cách đều