BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
Câu 1. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x
A. ln |x| + 1
B. ln |2x|
C. ln |x| – ln 20
D. 1 + ln x²
Câu 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 + 2x biết F(0) = 1
A. x + x² + 1
B. (x + 1)²
C. (x – 1)²
D. 2(1 – x)² – 1
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = 2x.ex. Đạo hàm của f(x) là
A. 2x ex (1 + ln 2)
B. 2x ex (2 + ln 4)
C. 2x ex (1 + ln 2)²
D. 2x ex ln² 2
Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x² + 2bx + c. Biết F(x) đạt cực trị tại x = –1 và x = 1. Giá trị
của b + c là
A. 0
B. 1
C. 2
D. –1
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = x ln x². Đạo hàm của hàm số f(x) là
A. 1/x
B. 2/x
C. 2x
D. ln (2x)
Câu 6. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² – 3 thỏa mãn giá trị lớn nhất của F(x) trên [–2; 1]
bằng 2. Tìm hàm số F(x)
A. F(x) = x³ – 3x + 1 B. F(x) = x³ – 3x – 2 C. F(x) = x³ – 3x
D. F(x) = x³ – 3x + 2
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số y = ln x là
A. x ln x + x + C
B. x ln x + C
C. x ln x – x + C
D. (x² – x)ln x + C
Câu 8. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x/(x² + 1). Biết F(1) = 2 + ln 2. Giá trị cực tiểu của F(x)
là
A. 0
B. 1
C. 2
D. –1
Câu 9. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số y =

thỏa mãn F(0) = 0 và F(2) = 1. Tính F(–1) + F(3)

A. 1 + 4ln 2
B. 1 + 2ln 2
C. 2 + 2ln 2
D. 2 + 4ln 2
Câu 10. Cho hàm số F(x) = x
là nguyên hàm của hàm số f(x) = m
với giá trị của m là
A. m = 2/5
B. m = 5/2
C. m = 3/2
D. m = 2/3
Câu 11. Biết hàm số f(x) có đạo hàm f '(x) = 3x² + 2x + m, f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại
điểm –5. Hàm số f(x) là
A. x³ + x² – 3x – 5
B. x³ + x² – 4x – 5
C. x³ + x² + 4x – 5
D. x³ + x² – 2x – 5
Câu 12. Cho hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(x).f(x) = 2x³ + 2x với mọi x và F(0) = 1; f(1)
= 2. Tìm F(x)
A. x² + 2
B. x² – 1
C. 2x² + 1
D. x² + 1
Câu 13. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3(x + 1)(x + 3). Tìm F(x)
A. x³ – 6x² + 9x + C B. x³ – 6x² – 9x + C C. x³ + 6x² + 9x + C D. x³ + 6x² – 9x + C
Câu 14. Cho F(x) = (ax + b)

là nguyên hàm của hàm số f(x) =

. Giá trị của a + b là

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là
A. –cos x + C
B. –tan x + C
C. cos x + C
D. tan x + C
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ln 4x là
A. (1/4)ln 4x+1 + C
B. (1/x) ln 4x+1 + C C. x² ln 2 + C
D. (1/4x)ln 4 + C
Câu 17. Cho hàm số f(x) = m + 2x. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(x) đạt cực trị tại x = –1 và F(–
1) = 0
A. (x + 1)²
B. 2(x + 1)²
C. 2x² + 2x
D. x² + x
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2cos (1 – 2x)
A. sin (1 – 2x) + C B. –sin (1 – 2x) + C C. 4sin (1 – 2x) + C D. –4sin (1 – 2x) + C
Câu 19. Cho F(x) = x² là nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Nguyên hàm của hàm số f '(x).e2x là
A. –x² + x + C
B. –x² + 2x + C
C. 2x² – 2x + C
D. –2x² + 2x + C
Câu 20. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3). Đạo hàm của hàm số F(x – 2) là
A. 4x(x – 2)(x – 1) B. 4x(x + 1)(x – 1) C. 4x(x + 1)(x + 2) D. 4(x – 3)(x – 2)(x – 1)
Câu 21. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)/x. Biết F(–1) = F(1) = 0. Tính F(–2) + F(2)
A. 0
B. 2 ln 2
C. 2 + ln 2
D. 4 + ln 4
Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số y =

A. –tan–1 (2x) + C
B. tan–1 x + C
C. tan–1 (x/2) + C
D. tan–1 (2x) + C
Câu 23. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Gọi nguyên hàm của hàm số g(x) = f(x/2) là G(x) = 2e x.
Nguyên hàm của hàm số f(x) là
A. F(x) = e2x
B. F(x) = 2e2x
C. F(x) = 2ex
D. F(x) = 4ex
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f(x) =

có dạng F(x) = a ln (

+ 1) + C. Giá trị của a là

A. 1/2
B. 1
C. 2
D. –2
Câu 25. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ax + b/x² thỏa mãn F(1) = 1, F(–1) = 4, f(1) = 0. Tính a – b
A. –3
B. 3
C. 2
D. –2
Câu 26. Gọi F(x) = x + m ln |x| là một nguyên hàm của hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị m là
y
1
–1

