Đề 1
Câu 1: (2,0 điểm) Thực hiện các phép tính: a) 3x(y2 – 2x) ;b)

;

 c) (6x3y – 4x2y3 + 5xy ) : xy ;d) x(x2 + 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9) .
Câu 2. (2,0 điểm): a) Rút gọn phân thức:
.
b) Thực hiện phép tính:

.

c):

Câu 3. (2,0 điểm): a) Tìm x biết:

.
.

b) Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức:
A= (2x + 1)2 + (2x – 1)2 – (2x + 1)(4x – 2) + xy tại x = 1; y = 2023.
Câu 4. (3,0 điểm): Cho góc vuông xOy. Lấy điểm M nằm trong góc xOy. Kẻ MH//Ox (H  Oy) và
MK//Oy (K  Ox).
a) Tứ giác OHMK là hình gì? Vì sao?
b) Gọi P là điểm đối xứng với O qua K. Chứng minh: HK=MP và HK//MP.
c) Chứng minh: O và P đối xứng với nhau qua MK và OM2 2.OH.OK
Câu 5. (1,0 điểm):
a) Cho x; y thỏa mãn: x + y = 7; xy =5. Không tính x, y hãy tính x2 + y2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
Câu

a) 3x(y2 – 2x) = 3xy2 – 6x2

Nội dung

b)
Câu 1
(2,0 đ)

= 2x2 + 3x – 2
c) (6x3y – 4x2y3 + 5xy ) : xy = 6x2 – 4xy2 + 5
d) x(x2 + 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)
= x3 + 3x – (x3 – 27)
= x3 + 3x – x3 +27
= 3x + 27

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

a)
0,25
0,25

Câu 2
(2,0 đ)

b)
0,5
=

0,25

=
c)
Câu 3
(2,0 đ)

a)
(x + 5)(x + 5 + x - 7) = 0
(x + 5)(2x-2) = 0
Vậy x = -5 ; x = 1

0,25
0,25
0,25
0,25

b) A= (2x + 1)2 – 2(2x + 1)(2x – 1) + (2x – 1)2 + xy
= (2x + 1 – 2x + 1)2 + xy
= 4 + xy
Thay x=1 ; y=2023 ta được A = 4+1.2023 = 2027

Câu 4
(3,0đ)

y

H

O

Câu 5
(1,0đ)

0,25
0,25
0,5

M

K

P

x

0,25

a) Ta có: MH//OK, MK//OH (gt)
Tứ giác OHMK là hình bình hành
mà góc HOK = 900 (gt)
Tứ giác OHMK là hình chữ nhật (Đpcm)
b) Ta có: MH//KP (vì MH//OK)
MH=KP(cùng bằng OK)
Tứ giác HMPK là hình bình hành
HK=MP và HK//MP
c) Ta có K là trung điểm của OP và MK OP
O và P đối xứng với nhau qua
MK
Tứ giác OHMK là hình chữ nhật (theo a)
OM=HK.
2
2
Xét tam giác OHK vuông tại O
OH +OK = HK2= OM2
Lại có: OH2+OK2 – 2.OH.OK = (OH-OK)2
OH2+OK2
2
2.OH.OK
OM
2.OH.OK
Dấu bằng xảy ra khi OH=OK
a) Ta có : x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
= 49 -10 = 39

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

b) P =

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
Dấu “=” xảy ra
Vậy max P = 4 khi x=2

Đề 2
Câu 1: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. 2x - 4
b. 5x2y - 10xy2
c. xy + xz +5y + 5z
d. x2 - 2xy + y2 – 4z2
Câu 2: (2,0 điểm) 1. Cho biểu thức

A 3x 2 y3 

1 3 2
x y và B = 25x 2 y 2
2

Không thực hiện phép tính chứng tỏ rằng đa thức A chia hết cho đơn thức B
2. Tìm x: a. x(5 - 3x) + 3x(x + 1) = 16
b. x2 - 2x + 1 = (x - 3)(1 - x)
Câu 3: (2,0 điểm) Thực hiện phép tính sau:

a.

x2  y y  y 2

x y
x y

x
x
4 xy

 2
x  2 y x  2 y 4 y  x2

b.

Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E 
AB), kẻ HF vuông góc với AC (F  AC). a)Chứnh minh rằng FE = AH.
a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của HB, HC. Chứng minh FN//EM.

b. Tứ giác MNFE là hình gì? Vì sao? Và

1
S MEFN  S ABC
2

Câu 5: (1,0 điểm) a. Cho đa thức f(x) = 6x2 - 5x + a và đa thức g(x) = 2x - 3
Tìm a để f(x) chia hết cho g(x).
c. Cho A = 7x2 - 12xy + 9y2 + 10x - 24y + 2032. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu
1
(2,0đ)

Phần
1.1.a
1.1.b
1.1.c
1.1.d

2
(2,0đ)

2.1

Nội dung
Phân tích đa thức thành nhân tử:a. 2x - 4 = 2(x – 2)
b. 5x2y - 10xy2 = 5xy( x - y )
c. xy + xz +5y + 5z = x( y + z ) + 5( y+ z ) = ( x + 5 )( y+ z )
d.x2 - 2xy + y2 – 4z2 = (x2 - 2xy + y2) - 4z2= (x – y)2 – (2z) = (x – y – 2z)(x – y +2z)
Cho biểu thức

A 3x 2 y3 

Ta thấy 3x 2 y 3 25x 2 y 2
2.2.a

1 3 2
x y  25x 2 y 2 => A chia hết cho B
2

Tìm x: x(5 - 3x) + 3x(x + 1) = 16
=> x = 2 Vậy x = 2

2.2.b

x2 - 2x + 1 = (x - 3)(1 - x)
(x - 1)2 + (x - 3)(x - 1) = 0
( x - 1 )( x - 1 + x - 3 ) = 0
( x - 1 )(2 x - 4 ) = 0

 x  1 0
 x 1
 2 x  4 0   x 2


3
(2,0đ)

1 3 2
x y và B = 25x 2 y 2
2

Vậy x 

1; 2

Thực hiện phép tính sau:
3.a

x2  y y  y 2

a.
x y
x y

x2  y  y  y 2

x y

x 2  y 2 ( x  y )( x  y )

x  y
x y
x y
x
x
4 xy
x
x
4 xy

 2


2 =
x  2y x  2y 4y  x
x  2 y x  2 y ( x  2 y )( x  2 y )
x( x  2 y )
x( x  2 y )
4 xy


=
( x  2 y )( x  2 y ) ( x  2 y )( x  2 y) ( x  2 y )( x  2 y )


3.b

x 2  2 xy  x 2  2 xy  4 xy
2 x 2  4 xy
=
( x  2 y )( x  2 y )
( x  2 y )( x  2 y )
2 x( x  2 y )
2x
=
=
( x  2 y )( x  2 y )
x  2y
=

4
(3,0đ)

4

Vẽ hình đúng và ghi giả thiết và kết luận

O

4.a

a) Ta có HE  AB, HF  AC (gt) => 
AFH 900 ; 
AEH 900
Xét tứ giác AEHF có A 900 (gt); 
AFH 900 ; 
AEH 900
=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết)
=> AH = FE ( Tính chất của hình chữ nhật)

4.b

Ta có  CFH vuông tại F, N là trung điểm của CH (gt)
=> FN = CN = 1/2 .CH (Tính chất của tam giác vuông)
=>


 = 1800  2.C
 CFN cân tại N => CNF

(1)

Ta có  EHB vuông tại E, M là trung điểm của BH (gt)
=>EM = HM = 1/2 .BH ( Tính chất của tam giác vuông)
=>  HME cân tại M =>


EMH

=


1800  2.EHM

(2)

Lại có HE  AB (gt), CA  AB ( do A 900 )
=> AC//HE ( Từ vuông góc => song song)
=>

 = EMH
 ( Đồng vị)
C

Từ (1) (2) (3) =>

4.c

 = EMH

CNF

(3)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên FN

EM ( Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Vậy FN // EM ( Đ.P.C.M)
* Gọi giao của EF và AH là O
Ta có tứ giác AEHF là hình chữ nhật ( Chứng minh trên)
=> OH = OE ( Tính chất của hình chữ nhật)


=>  OHE cân tại O => OHE
(4)
OEH



Lại có  HME cân tại M => MHE
MEH




Từ (4) (5) => OHE
 MHE
OEH
 MEH


Hay OHM
= 900
OEM

=> FE  EM
Xét tứ giác MNFE có FN // EM (Chứng minh trên)
=> Tứ giác MNFE là hình thang,
có FE  EM(Chứng minh trên)
=> Tứ giác MNFE là hình thang vuông

