VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Chuyên đề 1 Căn thức và các bài toán liên quan
Câu 1.

• Tra cứu lời giải tại đây: https://vungocthanh1984.blogspot.com/.
[9d1](hsg9
TP
Cần
Thơ
2020-2021)
Cho

biểu

thức

2
2
x 4 x + 4 + 2 x2
+
+
(với x ≥ 1) .
x −1 + x
x −1 − x
x +1 + x
a) Rút gọn biểu thức P.
P=

b) Chứng minh biểu thức P có giá trị không âm với mọi giá trị x ≥ 1.
Câu 2.

[9d3](hsg9 An Giang 2020-2021) Rút gọn A =

Câu 3.

[9d4](hsg9 Bà Rịa - Vũng tàu 2020-2021)

5 +1
10
−
+3
3−2 2
5−2

(

2− 5

)


x
x − x −1   x + 2
x −5 
1) Rút gọn biểu thức P = 
với x ≥ 0, x ≠ 4
−
:
−


 x − 2 x − 2 x   x + 1 x − x − 2 

 


2) Tính giá trị của biểu thức M = x 3 − 9 x + 2021 với x = 3 12 − 3 13 + 3 12 + 3 13 .
Câu 4.

[9d5](hsg9 Bình Dương 2020-2021)
a) Tính giá trị của biểu thức: M = ( x + x − x
9

Câu 5.

2020 2021

)

( 27 + 9 10 )
v ới x =

3

37 10 − 117

10 + 91 − 8 10
1
1
1
1
+
+
+ .... +
b) Rút gọn biểu thức: N =
1 + 11
11 + 21
21 + 31
2011 + 2021
[9d6](hsg9 Bình Phước 2020-2021)

 x+2
x
1  x −1
1. Cho biểu thức A = 
+
+
 :
 x x −1 x + 1+ x 1− x  2 x

a. Rút gọn A .

(

b. Chứng minh A <

)(

2
.
3

)

2. Cho 2 x + 4 x 2 + 1 3 y + 9 y 2 + 1 = 1. Tính giá trị biểu thức: 8 x3 + 27 y 3 + 2021.
Câu 6.

[9d7](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho biểu thức A =

3x + 9 x − 3
x +1
x +2
−
+
.
x+ x −2
x + 2 1− x

( x ≥ 0, x ≠ 1) .
a) Rút gọn biểu thức A .
Câu 7.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

[9d8](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Cho P = 2n − 2 n 2 − 1 với n là số nguyên dương. Lần lượt
thay các giá trị n = 1; n = 2;…; n = 10 vào P ta được các giá trị tương ứng P1; P2 ;…; P10 . Tính

S = P1 + P2 +…+ P10
A=
Câu 8.

[9d9](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x

b) Tìm các giá trị của x để A < 1

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 1

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

Câu 9.

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022
1975

[9d10](hsg9 Gia Lai 2020-2021) Tính giá trị biểu thức A = ( x 30 − 5 x 4 + 3)
x=

, biết

3 − 1 − 21 − 12 3 .

Câu 10. [9d11](hsg9

Hà

Nam

2020-2021)

biểu

Cho

thức

 x−2 x x− x x −6
x +1
x + 39
(với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4).
Q = 
−
+
 .
x + x − 2 1 − x  x + 3 x − 10
 x−4
a) Rút gọn Q.
b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 11. [9d12](hsg9 Hòa Bình 2020-2021)

1. Phân tích đa thức thành nhân tử : A = x 3 − x 2 − 4 .
3. Cho x, y , z thoả mãn: xy + yz + zx = 1.

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y )
2

A= x

2. Tính: B = 28 − 10 3 + 4 + 2 3
Hãy tính giá trị biểu thức:

2

2

2

2

1 + x2
1+ y2
Câu 12. [9d13](hsg9 Hải Dương 2020-2021)
1) Rút gọn biểu thức: A = (

x− y
x+ y + x− y

2

1+ z2

+

x− y
x2 − y 2 − x + y

).

x2 + y 2
x2 − y 2

, v ới x > y > 0 .

2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a + b + c − 2020 + 2020(ab + bc + ca) − abc = 0 .
Tính : P =

1
2021

+

1
2021

+

1
2021

a
b
c
Câu 13. [9d14](hsg9 Khánh Hòa 2020-2021)
3
a) Rút gọn A = 3 − 2 2 − 7 + 5 2 .
b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 và x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx . Tính giá trị của

biểu thức B = x 2020 + y 2020 + z 2020 + xyz .
Câu 14. [9d15](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức:

4+ 2 + 4− 2

P=
Câu 15. [9d16](hsg9

Lai

4+ 2 − 4− 2
Châu


x  
x +2
A = 1 −
+
 : 
x
+
1
x
−
5
x
+
6

 

Lào

2020-2021)