x

A. –2
B. 1
C. –1
D. 2
Câu 27. Cho hàm số g(x) liên tục trên R, g(x) ≠ 0 với mọi x và g(1) = –1/4 và g'(x) = (2x + 1)g²(x). Tính
g(20)
A. –1/425
B. –1/426
C. –1/418
D. –1/422
Câu 28. Cho hàm số g(x) > 0 và thỏa mãn g'(x).(x² + 1) = 2x.g(x) với mọi x. Biết g(0) = 2. Tính g(–1)
A. 1
B. 2
C. –2
D. 4
Câu 29. Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos² x là nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của
hàm số f '(x) e2x.
A. sin 2x – 2cos² x + C
B. sin 2x + 2cos² x + C
C. –sin 2x – 2cos² x + C
D. –sin 2x + 2cos² x + C
Câu 30. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) có F(2) – F(0) = 2. Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm
số g(x) = x – 2f(x). Giá trị của G(2) – G(0) là
A. –1
B. 1
C. 5
D. –2
–x 2x
Câu 31. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e (e + 2) là
A. ex – 2e–x + C
B. ex + 2e–x + C
C. e–x – 2ex + C
D. e–x + 2ex + C
Câu 32. Nguyên hàm của hàm số f(x) =

có dạng F(x) = a ln |x + 1| + b ln |x – 2| + C với a, b là

các số nguyên. Giá trị của biểu thức P = b/a là
A. P = 9/5
B. P = –9/5
C. P = –3/5
x–1
Câu 33. Nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + 3)e là
A. (2x – 5)ex–1 + C
B. (2x + 1)ex–1 + C
C. 2(x – 1)ex–1 + C
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)cos x
A. (x + 1)sin x + cos x + C
B. (x + 2)sin x + C
C. (x + 1)sin x – cos x + C
D. (x – 2)sin x + C
Câu 35. Cho nguyên hàm của hàm số f(x) =
các số a, b có giá trị lần lượt là
A. 2 và 5
B. –3 và 5
Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e–x.
A. (–x – 1)e–x + C
B. (x + 1)e–x + C

D. P = 3/5
D. (2x – 3)ex–1 + C

là F(x) = a ln (x + 2) + b ln (x + 3) + C. Trong đó
C. –2 và 3

D. 2 và –3

C. (1 – x)e–x + C

D. (x – 1)e–x + C

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
A. F(x) = 3ln |x + 2| + ln |x + 3| + C
C. F(x) = ln |x + 2| + 3ln |x + 3| + C

B. F(x) = 3ln |x + 2| – ln |x + 3| + C
D. F(x) = ln |x + 2| – 3ln |x + 3| + C

Câu 38. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ln 2x + ln 3x
A. F(x) = (x²/2)ln 6 + C
B. F(x) = x² ln 6 + C
C. F(x) = x ln 6 + C
D. F(x) = ln 6 + C
Câu 39. Cho hàm số f(x) = (x² + 9)–1 có nguyên hàm là F(x) = a tan–1 (x/b) + C. Tính ab
A. 6
B. 3
C. 1
D. 9
Câu 40. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(4x² + 4x + 2)
A. tan–1 (2x + 1) + C
B. (1/2) tan–1 (2x + 1) + C
C. 2 tan–1 (2x + 1) + C
D. (–1/2) tan–1 (2x + 1) + C
Câu 41. Tìm nguyên hàm của f(x) =
A. 5ln |x – 2| + x + C B. 5ln |x – 2| – x + C C. 3ln |x – 2| + x + C D. 3ln |x – 2| – x + C
Câu 42. Tìm nguyên hàm của f(x) =
A. ln (x² + 4x + 5) – 3 tan–1(x + 2) + C
B. ln (x² + 4x + 5) – 5 tan–1(x + 2) + C
C. ln (x² + 4x + 5) + 3 tan–1(x + 2) + C
D. ln (x² + 4x + 5) + 5 tan–1(x + 2) + C
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x²(x³ – 6)5.
A. (x³ – 6)6 + C
B. (x³ – 6)6/2 + C
C. 3(x³ – 6)6 + C
D. (x³ – 6)6/3 + C
Câu 44. Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x cos x có dạng F(x) = a cos 2x + C. Giá trị của a là
A. a = 1/2
B. a = 1/4
C. a = –1/4
D. a = –1/2
Câu 45. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (2x – 1)³
A. F(x) = 2(2x – 1)4 + C
B. F(x) = (2x – 1)4/8 + C
C. F(x) = 8(2x – 1)4 + C
D. F(x) = (2x – 1)4/2 + C
Câu 46. Cho hàm số g(x) thỏa mãn g(x) = x g'(x) – 2x³ – 3x² với mọi x > 0 và g(1) = 4. Tính giá trị của biểu
thức g(2)
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
Câu 47. Cho

