Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2007 –
2008
Môn: Toán 9
(Thời gian: 120 phút – không kể giao
đề)

Bài 1.(4đ) Cho pt:
1. Tìm m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2.Gọi

là 2 nghiệm của pt trên, tìm m để

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2.(3đ)
a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh:
.
b) Cho

Chứng minh:

.

Bài 3.(4đ) Giải các pt sau:
a)

.

b)

.

c)

.

Bài 4.(2đ) CMR với mọi

thì

không chia hết cho 9 .

Bài 5.(4đ) Cho
có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
và có trực tâm
là .
a) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho tứ
giác BHCM là hình bình hành.
b) Lấy M là điểm bất kì trên cung BC ko chứa A. Gọi N và E lần lượt là các
điểm đối xứng của M qua AB và AC. C/m ba điểm N, H, E thẳng hàng.
Bài 6.(3đ) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo và diện tích
tam giác

,

. Tìm GTNN của diện tích tứ giác ABCD.
-----  HẾT  -----

Sir 1

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(4đ) Cho pt:
1. Tìm m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2. Gọi

là 2 nghiệm của pt trên, tìm m để

đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải
1. Tìm m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
Để pt có hai nghiệm phân biệt âm thì:

2. Gọi

là 2 nghiệm của pt trên, tìm m để

đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:
Do đó pt luôn có hai nghiệm

.

Theo định lý Viet, ta có:
Ta có:
Do đó

khi

Bài 2.(3đ)
a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh:
.
b) Cho

Chứng minh:

.
Lời giải

a) Với a, b, c, d là các số dương, ta có:

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

Cộng bốn BĐT trên ta được :
Ta lại có :
;

và
;

Từ đó ta có đpcm.
b) Ta có
Suy ra :

( 1)

Tương tự :
(2)
Cộng (1) và (2) ta có đpcm.

Bài 3.(4đ) Giải các pt sau:
a)

.

b)
c)

.
.
Lời giải

a)
Đặt

, ta có phương trình :

Sir 3

Toán Thầy Tuấn

Với
Với
b)
Đặt
Đặt

Ta có hệ phương trình:
Từ đó ta tìm được nghiệm

c)
Ta thấy

( Điều kiện :
không thỏa nên ta chia hai vế cho

Xét vế phải :

:

và dấu bằng xảy ra khi x = 1.

Ta có :
Suy ra vế trái :

và dấu bằng xảy ra khi x = 0.

Vậy hai vế không bằng nhau. Phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4.(2đ) CMR với mọi

thì

không chia hết cho 9 .
Lời giải

Giả sử

chia hết cho 9 thì ta có :

Sir 4

Toán Thầy Tuấn

( 1)

Ta thấy
chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên không là số chính
phương, do vậy phương trình (1) trên không thể có nghiệm nguyên.
Vậy

không chia hết cho 9. (đpcm)

Bài 5.(4đ) Cho
có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
và có trực tâm
là .
a) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho tứ
giác BHCM là hình bình hành.
b) Lấy M là điểm bất kì trên cung BC ko chứa A. Gọi N và E lần lượt là các
điểm đối xứng của M qua AB và AC. C/m ba điểm N, H, E thẳng hàng.
A

Lời giải

E

a) Gọi Mo là điểm đối xứng của A qua tâm O.
Ta có:

H

(vì cùng vuông góc với AC).

B
N
(vì cùng vuông góc với AB).
Vậy tứ giác BHCMo là một hình bình hành.
Điểm Mo chính là vị trí của M mà ta cần xác định.

O
C
M

b) Ta có N và M đối xứng qua AB nên :

M0

.

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Suy ra :

.

Tứ giác AHBN nội tiếp được cho ta :
Mà

nên

Tương tự ta cũng có :

.

.

(1)
(2)

Cộng (1) và (2) ta có :
Mà ta lại có :
Nên :
Vậy N, H , E thẳng hàng.

Bài 6.(3đ) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo và diện tích
tam giác

,

. Tìm GTNN của diện tích tứ giác ABCD.
B

A

Sir 5

Toán Thầy Tuấn

Lời giải
Đặt
Ta có
Suy ra :
Ta lại có
Dấu bằng xảy ra khi
.
Vậy diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị nhỏ nhất là 25.
-----  HẾT  -----

Sir 6