Cho

biểu

thức

biểu

thức

x +3
x +2
+
.
x − 2 3 − x 

a) Rút gọn biểu thức A .
Câu 16. [9d17](hsg9

− 15 − 4 14

b) So sánh A và −
Cai

2020-2021)

Cho

5
.
2

 3 x
2 x
9x + x + 1  3 x + 1
, ( x > 0, x ≠ 1) .
P = 
−
−
 :
x
−
1
3
x
+
2
x
3
x
−
x
−
2
7
x
−
7
x


a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 17. [9d18](hsg9
Lạng
Sơn
2020-2021)
Cho
 x− y
x + y   x + y + 2 xy 
P=
−
: 1+
 với x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1.
 1 + xy
 
1
−
xy
1
−
xy



a) Rút gọn biểu thức P.

biểu

thức :

b) Tính giá trị biểu thức P với y = 9 + 4 5 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 2

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022



a−4
− 1
Câu 18. [9d19](hsg9 Nam Định 2020-2021) Cho P = 7 − 4 3 + 3 ( a + 3) a − 3a − 1 : 
3 a −2



với a ≥ 0; a ≠ 1; a ≠ 4. Rút gọn biểu thức P.

(

Câu 19. [9d20](hsg9 Phú Yên 2020-2021) Chứng minh rằng:

3

)

5 + 2 13 + 3 5 − 2 13 = 1 .

Câu 20. [9d21](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Rút gọn biểu thức

x+2
11 + x   3 x + 2 + 1
1 
A = 
+
−
 : 
 với x > −2 và x ≠ 7 .
x + 2 
 x +2 +3 7− x   x−3 x+ 2 +2
Câu 21. [9d22](hsg9 Quảng Nam 2019-2020 2020-2021) Cho hai số thực dương phân biệt a, b . Xét hai

a+ b
a− b
a 2 + b2
+
biểu thức A =
B= 2
⋅ Rút gọn biểu thức A và tính . B . theo A .
a − b2
a− b
a+ b
Câu 22. [9d23](hsg9 Quảng Nam 2020-2021) Rút gọn biểu thức sau:

3

A = 13 + 30 4 + 9 − 4 2 ;

2 3 + 12 −

B=

(

4 4− 3

)

3
3

27

2 3 − 12 −

+

2

Câu 23. [9d24](hsg9 Quảng Ngãi 2020-2021) Cho biểu thức A =

(

4 4− 3

)

27

2

3

.

5 x −1 2 x −1 2 x + 1
+
−
với
x +2
x −1 x + x − 2

x ≥ 0 và x ≠ 1 .
A
nhận giá trị nguyên.
2
5 x −1 2 x −1 2 x + 1
+
−
Câu 24. [9d25](hsg9 Quảng Ninh 2020-2021) Cho biểu thức A =
với
x +2
x −1 x + x − 2
x ≥ 0 và x ≠ 1 .

a. Rút gọn biểu thức A ;

b. Tìm giá trị của x để

a. Rút gọn biểu thức A ;

b. Tìm giá trị của x để

Câu 25. [9d26](hsg9

P =  x −1+


Sóc

Trăng

2020-2021)

1
x −1

+
 
x + 2021   x − 2022 x + 2021

a) Rút gọn biểu thức P .

thức

x + 2021
x +1 
+

2021 − x 
x −1

b) Tìm giá trị của x để P = 2024 .

Câu 26. [9d27](hsg9 Sơn La 2020-2021) Cho hai biểu thức A =

B=

A
nhận giá trị nguyên.
2
Cho
biểu

2 x
x + 1 3 − 11 x
+
+
và
9− x
x +3
x −3

x −3
với x ≥ 0; x ≠ 9
x +1

a) Tính giá trị của tại x =

2

(

5 45 − 2021

+

) 5 ( 45 +

2
2021

)

.

b) Rút gọn A .
c) Tìm tất cả các số nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên.
Câu 27. [9d28](hsg9 Thanh Hóa 2020-2021)

x −3 x   3− x
x −2
9−x 
1. Rút gọn biểu thức P =  1 −
+
−
 : 
 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
x − 9   x − 2 3 + x x + x − 6 

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 3

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

2. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a 3 + 1 = 3a; b3 + 1 = 3b; c 3 + 1 = 3c . Tính
giá trị biểu thức: Q = a 2 + b2 + c 2 .
Câu 28. [9d29](hsg9 Thái Bình 2020-2021) Cho a =

1
3

1
3
3+ −
3 9

a) Chứng minh rằng 9a 2 + 2 3a − 3 = 0
b) Tính giá trị biểu thức S = 3 3a 2 + 27a 4 + 16a + 8
Câu 29. [9d30](hsg9

Thái

Nguyên

2020-2021)

Cho

biểu

thức

 x + 2 x + 4 x + 2 x +1   x + 2

1
P = 
+
+
 : 
 . Chứng minh giá trị của biểu thức P
x
+
1
−
8
+
1
−
3
+
2
x
x
x
x
x

 

không phụ thuộc vào x (với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 3, x ≠ 4 ) .

