SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

x2  2 x  6  x2  2 x  2  x  3

b) Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện

a2
8b2
2c 2

b
,

c
,
a
a2  1
8b2  1
c2  1

Tính giá trị của biểu thức P=a+b+c.
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 3n + 1 và 12n+11 là số chính phương.
b) Cho đa thức P(x) có bậc không quá 2022 thỏa mãn P(k ) 

1
với mọi k = 0;1; ... ;2022:
k 1

Tính giá trị của P (2023)
Bài 3 (2.0 điểm). Xét các số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 16; tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

ab bc ca
.


c
a
b

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A , AB < AC nội tiếp đường tròn (O). Các
tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm S: Trên tia đối của tia CA; lấy
điểm M (M khác C). Qua điểm S; kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng OM; cắt
đường tròn O tại hai điểm phân biệt E; F (E nằm giữa S và F ).
a) Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC: Chứng minh rằng
EC là tia phân giác của góc FED
c) Gọi P; Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MD với hai đường thẳng BE và BF I K
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ: Chứng minh rằng ∠SDK = 90
Bài 5 (2.0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên tố m; n; p thỏa mãn m2  3n2  5 p2  8mnp  0
b) Cho đa giác đều A1 A2 ... A2023 : Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn
thẳng (1  i  j  2023) và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai
đầu mút là hai điểm thuộc tập S: Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng Ai Aj
(1  i  j  2023) .Chứng minh rằng M  10112 N

1