+ C với m, n là các số nguyên. Giá trị của 3m +

2n là

A. 7
B. 6
C. 5
D. 8
Câu 48. Cho hàm số g(x) > 0 với mọi x, thỏa mãn g'(x) + 2x g(x) = g(x) và g(0) = 1. Giá trị của g(1) thuộc
khoảng nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (–1; 1)
C. (2; 4)
D. (3; 5)
–x
Câu 49. Cho hàm số g(x) liên tục trên R thỏa mãn g(x) + g'(x) = e với mọi x; g(0) = 2. Nguyên hàm của
hàm số g(x).e2x là
A. (x + 2)ex + C
B. (x + 3)ex + C
C. (x + 1)ex + C
D. xex + C
Câu 50. Nguyên hàm của hàm số f(x) =

có dạng F(x) = a ln |x| + b ln |x – 1| + d ln |x + 1| + C. Số

lượng số nguyên âm trong các số a, b, d là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2/x)ln x
A. F(x) = 2ln x + C
B. F(x) = ln² x + C
C. F(x) = (–1/x²) ln x + C
D. F(x) = 2 ln x – ln² x + C
Câu 52. Cho hàm số y = g(x) có đạo hàm và liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn x.g'(x) = 2 ln x ln 2 với mọi x > 0;
g(1) = 1. Tính |g(e)|
A. 4
B. 2
C. e
D. 2e
4
Câu 53. Cho nguyên hàm của hàm số f(x) = (6x – 8)³ có dạng F(x) = ax + bx³ + cx² + dx + e + C 1. Tổng a +
b + c + d + e là
A. 1/3
B. 1/6
C. –1/24
D. 2/3
Câu 54. Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) thì nguyên hàm của f(–x) là
A. F(–x) + C
B. –F(x) + C
C. –F(–x) + C
D. F(x) + C
Câu 55. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
c

là F(x) = a ln |x| + b ln |x – 1| + c ln |x + 1| + D. Tính a + b +

A. 1
B. 0
C. 6
D. –6
Câu 56. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x ln (1 + x²) và F(1) = ln 2. Giá rị của F(0) là
A. 0
B. 1/2
C. ln 2 – 1
D. 1/4
Câu 57. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (ln³ x)/x
A. F(x) = 4 ln4 x + C
B. F(x) = (1/4) ln4 x + C
C. F(x) = 3 ln² x + C
D. F(x) = (1/3) ln² x + C
Câu 58. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Nguyên hàm của hàm số f(2x) là
A. (1/2)F(2x) + C
B. (1/2)F(x) + C
C. 2F(2x) + C
D. 2F(x) + C
x
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x² – x + 1)e
A. (x² – x + 2)ex + C B. (x² – 3x + 2)ex + C C. (x² – 3x + 4)ex + C D. (x² + x + 2)ex + C
Câu 60. Cho hàm số g(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn g'(x) – 2g(x) = 0 với mọi x. Tính |g(–1)|
biết rằng g(1) = 1.
A. e–4
B. e4
C. e²
D. e–2
Câu 61. Cho hàm số g(x) thỏa mãn g'(x) = 4x³ [g(x)]² với mọi x. Biết g(2) = –1/25. Tính g(1)
A. –41/100
B. –1/10
C. –391/400
D. –1/40
5
Câu 62. Cho hàm số g(x) thỏa mãn g'(x) g(x) = 3x + 6x² với mọi x; g(0) = 2. Tính g²(2)
A. 64
B. 81
C. 100
D. 98
Câu 63. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x sin x là
A. x cos x – sin x + C
B. –x cos x + sin x + C
C. –x cos x – sin x + C
D. x cos x + sin x + C
9999
Câu 64. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x(1 – x) là F(x) = a (1 – x)10000 + b (1 – x)10001 + C với a, b là các
số hữu tỉ. Tính a + b
A. –10000/10001
B. –1/100010000
C. –10001/10000
D. 1/100010000
Câu 65. Một nguyên hàm của hàm số g(x) = f(x) ln x là x² ln x – x²/2. Nguyên hàm của f(x).ex là
A. (2x – 1)ex + C
B. (2x – 2)ex + C
C. (2x + 1)ex + C
D. (2x + 2)ex + C
Câu 66. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó F(x²) là nguyên hàm của hàm số
A. 2x f(x²)
B. 2x f(2x)
C. f(2x)
D. f(x²)
Câu 67. Cho hàm số g(x) liên tục trên R thỏa mãn [g'(x)]² + g(x) g″(x) = 15x 4 + 12x² + 1 với mọi x. Biết g(0)
= 0. Tính g²(2)
A. 90
B. 50
C. 100
D. 200
Câu 68. Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Nguyên hàm của hàm số g(x) = xf(x² + 1) là
A. F(x² + 1)
B. (1/2)F(x² + 1)
C. (1/2)F(2x)
D. F(2x)
Câu 69. Gọi F(x) và G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) và g(x). Khi đó F(x)G(x) – ∫G(x)f(x)dx là
nguyên hàm của hàm số
A. f(x)g(x)
B. g(x) – f(x)
C. f(x) + g(x)
D. g(x)F(x)