(5)

*

=>

1
S MEFN  . FE. (FN + EM)
2

Mà FN = CN = 1/2 .CH; EM = HM = 1/2 .BH
(Chứng minh trên)
=> FN + EM = 1/2 ( CH + BH) = 1/2 . BC
Lại có AH = FE
Từ (6) (7) (8) =>
Vậy

5.a
5
(1,0đ)

5.b

(6)

(7)
(8)

1
1
S MEFN  . AH.1/2 . BC  S ABC
2
2
1
S MEFN  S ABC
2

Tìm a để f(x) chia hết cho g(x).
Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x) cho g(x),
ta có:
6x2 - 5x + a
2x - 3
2
6x - 9x
3x + 2
4x + a
4x - 6
a+6
= > Để f(x) chia hết cho g(x) <=> a + 6 = 0
<=> a
= -6
Vậy khi a = - 6 thì f(x) chia hết cho g(x)
Có A = 7x2 - 12xy + 9y2 + 10x - 24y + 2038.
= (4x2 + 9y2 + 16 - 12xy +16x - 24y) + ( 3x2 - 6x +3) +2019
= (2x -3y +4)2 + 3.( x - 1 )2 +2019

 0 với mọi x, y
3.( x - 1 )  0 với mọi x
=> (2x -3y +4) + 3.( x - 1 )  0 với mọi x, y
=> (2x -3y +4) + 3.( x - 1 ) + 2019  2019 với mọi x, y
Ta thấy

(2x -3y +4)2
2

2

2

2

2

2x  3y  4=0
 y =2
<=> 
x = 1
 x  1=0

Dấu “=” xảy ra <=> 

Vậy khi x = 1, y = 2 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2019
Dề 3
Câu 1: ( 2,0 điểm) 1.Thực hiện phép tính : a) 5.(2x – 3) – 7x
b)
2
(3x – 2 ).(x + 3)
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :a) x - xy + x - y
b) 4x  4x  y  1
2

2

Câu 2: ( 2,0 điểm)1.Tìm x: a) (x – 3)2 – (x – 2)(x + 2) = 1 b). 4x.(2x – 5) =
6x - 15
2.Tìm a để đa thức 2x3 - 7x2 + 12x + a chia hết cho đa thức x +2

Câu 3: ( 2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 x  5  2 x  8
2x 1 2x 1

b)

2x  3 2x  3

2x  3 2x  3

Câu 4: ( 3,0 điểm)  

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I, K lần lượt là
hình chiếu của M trên cạnh AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AIMK là hình chữ nhật.
b) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài cạnh BC và IK.
c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, CM. Chứng minh IE // KF.
Nội dung
5.(2x – 3) – 7x = 10x – 15 – 7x = 3x - 15
(3x – 2 ).(x + 3) = 3x2 + 9x – 2x – 6 = 3x2 + 7x - 6
x2 - xy + x - y = ( x2 -xy) +( x – y)= x.(x – y) +( x – y) = ( x – y).( x + 1 )
2

2

2

2

2

2

4x + 4x – y + 1 = ( 4x + 4x + 1) – y = ( 2x + 1) – y = ( 2x + 1 – y)( 2x + 1 + y)
(x – 3)2 – (x – 2)(x + 2) = 1
x2 - 6x + 9 - x2 + 4 = 1 => - 6 x = - 12  x = 2. Vậy x = 2.
4x.(2x – 5) = 6x – 15
x = 5/2 ; x = ¾. Vậy x = 5/2 ; x = 3/4

Đặt phép chia:
2x3 - 7x2 + 12x + a chia cho x + 2 và thực hiện đúng dư a - 68
Để đa thức 2x3 - 7x2 + 12x + a chia hết cho đa thức x + 2
thì a - 68 = 0 => a = 68

4x  5 2x  8 4x  5  2x  8 6x  3



2x 1 2x 1
2 x 1
2x 1
3(2 x  1)

3
2x 1
2
2
2 x  3 2 x  3 2 x  3   2 x  3
b)


2x  3 2x  3
(2 x  3).(2 x  3)
a)