Câu 30. [9d31](hsg9 Thừa Thiên Huế 2020-2021)
a) Cho P ( x ) =

x3 + 3x 2 + ( x 2 − 4 ) x 2 − 1 − 4
x3 − 3x 2 + ( x 2 − 4 ) x 2 − 1 + 4

, với x ≥ 1, x ≠ 2, x ≠

2 3
. Hãy tìm các giá trị của
3

x để biểu thức P ( x ) = 0 . (Không sử dụng máy tính cầm tay)
 x+2
x
1  x −1
b) Cho biểu thức Q = 
+
+
( x > 0, x ≠ 1) . Chứng tỏ rằng
 :
 x x −1 x + x +1 1 − x  2
0
Câu 31. [9d32](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Tính giá trị của biểu thức: A = ( 3 x3 + 5 x 2 − 2 x + 2020 )

(
Với x =

5+2

)

3

2021

17 5 − 38

5 + 14 − 6 5
Câu 32. [9d33](hsg9
Trà

Vinh

2020-2021)

Cho

biểu

thức

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
M =
 : 1 −

−
9
x
+
−
x
3
x
3
x −3 

 
1. Rút gọn M

2. Tìm x để M <

Câu 33. [9d34](hsg9
Tuyên
Quang
2020-2021)
1
1
1
1
S= 2
+ 2
+ 2
+ ...... +
2
1 + 2.1 3 + 2.3 5 + 2.5
2021 + 2.2021
Câu 34. [9d35](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Rút gọn biểu thức

1
2

Rút

gọn

biểu

thức

 1
  2 x
2 x
a) P = 
−
 : 1 −
 với x ≥ 0 và x ≠ 1
 x −1 x x + x − x −1   x +1 
2
b) A = 4 + 2 3 + 6 − 2 5 +
5+ 3

3
x + 3  4x2 − 4
 x +1
Câu 35. [9d36](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho biểu thức: P = 
.
+ 2
−
.
5
 2x − 2 x −1 2x + 2 

a) Hãy tìm điều kiện xác định của P .
b) Chứng minh rằng khi P xác định thì nó không phụ thuộc vào x .
Câu 36. [9d37](hsg9 Yên Bái 2020-2021)
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 4

:

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

4+2 3 + 4−2 3
12
2
  1 + x3

x (1 − x )  1 − x3
: 
+ x .
− x  .
2) Cho biểu thức B =


1+ x
 1 − x
  1+ x
 
1

Với x ≥ 0; x ≠ 1 . Chứng minh rằng M = x.  B −  ≤ 0 .
2

Câu 37. [9d747](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Tính giá trị của biểu thức A = x 4 − x 2 + 2 khi
1) Tính giá trị của biểu thức A = (1 − x 5 + x 7 )

2021

, biết x =

x = 2 − 3 + 2 + 3.
Câu 38. [9d748](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho biểu thức P =

2x + 4 x + 6
x −2
3
+
+
−2
x+ 2 x −3
x −1
x +3

với x ≥ 0 , x ≠ 1 . Tìm tất cả các số tự nhiên x để P là số tự nhiên.
Câu 39. [9d749](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022)
( a + b ) 2 − 3 ab  a − b
a 3 − b3
:
+
1. Rút gọn biểu thức: P =
 a− b
b−a
a+ b



 , (a > 0, b > 0, a ≠ b).



2. Cho a = 2 + 4 − 2 3 + 1 . Chứng minh rằng a là một nghiệm của phương trình
x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 .
Câu 40. [9d750](hsg 9 Thái Bình 2021-2022)
a) Rút gọn biểu thức: A =

3 + 3 − 13 − 48
3 +1

(

)(

)

b) Cho hai số a; b thỏa mãn a + a 2 + 1 3b + 9b 2 + 1 = 1
Tính giá trị biểu thức P = a 3 + 27b 3 + 2a + 6b + 2022 .
2

 x −1
x +1   1
x
Câu 41. [9d751](hsg 9 TP Cần Thơ 2021-2022) Cho biểu thức Q = 
−
−
 
 v ới
x − 1   2 2 2 
 x +1
x > 0, x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức Q .
b) Tìm các giá trị của x sao cho
Câu 42. [9d752](hsg

B=

9

Trà

Vinh

Q
> 3.
x
2021-2022)

Cho

hai

biểu

thức

A=

x −2
x −1

3 x
x + 2 13 x + 2
+
−
; (với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4 ) .
4− x
x +2 2− x

