TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHTN & CN


TIỂU LUẬN

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC
NEWTON

Sinh viên:

Vũ Nhật Anh
Mai Thị Thanh Nhàn
Hồ Thị Chung
Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
Khóa học: 2011 – 2015

1

Đắk Lắk, 04/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHTN &CN


TIỂU LUẬN

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC
NEWTON

Sinh viên: Vũ Nhật Anh
Mai Thị Thanh Nhàn
Hồ Thị Chung
Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
Khóa học: 2011 – 2015

Người hướng dẫn
Ts. Trần Thanh Tùng

2

Đắk Lắk, 04/2015

MỤC LỤC

I.ĐẶT VẤN ĐỀ. ................................................................................................................. 4
II. NHỊ THỨC NEWTON ................................................................................................ 5
1. Công thức nhị thức ............................................................................................................................. 5
2. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton ................................................................................... 7

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
............................................................................................................................................. 7
1.Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton. ................................................................................. 7
a.Phương pháp .................................................................................................................................... 7
b. Ví dụ minh họa ............................................................................................................................... 8
c. Bài tập đề nghị ............................................................................................................................... 10
2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Nhị thức Newton................................................................... 10
a. Các dạng toán cơ bản................................................................................................................... 10
b. Ví dụ minh họa .............................................................................................................................. 12
c. Các bài Toán chon lọc ................................................................................................................... 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 14

3

ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình Toán học phổ thông, phần Đại số tổ hợp là chương trình mới lạ
và khó đối với các em học sinh. Các bài Toán Tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát
hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu
chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách
giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các
em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp
học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong
việc học phần đại số tổ hợp. Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy,
tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công
thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức
để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn, tạo ra sự hứng thú
trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại
bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ
Tiểu luận “Một số bài Toán liên quan đến công thức Nhị thức Newton” tôi chỉ nêu một
số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp
một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến
thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức
nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng.
- Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải
được hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian .Các em thường không biết nên giải
thế nào? Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm
bài tập thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được.
- Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ
cuộc ngay, không có tính kiên trì tìm tòi, ỷ lại, chờ thầy giáo,cô giáo chữa .
- Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại
học của một số trường THPT, và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,
thi học sinh giỏi tỉnh.
I.

4

II. NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức nhị thức Newton
Ở các lớp dưới, ta đã biết các hằng đẳng thức cho ta khai triển của (a  b)2 và (a  b)3

 a  b

2

 a  b

3

 a 2  2ab  b2

 a3  3a 2b  3ab2  b3 .

Một cách tổng quát, khai triển của (a  b)n được cho bởi công thức sau

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  ...  Cnn1abn1  Cnnbn .

Định lí 1.
Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có

 a  b

n

n 1

n 1
n

 C a  C a b  ...  C
0
n

n

1
n

ab

n 1

n

 C b   Cnk a n k b k .
n
n

n

k 0

(quy ước a  b  1 )
Công thức này được gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton)
Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh khẳng định P(n) sau: Với mọi số thực x và mỗi số nguyên dương n, ta
có
0

1  x 

n

0

n

  Cnk .x k .
k 0

Chứng minh bằng quy nạp theo n.
Rõ ràng P(1) hiển nhiên đúng.
Giả sử khẳng định P(n) đúng, ta có

(a  b)n  a n  Cn1a n 1b  .....  Cnn 1ab n 1  b n
n
bk
 a  C k   Cnk a n k b k .
a
k 0
k 0
n

n

k
n

Lại có
n

 C .x
k 0

k
n

n

k

n

 1   C .x ,  C .x
k 1

k
n

k

k 0

k
n

k 1

n

  Cnk 1.x k  x n 1.
k 1

Thay vào đẳng thức trên và áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta được

5

n

(1  x) n 1  1   (Cnk  Cnk 1 ) x k  x n 1
k 0

n

n 1

k 1

k 0

 Cn01 x 0   Cnk1 .x k Cnn11 x k   Cnk1 .x k .
Vậy P(n + 1) đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, khẳng định P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Tóm lại, ta đã chứng minh được công thức
n

