SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 – 2017
Môn: Toán 9
Ngày 20/3/2017
(Thời gian: 150 phút – không kể giao đề)

Bài 1. (3 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện  

Tính giá trị của biểu thức

.

.

Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình:

 

Bài 3. (3 điểm) Giải hệ phương trình: 
Bài 4. (4 điểm)

1. Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

.

.

2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: 
Bài 5. (5 điểm)
a) Cho
nhọn  có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH.
Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường
phân giác trong của tam giác ABC (H, D BC). Tia AD cắt (O) tại E,tia EH cắt (O) tại F và
tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).
Bài 6. (2 điểm) Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày
một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng
bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không
bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi
bơi?
-----  HẾT  -----

GỢI Ý
Bài 1. • Từ a − b = 7, b − c = 3  a − c = 10, ta có:
•
Bài 2. • Điều kiên: x  –3
•

• Tập nghiệm của (1) là

Bài
3.  

nên 3x và – 3y là nghiệm của phương trình X2 + 2X – 24 = 0  …

Bài 4. 1. • Với x, y > 0, ta
có: 

• Áp dụng bđt Cauchy, ta có

.

•
2. • (x + y)(x + 2y) = x + 5

• Với  x, y nguyên ta có bảng sau:
x + 2y – 2
1
3
x +y+1
3
1
y–3
–2
2
y
1
5
x
1
–5

–1
–3
2
5
–9

–3
–1
–2
1
–3

Bài 5.  1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.

A

• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
có tâm là M.
• Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
F

có tâm là N. Cho đường tròn (N) cắt NM tại K' 
 AK'  HK.
• NM là đường trung trực của dây chung FE mà
 K'F = K'E 

mà

E

N

K' K

H
B

M

D

C

và

(do tứ giác AFK'E nội tiếp)
 AK' là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc
A(gt) và



 AK  HK(đpcm).

A

2. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).
•

F
O

 tứ giác AFHD nội tiếp 
B

mà

H

D

C

là góc nội tiếp của đường tròn (O)  AK là đường kính

của (O) (đpcm).
• Xét tiếp các trường hợp:

E

,

, H ở ngoài cạnh BC.

K

Bài 6. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá.
• Nếu 0 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Hai.
• Nếu 1 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Ba.
• Đề bài cho hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá là thứ Tư.
Suy ra 3 ngày chạy chỉ là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ
Sáu hoặc Chủ Nhật(không xảy ra vì đều sau ngày chạy)
2) thứ Ba, thứ Năm, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu(không xảy ra vì
sau ngày chạy thứ Năm) hoặc thứ Bảy (không xảy ra vì khi đó sau ngày bơi thứ Sáu)
Hoặc 3) thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Năm và ngày bơi là
thứ Bảy(thỏa điều kiện của đề bài). Vậy thứ Bảy trong tuần Nam đi bơi.
-----  HẾT  -----