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = (5 + 2 )(5 − 2 ) + 2 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P = A.B nhận giá trị là một số tự nhiên.
Câu 43. [9d753](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022)

 a a +a−2
1 
1
−
1) Rút gọn biểu thức P = 
; với a > 0, a ≠ 1 .
 :
a −1
a +1 a a − a

2) Tính giá trị của biểu thức Q = a 3 + b3 với a = 3 7 + 50 , b = 3 7 − 50 .
Câu 44. [9d754](hsg 9 Bình Dương 2021-2022)
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 5

và

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

1. Chứng minh rằng: A = 1 +

1
1
1
1
+
= 1+ −
với a > 0 . Áp dụng để tính giá trị
2
2
a ( a + 1)
a a +1

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2 +
.
2
1 2
2 3
99 100 2

biểu thức: B = 1 +

(

) (

)

2. Tính giá trị của biểu thức C = x 2022 − 8 x 2021 + 11x 2020 + y 2022 − 8 y 2021 + 11y 2020 biết

x = 4 + 5 và y = 4 − 5 .
Câu 45. [9d755](hsg

P=

(

9

Bình

)

2 x 6 − x + 12

+

Phước

2021-2022)

Cho

biểu

thức:

5 − x 1− 2 x
−
3− x
x +3

x−9
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm các giá trị của x để biểu thức P < 0.
Câu 46. [9d756](hsg 9 Bình Định 2021-2022) Cho a> 0 thỏa mãn điều kiện: 4a 2 + 2 (a −1)= 0 . Tính
T=

a +1
a 4 + a +1 − a 2

Câu 47. [9d757](hsg

.

9

Bắc

Giang

2021-2022)

Cho

biểu

thức

2

 x
1   x+ x −2 x+3 x +2
P = 
−
−
 
 với x > 0 và x ≠ 1 .
 4 4 x   x+3 x +2 x+ x −2 
a) Rút gọn biểu thức P .
19
b) Tìm các giá trị của x đề 4 P + 3 x = .
3
Câu 48. [9d758](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022)
1) Cho biểu thức A =

3a + 9a − 3
a +1
a −2
với a ≥ 0; a ≠ 1
−
−
a+ a −2
a +2
a −1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của a để A > 2.
2) Tính giá trị của biểu thức B =
Câu 49. [9d759](hsg

9

Bắc

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11
Ninh

.

2021-2022)

Rút

x−2 x
x +1
1 + 2x − 2 x
+
+
, với x > 0, x ≠ 1 .
x x −1 x x + x + x
x2 − x
Câu 50. [9d760](hsg
9
Cao
Bằng
2021-2022)

x   x + 3
x +2
x + 2 
 : 
 .
A = 1−
−
+
x + 1  x − 2
x − 3 x − 5 x + 6 


gọn

biểu

thức

P=

1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm x để biểu thức A có giá trị bằng 0,5 .
Câu 51. [9d761](hsg
9
Gia
Lai
2021-2022)
Rút


2
2
A =  (x + 1) + x 2 − (x − 1) + x 2  4x 2 + 2 + 2 4x 4 + 1 .



Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Cho

gọn

biểu

biểu

thức:

thức

Trang 6

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Câu 52. [9d762](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Xét biểu thức Q =

2 + 4 − x2 . 


(2 + x)

3

−

(2 − x)

3

4 + 4 − x2




.

Tìm điều kiện của x để Q xác định và rút gọn Q .

 x +4
1   2 x +5
+
Câu 53. [9d763](hsg 9 Hòa Bình 2021-2022) Cho biểu thức A = 
 : 1 −
 (với
x
−
4
x
x
−
2
+
2

 

x ≥ 0, x ≠ 4 ) .
1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
3. Tìm x sao cho

Câu 54. [9d764](hsg

B=

1
≥ 0.
( x − 1) . A

9

Hưng

Yên

2021-2022)

Cho

hai

biểu

thức

A=

7 x −2
,
2 x +1

x +3
x −3
36
với x ≥ 0,x ≠ 9 . Tìm x để A = B .
−
−
x −3
x +3 x −9

Câu 55. [9d765](hsg 9 Hải Dương 2021-2022) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6
và

a + b + c = 4 . Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
=
a+5 b+5 c+5

10
( a + 5)(b + 5)(c + 5)

Câu 56. [9d766](hsg 9 Kon Tum 2021-2022) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu
thức P = 6 + 2 5 − 29 − 12 5 .