1  x    Cnk .x k
n

k 0

n

k
n
 a
k b
1


C
.

  n k,
a
 b
k 0

a
Với x  , ta có
b

n

k
n
n
 a
n
k b
(a  b)  a 1    a  Cn k   Cnk a n k bk .
do đó
a
 b
k 0
k 0
Công thức nhị thức Newton được chứng minh.
n

n

Chú ý. Công thức trên là khai triển của (a  b)n theo lũy thừa giảm của a và lũy thừa
tăng của b . Ta cũng có thể viết khai triển của (a  b)n ctheo lũy thừa tăng của a và lũy
thừa giảm của b
n

(a  b)n   Cnk a k b n k .
k 0

Hệ quả 1.
n

(a  b)n   (1) k Cnk a n k bk .
k 0

Vậy, nếu n chẵn ta có
(a  b)n  a n  Cn1a n1b  ...  Cnn1abn1  bn .

Nếu n lẻ ta có
(a  b)n  a n  Cn1a n1b  ...  Cnn1abn1  bn .

Chứng minh.
Thật vậy, ta có
n

 a  b   a   b    C a
n

n

k 0

k
n

6

k

nk

n

 b     1 Cnk a nk bk .
k 0

k

2. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton
n

 Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

C
i 1

i
n

với i là số tự nhiên

liên tiếp.
 Trong biểu thức có

n

 i  i  1 C

i
n

thì ta dùng đạo hàm  i  N  .

i
n

thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm.

i 1

 Trong biểu thức có

n

 i  k  C
i 1

n

 Trong biểu thức có

a C
k

i 1
n

 Trong biểu thức có

1

i
n

thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.

 i 1 C
i 1

i
n

thì ta lấy tích phân xác định trên  a; b thích hợp.

 Nếu bài toán cho khai triển  x  x
a

 C  x



n

b n

i
n

i 1



a n i

x

i

b



n

  Cni x a ni ib
i 1

thì hệ số của x là C n sao cho phương trình a  n  i   bi  m có nghiệm i  N
m

i

n 1
n 1
n
hay i 
với n lẽ, i  với n chẵn.
2
2
2
III.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
1. Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton
a. Phương pháp

Cni đạt MAX khi i 

Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển Newton, ta cần lưu ý
1.
Ta có

 a  b

n

n

  Cni a n i bi ,
i 0

i n i i
do đó hệ số của số hạng thứ i là Cni , và số hạng thứ i là Cn a b .

2.

Ta có

x



 x     Cni ( x )n i .( x  )i
n

n

i 0

n

  Cni x  n i   i ,
i 0

do đó
 Hệ số của xk trong khai triển trên là Cni với i là nghiệm của phương
trình
7

 n  i   i  k .
 Đặc biệt, khi k=0 đó chính là số hạng không phu thuộc x.
b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm 2 hạng tử chính giữa của khai triển  x 3  xy  .
15

Giải.
Trong khai triển trên có n=15, do đó có 16 hạng tử nên hai hạng tử chính giữa là
C157 ( x 3 )8.(  xy )7  6435x31. y 7
C158 ( x 3 )7 .(  xy )8  6435x 29 y8

Ví dụ 2. Đặt  x  2

100

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a100 x100 .

a. Tính hệ số a97.
b. Tính tổng S1  a0  a1  ...  a100 .
c.

Tính tổng S2  a1  2a2  ...  100a100 .
Giải.
Ta có
97

i
f ( x )  ( x  2)100   C100
x100i ( 2)i .
i 0

a.

Từ đó hệ số a97 được cho bởi
97
a97  C100
(2)97

b.

Ta có
S1  a0  a1  ...  a100  f (1)  (1  2)100  1.

c.

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được
100( x  2)99  a1  2a2 x  ...  100a100 x 99 .
Suy ra
S2=a1+2a2+...+100a100=f'(1)=100(1-2)99= -100.

