SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
BẾN TRE

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1 (5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A  4  15  4  15  2 3  5
x 5 2 x 6 x 9
2022
.
, x  0 và tìm x sao cho B 
2023
x3 x 2
x 2  y 2 85
Câu 2 (3 điểm)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa
 .
x y
13

b) Rút gọn biếu thức: B 

 x2  4 
x2  x2
Câu 3 (3 điểm)Giải phương trinh: 9 


10
 2
0
 

 x  1   x 1 
 x 1 
2

2

Câu 4 (3 điểm)Cho a,b,c là các số thực không âm. Chửng minh rằng:
a 3a 2  6b2  b 3b2  6c 2  c 3c 2  6a 2  (a  b  c)2

Câu 5 (3 điểm)Cho tam giác ABC biết ACB = 45 độ, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua O và vuông góc với
CO cắt AC và BC lần lượt tại điểm K và điểm L. Chứng minh rằng: chu vi tam giác HKL
bằng với đường kính của (O).
Câu 6 (3 điểm) Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai
đường tròn này nằm trong đường tròn ( O3 ) và tiếp xúc với ( O3 ) lần lượt tại điểm M (M
thuộc ( O1 )) và điểm N (N thuộc ( O2 )). Tiếp tuyến chung tại T của ( O1 ) và ( O2 ) cắt ( O3 ) tại
điểm P (P và O3 nằm cùng phía của đường thẳng MN). Đường thẳng PM cắt ( O1 ) tại A (A
khác M), đường thẳng PN cắt ( O2 ) tại D (D khác N) và đường thẳng MN cắt ( O1 ) và ( O2 )
lần lượt tại B (B khác M) và C (C khác N). Gọi E là giao điểm của AB và CD.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ĐẮC NÔNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức A 

x
3
6 x 4


x 1
x 1
x 1
1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của tham số m để A  x  m có nghiệm.
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x2  x  9  2 x2  x  1  x  4
b) Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh : mn−m−n+1:192.
Bài 3. (2,0 điểm)
Một xe tải có chiểu rộng là 2,4 m chiểu cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình
Parabol (Hinh minh ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách tử đỉnh
cổng tới mỗi chân cổng lả 2 5 m (bỏ qua đô dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa đô Oxy gọi Parabol
( P) : y  ax 2 với a<0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a=−1.
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
Bài 4. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1



2
2
1  a (b  c) 1  b (a  c) 1  c (a  b) abc
2

Bài 5. (3,0 điểm)
Một cái tháp được xây dựng bên bờ một con sông, tử một điểm đối diện với tháp ngay bờ
bên kia người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 600 . Tử một điểm khác cách điểm ban
đầu 20 m người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 300 (Hình minh họa). Tính chiều
cao của tháp và bể rộng của con sông.
Bài 6. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm
O bán kính R. Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC, cắt cạnh AB và AC lần lượt tại điểm
F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh: AF.AB = AE.AC.
b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (K) (với M, N là hai tiếp điểm; N
thuộc cung EC). Chứng minh: ba điểm M, H, N thẳng hàng.
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng:

1 1
1
1
 2
 1
, k  0 .Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:
2
2
1 k
(k  1)
k (k  1)

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
 2  2  2  2  2  ...  2 


2
2
2
1 2 3
1 3 4
1 2022 2023
2023
2
b) Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên thỏa mãn: x  xy  x  y  5  0 .
S

Câu 2(4,0 điểm).
a) Cho hàm số y  (m2  m  2) x  2m  8 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm tất cả các giá trị của
2

tham số m để đường thằng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện
tích tam giác OAB bằng 2 (với O là gốc tọa độ).
b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3
giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho
vời thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số
nước đã chảy vào bằng

8
bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy
9

bồn đó ?
Câu 3 (2,0 điểm). Cho x  1  3 3  3 9 . Chứng tỏ x3  3x2  6 x  21 là số chia hết cho 5 .
Câu 4 (5,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính BC=2R và điểm A thay đổi
trên (O) (điểm A không trùng với B,C ). Đường phân giác trong góc A của tam
giác ABC cắt đường tròn (O) tại K. Hạ AH vuông góc với BC.
a) Chưng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH 2  HK 2 luôn không đổi. Tính góc B của tam
giác ABC biết AH 