Câu 57. [9d767](hsg 9 Lai Châu 2021-2022)

biểu

Cho

thức:


x +2
x +3
x +2 
x 
P = 
−
−
 :  2 −

x −3  
x + 1 
 x −5 x +6 2− x
a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm x để

Câu 58. [9d768](hsg 9 Long An 2021-2022) Cho biểu thức M =

1
5
≤− .
P
2

x2 − x
x2 + x
−
x + x +1 x − x +1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = M + x − 1
Câu 59. [9d769](hsg

9

Lào

Cai

2021-2022)

Rút

g ọn

biểu

thức

sau:


 a +b
a −b
a −b
P = 
+
, v ới a > b > 0 .
.
a 2 − b2 − a + b  a 2 − b 2
 a +b + a −b
2

2

 x+2
x
1  x −1
+
+
Câu 60. [9d770](hsg 9 Lạng Sơn 2021-2022) Cho A = 
v ới
 :
3
x
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x


x > 0, x ≠ 1 .
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x để A là số nguyên.
Câu 61. [9d771](hsg 9 Nam Định 2021-2022) Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn

2+ 3 + 3− 5 =

m+ n
. Tính tổng m + n.
2

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 7

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Câu 62. [9d772](hsg

9

Phú

Yên

2021-2022)

Cho

biểu

thức

 2x + x −1 2x x + x − x  

x
P = 
+
− 1
 : 
1+ x x
 1− x
  1− x 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

b) Tìm x thỏa mãn

Câu 63. [9d773](hsg 9 Quảng Nam 2021-2022) Cho biểu thức A =

1
1
− x = .
P
2

x x −3 x + 2 x + 2 x −3
−
v ới
x −1
x+4 x +3

x ≥ 0, x ≠ 1 . Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = x − 3 .

Câu 64. [9d774](hsg 9 Quảng Ninh 2021-2022) Cho biểu thức A =

5 x −1 2 x −1
2 x +1
với
+
−
x +2
x −1 x + x − 2

x ≥ 0 và x ≠ 1 .
a) Rút gọn biểu thức A;
Câu 65. [9d775](hsg

b) Tìm giá trị của x để

9

Sóc

Trăng

A
nhận giá trị nguyên.
2

2021-2022)

Cho

biểu

thức



x   1
2 x
−
P = 1 +
 : 
 − 1 .
 x + 1   x −1 x x + x − x −1 

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P − x nhận giá trị nguyên.
Câu 66. [9d776](hsg
9
Sơn
La
2021-2022)
Rút
g ọn

biểu

thức

biểu

thức:

 x+4 x +4 x+ x   1
1 
A = 
+
−
, ( x > 0; x ≠ 1) .
 : 
1 − x   x + 1 1 − x 
 x+ x −2
Câu 67. [9d777](hsg 9 Thanh Hóa 2021-2022) Rút gọn phân thức

P=

x
x3 − x
2
+
.
v ới x ≥ 0 ; y > 0 ; x ≠ 4 y ; x ≠ 1 .
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x

Câu 68. [9d778](hsg

9

Thừa

Thiên

Huế

2021-2022)

Cho

 x + 2022
x − 2022  
x
1 
P = 
−
1
+
+


x − 1 
2 2 x 
 x + 2 x +1

b. Tính giá trị của P khi x = 3 26 − 15 3 + 3 26 + 15 3 .

a. Rút gọn biểu thức P .
Câu 69. [9d779](hsg

9

Tiền

Giang

2021-2022)

Cho

biểu

thức

:

 1
2 x
1 
x 
P( x) = 
+
−
1
−

 với x > 0, x ≠ 1.

x
−
1
x
+
x
x
−
x
x
+
1



2
2
a) Chứng minh P( x) =
−
b) Tính giá trị S = P (1) + P (2) + ... + P (2021)
x
x +1
Câu 70. [9d780](hsg 9 Tuyên Quang 2021-2022)

Rút

g ọn

biểu

thức

 x x − 1 x x + 1   2( x − 2 x + 1) 
P=
−
:
 với x > 0; x ≠ 1.
 x− x

x −1
x + x  



Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 8

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

Câu 71. [9d781](hsg

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

9

Điện

Biên

2021-2022)

Cho

biểu

thức


x
x − x −1   x + 2
x −5 
P = 
−
−
 : 

 x − 2 x − 2 x   x +1 x − x − 2 
1. Rút gọn biểu thức P .
2. So sánh giá trị của biểu thức P với 4.
Câu 72. [9d782](hsg
9
Đà
Nẵng
2021-2022)
Cho
biểu

thức

 x x −1 x + 2 x  
x
1 
B = 
−
− 2

 với x > 0 , x ≠ 1 . Rút gọn biểu thức B và

x + x   x x −1 x − x 
 x −1
B 2022 + 1
chứng minh rằng 2020
> B với mọi x > 0 , x ≠ 1 .
b
+1
Câu 73. [9d783](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz
= 4. Tính giá trị của biểu thức: M =