Ví dụ 3. (ĐHTL - 2000): Cho đa thức:P(x)=(1+x)9+(1+x)10+...+(1+x)14.
Có khai triển P(x)= a0+ a1x+ a2x2+...+ a14x14. Tính hệ số a9.
Giải.
Ta có
9

10

14

i 0

i 0

i 0

P(x)=(1+x)9+(1+x)10+...+(1+x)14=  C9i xi+  C10i xi+...+  C14i xi.
Do đó hệ số a9 được cho bởi
a9  C99  C109  ...  C149  3003 .
8

Ví dụ 4. Đặt (1+x+x2+x3)5 = a0+a1x+a2x2+...+a15x15.
a. Tính hệ số a10.
b. Tổng S1= a0+a1+a2+...+a15.
c. Tổng S2 =a0- a1+ a2-...- a15.
Giải.
Ta có

f(x) = (1+x+x2+x3)5
=[(1+x)(1+x2)]5
=(1+x)5(1+x2)5
5

=  C5i xi.
i 0

5

C
i 0

i
5

(x2)i.

a. Từ đó hệ số a10 được cho bởi
a10  C50 .C55  C52 .C54  C54 .C53  101 .
b. Ta có
S1= a0+ a1+a2+...+a15=f(1)=45 = 1024.
c. Ta có
S2= a0- a1+a2-...-a15=f(-1)=0.
10

2

Ví dụ 5. (CĐSPKT 2000). Trong khai triển nhị thức  2x 3  2  với x  0 , hãy tìm số
x 

hạng không phụ thuộc x .
Giải.
Ta có
10

10
10i  2 
 3 2
2
x


C10i  2 x 3  .  2 


2 
x 

x 
i 0

i

10

  210 C10i x 305i .
i 0

Từ đó, số hạng i+1 không phụ thuộc x thỏa mãn
30  5i  0  i  6
Suy ra, số hạng không phụ thuộc x có giá trị bằng 210 C106 .
n

3

x
Ví dụ 6. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức  x 2 x 
 bằng 36.
x 


Tìm số hạng thứ 7.
Giải.
Ta có

9

n

2
3
 
 2
x   25
3
x
x


x

x

 

x  



n

5

n



2

  Cni ( x 2 )n i .( x 3 )i .
i 0

Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức là
Cn2  36 

n!
 36
2!  n  2 !

 n(n  1)  72
n

 n 2  n  72  0  n  9 .

Vậy, số hạng thứ 7 được cho bởi
5



2

7

C96 ( x 2 )3 ( x 3 )6  84 x 2 .

c. Bài tập đề nghị
Bài tập 1. (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của
1  x 2 1  x 8  .



Bài tập 2. ( Khối D-2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển
x 1  2 x   x 2 1  3x  .
5

10

Bài tập 3. ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức
20
x  y  z t .

2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Nhị thức Newton
a. Các dạng toán cơ bản
Dạng toán 1. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị
Cn0 , C1n ,..., C nn .
*) Phương pháp chung
Ta biết rằng với k, n nguyên, không âm và k  n, ta có
Cnk 

n!
n!
& Cnk 1 
k ! n  k !
(k  1)!  n  k  1 !

k
k 1
Thực hiện so sánh Cn & Cn , bằng cách xét

10

k
n
k 1
n

C
C

n!
k ! n  k !

n!
(k  1)!  n  k  1 !
n  k 1
k
n 1

 1.
k


Từ (1), suy ra


Cnk 1  Cnk 

Cnk
n 1
n 1
1
1  1  k 
.
k 1
Cn
k
2



Cnk 1  Cnk 

Cnk
n 1
n 1
1
1  1  k 
.
k 1
Cn
k
2



Cnk tăng khi k tăng và k 

Tức là



n 1
.
2
n 1
Cnk giảm khi k tăng và k 
.
2

Vậy



n 1
.
2
n
Với n chẵn, thì Cnk đạt giá trị lớn nhất tại k  .
2

Với n lẻ, thì Cnk đạt giá trị lớn nhất tại k 

Dạng toán 2. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển
(p+q)n,
biết rằng p>0, q>0, p+q= 1.
*) Phương pháp chung
Gọi tk là số hạng thứ k+1 trong khai triển (p+q)n, ta có
Cnk p nk qk .
Để tìm số hạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ 0 đến n, thực hiện so sánh tk& tk-1, bằng
cách xét
11

tk
C k p nk q k
(n  k  1)q
(n  1)q  k
 k 1n nk 1 k 1 
 1
.
tk 1 Cn p
q
kp
kp

(1)