4 x 2  12 x  9  4 x 2  12 x  9
24 x


(2 x  3).(2 x  3)
(2 x  3).(2 x  3)
Vẽ hình đúng, ghi GT – KL
B
E
I

1
2

5

1
2

M
3 4
3 4

A

K

5

F

C

Vì I; K là hình chiếu của M trên AB ; AC => MI vuông góc AB và MK vuông góc AC
 90O
Tứ giác AIMK có A I K
=> tứ giác AIMK là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết )
Tính BC:
Áp dụng ĐL pitago trong tam giác vuông ABC

BC2 = AB2 + AC2
Thay số ta được BC = 10 cm
+ Tính TK
Tam giác ABC vuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.
=> AM = 1/2BC. Thay số ta được AM = 5cm
Mà IK = AM (t/c hcn) => IK = 5cm
c) Tam giác ABC có MB = MC ; MK // AB => AK = KC
Tương tự IB = IA
Tam giác AMC có KF là đường trung bình => KF // AM
Tương tự IE // AM
=> IE // KF

Đề 4
Câu 1 (1,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 + 2x2 + x
b) x2 – 25 + (x – 5)(2x + 1)
Câu 2 (3,0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 4x(x2 + 3)
b) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
c) (16x2y4 – 20x3y2 + 12x2y2) :
2 2
4x y
d)

5x - 15
x2 - 9

e)

4x - 6 7x + 6

11
11

g)

x
x
2
+ 2
x-1 x+1 x -1

Câu 3 (2,0 điểm)1) Tìm x, biết: a) 2x2 - 50x = 0 b) 2(x + 3) – x2 – 3x = 0
2) Tìm a để đa thức (2x3 – 3x2 + 5x + a) chia hết cho đa thức (x + 1).
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC.
a) Tính diện tích tam giác ABC biết AB = 6cm, BC = 10cm.
b) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

c) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh DE vuông góc
với EI.
x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2

NỘI DUNG

x2 – 25 + (x – 5)(2x + 1)= (x – 5)(x + 5) + (x – 5)(2x + 1)
= (x – 5)(x + 5 + 2x + 1) = (x – 5)(3x + 6) = 3(x – 5)(x + 2)
4x(x2 + 3) = 4x3 + 12x
(2x - 1)(4x2 + 2x + 1) = 8x3 - 1
(16x2y4 – 20x3y2 + 12x2y2) : 4x2y2 = 4y2 – 5x + 3

5x - 15
5(x - 3)
5
=
=
x2 - 9
(x - 3)(x + 3)
x+3
4x - 6 7x + 6 4x - 6 + 7x + 6 11x
=


= 11
11
11
11
11

a) 2x2 - 50x = 0 Vậy x = 0 hoặc x = 25
b) 2(x + 3) – x2 – 3x = 0 Vậy x = -3 hoặc x = 2

2x3 – 3x2 + 5x + a
2x3 + 2x2

x+1
2x2 – 5x + 10

– 5x + 5x + a
– 5x2 – 5x
10x + a
10x + 10
a – 10
Để đa thức (2x3 – 3x2 + 5x + a) chia hết cho đa thức (x+1) thì a – 10 = 0  a = 10
Vậy a = 10.
2

Vẽ hình đúng:
C

I

E

A

H

D

B

Áp dụng định lí Py-ta-go tính được AC = 8cm

1
1
.AB.AC = .6.8 = 24(cm 2 )
2
2

Tứ giác ADHE có: EAD
= 900 (do ABC vuông tại A)

ADH
= 900 (do HDAB)

AEH
= 900 (do HEAC)
Diện tích ABC là:

SABC =

 ADHE là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH và DE

1
1
AH = DE (tính chất đường chéo hình chữ nhật ADHE)
2
2


 OAE cân tại O  OAE
= OEA
 = EHC

)
Ta có: OAE
(cùng phụ với C

 (1)
 OEA
EHC
Ta có: OA = OE =

Mặt khác ECH vuông tại H, EI là đường trung tuyến
 EI = IH =

1
CH
2

 = IHE

 = EHC

(2)
IEH
hay IEH


 = IEH

Từ (1) và (2) suy ra OEA
= IEH
hay DEA




Mà DEA
+ DEH
900 suy ra IEH+
DEH
900
 EIH cân tại I 

Vậy DE  EI.