15 x
+
3 x + xy + 2

5 y

10 z
yz + y + 3 3 xz + 2 z + 2
+

Câu 74. [9d784](hsg
9
Quảng
Ngãi
2021-2022)
Cho
biểu
thức
 x +1
 
xy + x
xy + x
x +1 
A=
+
+ 1 : 1 −
−
.
 xy + 1 1 − xy
 
xy − 1
xy + 1 

 
1
1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Cho
+
= 6 . Tìm giá trị lớn nhất của A .
x
y
Câu 75. [9d785](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho x là số thực thoả mãn

2
≤ x ≤ 2. Rút gọn biểu thức
3

T = 3x + 2 + 4 3x − 2 + 3x + 2 − 4 3x − 2 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 9

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Chuyên đề 2

Hàm số

• Tra cứu lời giải tại đây: https://vungocthanh1984.blogspot.com/.
Câu 76. [9d38](hsg9 Cao Bằng 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x ) = ( 3m 2 − 7 m + 5 ) x − 2021 ( *) . Chứng
minh rằng hàm số (*) luôn đồng biến trên ℝ với mọi m .
Câu 77. [9d39](hsg9 Thái Nguyên 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

( d ) : y = ax − 4 ( a ≠ 0) và hai điểm A ( 0; −2) , B ( 6;0) . Tìm các giá trị của a để đường thẳng ( d )
cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M , N sao cho S∆OAB = S∆OMN .

Câu 78. [9d40](hsg9 An Giang 2020-2021) Cho ba đường thẳng:
(d1 ) : y = x − 6 ; (d 2 ) : y = −(2m + 6) x + 2m + 1 ; (d3 ) : y = (m + 1) x − m − 6
a. Với giá trị nào của tham số m thì (d1 ) trùng với (d 2 ) , (d 2 ) trùng với (d3 ) .
b. Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho phân biệt và đồng quy.
Câu 79. [9d41](hsg9 Bắc Giang 2020-2021) Cho đường thẳng d : y = ax + b, ( a ≠ 0 ) đi qua M (1;4 ) và
cắt Ox tại điểm A có hoành độ dương, cắt Oy tại B có tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = OA + OB .

Câu 80. [9d42](hsg9 Quảng Bình 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng
( d ) : y = ax + b ( a ≠ 0) đi qua điểm A(1; 4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ) .

a) Viết phương trình đường thẳng ( d ) sao cho biểu thức OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P =

OB.OC
.
BC

Câu 81. [9d43](hsg9 Vĩnh Phúc 2020-2021) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy đường thẳng d có
phương trình y = ax + b cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác

OAB bằng 2 và tổng OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất . Viết phương trình đường thẳng d .
Câu 82. [9d44](hsg9 Kiên Giang 2020-2021) Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol: y = − x2
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d1 ) : y = 2x + 1 tiếp xúc Parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.
2. Xác định tiếp tuyến (d2 ) với parabol nói trên sao cho d2 ⊥ d1 .
3. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 .
Câu 83. [9d45](hsg9 Hòa Bình 2020-2021) ư Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m − 2 ) x + 2m − 1 ( m là tham
số)
a) Chứng minh rằng đường thẳng ( d ) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng ( d ) có giá trị bằng 2 .
Câu 84. [9d46](hsg9 Bắc Ninh 2020-2021) Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P) . Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để đường thẳng (d ) : y = mx + 2 cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích
15
. Trong đó D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành.
2
1
Câu 85. [9d47](hsg9 Hà Nam 2020-2021) ư Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường
2

hình thang ABCD bằng

thẳng ( d ) : y = mx + 2 (với m là tham số) . Tìm tất cả các giá trị của m để ( d ) cắt ( P ) tại hai
điểm phân biệt sao A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 5 (đơn vị diện tích) .
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 10

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

(

)

Câu 86. [9d48](hsg9 Kon Tum 2020-2021) Cho hàm số y = f ( x ) = m2 − 3m + 5 x − m + 2 . Đồ thị của
nó là đường thẳng ∆ . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ∆ cắt trục Ox
tại A , cắt trục Oy tại B (các điểm A , B không trùng với điểm O ) , sao cho OB = 3OA .
Câu 87. [9d49](hsg9 Sơn La 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m và parabol ( P ) : y = x2 (m là tham số) .
a) Tìm tọa độ các giao điểm của ( d ) và ( P ) khi m = 2 .
b) Tìm m để ( d ) và ( P ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ

x1; x2 sao cho biểu thức

E = x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 88. [9d50](hsg9 Bình Phước 2020-2021) Cho Parabol ( P ) : y = x2 và đường thẳng ( d ) : y = mx + 1
( m là tham số thực) . Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10
.

1 2
x .
4
Đường thẳng ∆ : y = m cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B . M là điểm tùy ý trên trục Ox . Tìm

Câu 89. [9d51](hsg9 Tiền Giang 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y =

m để tam giác MAB có diện tích bằng 2021.