Từ (1), suy ra


tk 1  tk 

tk
(n  1)q  k
 1 1
 1  k  (n  1)q .
tk 1
kp



tk 1  tk 

tk
(n  1)q  k
 1  1
 1  k  (n  1)q.
tk 1
kp

Tức là, khi k chạy từ 0 đến n thì

tk tăng khi k tăng và k  (n  1)q .


tk giảm khi k tăng và k  (n  1)q .



tk đạt giá trị lớn nhất bằng một số nguyên thỏa mãn

Vậy

(n  1)q 1  m  (n  1)q.


Nếu (n+1)q là một số nguyên m, thì tm= tm-1, tức là có hai số hạng có giá
trị lớn nhất là tm& tm-1.

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a+b)n biết rằng tổng các hệ số bằng
4096.
Giải.
Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n bằng:
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n  4096  n  12 .
Do đó, hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển là C126  924 .
Ví dụ 2. Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức (x+)n hạng tử thứ 11 là số hạng
tử có hệ số lớn nhất.
Giải.
Ta có
n

n

i 0

i 0

 x  2   Cni xni .2i   Cni 2i.xni .
n

Từ đó , hạng tử thứ 10, 11, 12 có hệ số bằng Cn9 29 , Cn10 210 , Cn11 211.
Để hạng tử thứ 11 là số hạng tử có hệ số lớn nhất điều kiện là

12

2.n !
n!



C 2  C 2
10!  n  10  ! 9!  n  9 !

 10 10

11 11
n!
2.n !
Cn 2  Cn 2


10!  n  10  ! 11!  n  11!
10 10
n

9
n

9

1
2

10 n  9
31 n

 14  n   n  15.
2
 1  2
 n  10 11

Vậy, với n=15 thỏa mãn điều kiện đề bài.
1 2
Ví dụ 3. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển   
3 3
Giải.

8

8

1 2
Gọi tk là số hạng thứ k+1 trong khai triển    , ta có
3 3
8 k

k

1  2
C   .  .
3  3
Để tìm số hạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ 0 đến 8, thực hiệ so sánh sánh tk& tk-1,
bằng cách xét
k
8

8 k

tk
tk 1

k

1  2
C    
2(9  k )
3  3


.
9 k 
k 1
k
2
k 1  1 
C8  
 
3
3
k
8

(1)

Từ (1), suy ra


tk 1  tk 

tk
2(9  k )
1
1 k  6.
tk 1
k



tk 1  tk 

tk
2(9  k )
1
 1  k  6.
tk 1
k

Tức là, khi k chạy từ 0 đến 8 thì:


tk tăng khi k tăng và k  6 .



tk giảm khi k tăng và k  6 .

Vậy, tk đạt giá trị lớn nhất k=6 và có giá trị bằng
1
C  
3
6
8

2

6

 2  1792
.  
.
 3  2187

13

c. Các bài tập đề nghị.
Bài tập 1. Khai triển đa thức
P(x)=(1+2x)12
thành dạng
P(x) = a0+ a1x+ a2x2+ ....+a20x20
Tìm max(a1, a2, ...,a12).
Bài tập 2. Tìm số hạng thứ lớn nhất trong khai triển  2  3x 

25

Bài tập 3.
a. Tìm số hạng lớn nhất trong các khai triển sau  x3  xy  .
21


b. Tìm số hạng lớn nhất trong các khai triển sau  x 4 x 



20

1
3

 xy 

2


 .



TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]

Nguyễn Huy Đoan(2001), Giải Toán và Ôn tập Giải tích.Nhà xuất bản Giáo dục.
Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí(2005), Phương pháp giải Toán Tổ
hợp.Nhà xuất bản Hà Nội.
Lê Quang Hoàng Nhân(2008), Giáo trình Toán cao cấp .Nhà xuất bản Thống kê.
Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan(2008), Đại số và Giải tích (Sách Giáo viên).
Nhà xuất bản Giáo dục.

14