1

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ THỌ

ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
2

A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 3: ( 3,0 điểm)
Cho a, b > 0 và a + b = 1.

Chứng minh rằng :
Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD.
Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương
ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC.
Chứng minh: PQ // IK.
Bài 6: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh
A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là h a , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ
trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y
và z .
Tính

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011-2012
3

Bài 1
(3,5đ)

Bài 2
(2,5đ)

1

Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số
tự nhiên n

{n+24=k ¿ ¿¿¿

0,5
0,5

⇔ ( k −h ) ( k +h )=89=1. 89

⇔¿ { k+h=89 ¿ ¿¿
Vậy:

1,0
0,5
0,5

2

Ta có:

0,5
0,75
0,75

0,5
0,5

n = 452 – 24 = 2001

Bài 3 Nhận xét rằng với mọi x,y ta có:
(3,0đ)
0,5

Đặt

ta được :

0,5
0,75

Vì

Bài 4
(3,0đ)

0,5
0,75

Do đó :

0,5

Ta có
Áp dụng BĐT:

vôùi a > 0; b > 0.

Ta có

1,0

1,0
4

Áp dụng BĐT:

Bài 5
(4,0đ)

0,5

vôùi a > 0; b > 0.

Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y =
- Vẽ hình đúng

- Gọi E là trung điểm của AM, chứng
minh được:
IK // BC, EI // AB, EK // AC
- Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam
giác DPA, DAQ. Suy ra:

0,5
1,5

1,5
- Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam
giác DPQ, suy ra:
PQ // IK
Bài 6
(4,0đ)

Vẽ hình đúng

0,5

A

x
B

0,5

ha
C

Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :
SABC =

(1)

SOBC =

(2)

0,5

1,0

Từ (1)và (2) ta suy ra :

0,5
Tương tự ta có

0,5

:

Từ đó tính được :

=1

5

1,0