Câu 90. [9d786](hsg 9 Thái Bình 2021-2022) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) :
y = mx + 2m − 1 ( m là tham số ) . Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại

1
1
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
OA OB 2
1
Câu 91. [9d787](hsg 9 Lâm Đồng 2021-2022) Cho các hàm số bậc nhất: y = x − 3 , y = 4 − x và
2
m
y = x − 4 có đồ thị lần lượt là các đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) và ( dm ) . Với những giá trị nào
6
của tham số m thì đường thẳng ( dm ) cắt hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) lần lượt tại hai điểm A
A , B ( A , B không trùng điểm O ) sao cho T =

và B sao cho điểm A có hoành độ âm và điểm B có hoành độ dương?
Câu 92. [9d788](hsg 9 Quảng Trị 2021-2022) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

(

)

y = m2 + 10 x − 25 cắt đồ thị hàm số y = x 2 tại hai điểm phân biệt mà hoành độ của chúng đều
là các số nguyên.
Câu 93. [9d789](hsg 9 Trà Vinh 2021-2022)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (0;1) đường

thẳng (d ) :4 x + 3 y = 12 . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d ) .
Câu 94. [9d790](hsg 9 Bắc Kạn 2021-2022) Cho đường thẳng (d) : y = ( 3 + m ) x + m − 1 (với m là
tham số)
a) Tìm điểm cố định của đường thẳng (d) .
b) Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 95. [9d791](hsg 9 Bắc Ninh 2021-2022) Cho đường thẳng d : y = ax + b ( a khác 0 ) . Tìm a, b biết

d đi qua M (1; 2 ) và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân, O là
gốc tọa độ.
Câu 96. [9d792](hsg 9 Cao Bằng 2021-2022) Cho hàm số y = (m − 2) x + 2 (m ≠ 2) có đồ thị là đường
thẳng ( d ) .

1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ luôn âm.
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 11

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

2. Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng ( d ) bằng 1.
Câu 97. [9d793](hsg 9 Hòa Bình 2021-2022) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đồ thị hàm
2
số y = ( m − 1) x + 2 bằng
.
5
Câu 98. [9d794](hsg 9 Quảng Bình 2021-2022) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm

A(6;0), B(0; −3) và đường thẳng (d) có phương trình y = −(m + 2) x + 2m + 2 ( m là tham số,
5
m ≠ −2, m ≠ − 
2
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d ) và AB

b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d chia tam giác OAB thành hai phần có diện
tích bằng nhau ( O là gốc tọa độ)
Câu 99. [9d795](hsg 9 Đà Nẵng 2021-2022) Cho điểm A ( 2; 4 ) và điểm B ( −4;1) .
a) Tính diện tích tam giác OAB , với O là gốc toạ độ và đơn vị trên các trục là xentimét.
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng OA , biết d tiếp xúc với đường
tròn ( O ; OA ) .
Câu 100. [9d796](hsg 9 Yên Bái 2021-2022) Cho đường thẳng d : y = mx + m − 1 , với m là tham số thực
và m ≠ 0 .
a) Đường thẳng d cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A và B . Tìm tọa độ của A và B theo m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính

1
.
5

Câu 101. [9d797](hsg 9 Hưng Yên 2021-2022) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng

( d ) : y = mx + m − 1 ( m là tham số) . Tìm giá trị của m để đường thẳng ( d ) tạo với hai trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 102. [9d798](hsg 9 Tây Ninh 2021-2022) Cho parabol

( d ) : y = (10 − 4m ) x − 3m − 7 ( m

( P ) : y = 3x 2

và đường thẳng

là tham số) . Tìm các giá trị nguyên của m để ( P ) cắt ( d ) tại

hai điểm phân biệt có hoành độ là các số dương.
Câu 103. [9d799](hsg 9 Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol
( P) : y = x2 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc ( P) sao cho tam giác OAB đều.

Câu 104. [9d800](hsg 9 Hậu Giang 2021-2022) Trong mặt phẳng Oxy, cho hàm số y =

3
x − m ( m là
4

1 2
x có đồ thị là parabol ( P ). Tìm m
2
để d cắt ( P ) tại hai điểm có hoành độ dương x1 , x2 . Giả sử x1 < x2 . Tìm m biết rằng x2 là một

tham số thực) có đồ thị là đường thẳng d và hàm số y =

nghiệm của đa thức f ( x ) =

1 3 3 2
x − x − mx.
6
8

Câu 105. [9d801](hsg 9 Tiền Giang 2021-2022) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol ( P) : y = x 2 và
đường thẳng y = 2mx + 3
a) Chứng minh ( d ) luôn đi qua điểm cố định với mọi m
b) Tìm m để ( d ) và ( P ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ); B ( x2 ; y2 ) thoả mãn
y1 − 4 y2 = x1 − 4 x2 + 3x1 x2
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 12

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Câu 106. [9d802](hsg 9 Bình Phước 2021-2022) Cho parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) : y = x − 3
. Tìm trên parabol (P) hai điểm A và B sao cho AB = 3 2 và đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng (d) , biết rằng điểm A có hoành độ âm.
Câu 107. [9d803](hsg 9 Hà Nam 2021-2022) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Parabol

( P ) : y = x2

và đường thẳng d : y = 2 ( m − 1) x − m 2 , với m là tham số. Tìm các giá trị nguyên

của m để d cắt

( P)

tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn

x12 + 2 ( m − 1) x2 ≤ 3m 2 + 20 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 13

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

Chuyên đề 3
•

Phương trình

Tra cứu lời giải tại đây: https://vungocthanh1984.blogspot.com/.

Câu 108. [9d52](hsg9 Hà Tĩnh 2020-2021) Giải phương trình: ( x 2 − 1) ( x + 3 )( x + 5 ) = 9.
Câu 109. [9d53](hsg9 Ninh Bình 2020-2021) Cho phương trình: x 2 − 2(m + 1) x + 4m − m2 = 0 (1) ( x là
ẩn, m là tham số) .
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x1 − x2 .
6

6

6

6

Câu 110. [9d54](hsg9 Bạc Liêu bảng A 2020-2021) Giải phương trình: ( x − 2 ) + ( x − 4 ) = 64 (1)
Câu 111. [9d55](hsg9 Bạc Liêu bảng B 2020-2021) Giải phương trình: ( x − 2 ) + ( x − 4 ) = 64 .
Câu 112. [9d56](hsg9 Hòa Bình 2020-2021) Giải phương trình: x2 − 3x + 2 + x − 1 = 0
Câu 113. [9d57](hsg9 Lào Cai 2020-2021) Cho phương trình x 2 − 2( m − 1) x + 2 m − 5 = 0 , ( x là ẩn, m là
tham số) . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = 2 2 .
Câu 114. [9d58](hsg9 Lạng Sơn 2020-2021) Cho phương trình mx 2 + 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 ( m là tham
s ố)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
1
1
+ 2 = 2.
2
x1 x2
Câu 115. [9d59](hsg9 Phú Thọ 2020-2021) Giả sử x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình
x 3 − 4 x 2 + 2 x + 4 = 0. Đặt Sn = x1n + x2n + x3n . Chứng minh rằng Sn là số nguyên với mọi n nguyên

dương.
Câu 116. [9d60](hsg9
2

Quảng

Nam

2019-2020

2020-2021)

Cho

phương

trình

2

x − 3( m + 1) x + 2 m + 7 m − 4 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt sao cho bình phương của một nghiệm bằng ba lần nghiệm còn lại.
Câu 117. [9d61](hsg9 TP Cần Thơ 2020-2021) Cho phương trình x 2 + ( m + 3) x − m 2 − 10 = 0

(* ) (m là

tham số) . Tìm giá trị của m để phương trình (* ) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 < x2
và x1 − x2 = 5.

Câu 118. [9d62](hsg9 Bình Dương 2020-2021)
a) Cho phương trình: x 3 + ( 2 m − 5 ) x 2 + ( m 2 − m + 7 ) x − m 2 − m − 3 = 0 ( m là tham số) . Tìm tất
cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt.

b) Giải phương trình: 6 x 2 − 7 x − 20 + 3 2 x − 5 − 2 3x + 4 − 6 = 0
Câu 119. [9d63](hsg9 Ninh Bình 2020-2021)
1. Cho đa thức f ( x) = x 2 + ax + b ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn f (1) = 1 và f (0) > 3 .
a) Chứng minh phương trình f ( x ) = x có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm số nghiệm của phương trình f ( f ( x ) ) = x .

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 14

VŨ NGỌC THÀNH SƯU TẦM

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 9 QUA 2 NĂM HỌC – 2020-2021-2022

2. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: xy = 1 . Chứng minh

1 1
2
+ +
≥ 3.
x y x+ y

4
8
− 4x + = 9
2
x
x
2
Câu 121. [9d65](hsg9 Lai Châu 2020-2021) Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0 ( m là hằng
số) .
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Câu 120. [9d64](hsg9 Vĩnh Long 2020-2021) Giải phương trình: x 2 +

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x12 + x22 + 8 x1 x2 .
Câu 122. [9d66](hsg9 Sóc Trăng 2020-2021) Cho

x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình:
3

3

x  x 
x − ( m −1) x − m + m −1 = 0 . Tìm m để biểu thức P =  1  +  2  đạt giá trị lớn nhất.
 x2   x1 
2

2

Câu 123. [9d67](hsg9 Thừa Thiên Huế 2020-2021) Cho phương trình: x2 − ( 2m + 1) x − ( m + 1) = 0 (1). (

x là ẩn số, m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 0 .
...