R 3
.
2

b) Đặt AH=x. Tìm x sao cho diện tích tam giác AHO đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điếm).Cho △ABC vuông tại A biết AB=3,AC=4 và AH là đường cao.
Gọi I∈AB sao cho IA=2IB,CI cắt AH tại E. Tính CE.
Câu 6(2,0 điểm).Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh
(a 2  bc)(b  c)
(b 2  ca)(a  c)
(c 2  ab)(a  b)
rằng:


3 2
a(b2  c 2 )
b( a 2  c 2 )
c (a 2  b 2 )

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1. (3,0 điểm)
1) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn

1 1 1
1
. Chứng minh
  
a b c abc

bc  1 ac  1 ba  1


3
a 2  1 b2  1 c 2  1
2) Cho đa thức P( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)...( x  2022) . Khi khai triển đa thức P( x) ta
được P( x)  a0  a1 x  a2 x2  ...  a2022 x2022 .Tính giá trị của biểu thức
a  a  a  ...  a2021
a0
S 1 3 5

a0  a2  a4  ...  a2022 2(a1  a3  a5  ...  a2021 )

Câu 2. (5,0 điểm)
1) Giải phương trình ( x  1)(3x  x  1  3)  4 x3  2
3


2) Giải hệ phương trình 

x( y  1)  y  3

2 2

 5  2( x  y )  2  x y  2

Câu 3. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho p4  q2 ( p2  q2  1)  (q2  1)2
2) Cho m,n,p,q là các số nguyên thoả mãn (m  n  p  q) 30 . Chứng minh rằng
(m5  n5  p5  q5 ) 30

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn(O). Gọi BH
và CQ là hai đường cao của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại B và tại C của đường tròn (O)
cắt nhau tại M. Đoạn thẳng OM cắt BC và cắt đường tròn (O) lần lượt tại N và D. Tia AD
cắt BC tại F; AM cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K (K khác A).
1) Chứng minh rằng: AB.KC = AC.KB và gócABM =góc AHN.
2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN. Chứng minh gócIOM + gócADN =
180.
3) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt QH tại G. Chứng minh ba điểm A, G, N
thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm)
1) Lấy 2018 điểm phhon biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ
giác đó ta được 2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện
tích của ngũ giác là 1 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023
1
đơn vị.
4039
2) Xét a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
1
thức Q  2
 2
 2
a bc b a c c ba

điểm đã cho có diện tích không vượt quá

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
SƠN LA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1 (4,0 điểm).
x 1
1 2x  2 x 2 x  x


, x  0, x  1
x x x x
x2  x
1 x x
b) Cho biểu thức P  ( x3  12 x  31)2023 .Tính giá trị của biểu

a) Rút gọn biểu thức: A 

thức P tại x  3 16  8 5  3 16  8 5
Câu 2 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương
trình y  2 x  a 2 và parabol (P) có phương trình: ( P) : y  ax2 (a>0).
a) Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh

4

rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
b) Gọi xA , xB là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức: T 

4
1

xA  xB xA xB

Câu 3 ( 4,0 điểm).
6 x 2  3xy  x  1  y
a) Giải hệ phương trình: 
x2  y 2  1

b) Cho a,b∈N. Chứng minh rằng: Nếu (a2  b2  9ab) 11 thì (a2  b2 ) 11

Câu 4 (6,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai
đường cao của ABC. Gọi R là giao điểm của BD với (O) (R khác điểm B), S là giao điểm
của CE với (O) (S khác điểm C). Tia AO cắt BC tại M và cắt cung nhỏ BC tại N. Tia BO
cắt AC tại P. Tia CO cắt AB tại F.
a) Chứng minh: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
b) Chứng minh: DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR.
c) Chứng minh:

MB.MC PC.PA FA.FB


1
MA2
PB 2
FC 2

Câu 5 (2,0 điểm).
a) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
x yz 

xy  1 yz  1 zx  1


y 1 z 1 x 1

b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, …, 100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một
cách tùy ý 100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các
dấu cộng vào giữa các chữ số của A. Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho
2046.
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
2  7  2 10  3 3 3 4  3 3 2  1
Bài 1 (3 điểm). Rút gọn biểu thức A 
5  2 1
 x2
x
1  x 1
Bài 2 (6 điểm). Cho biểu thức B  


 :
2
 x x 1 x  x  1 1 x 
3

a. Rút gọn biểu thức B.
2
7

b. Tìm giá trị của x để B= .
c. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên.
d. So sánh B 2 và 2B.
Bài 3 ( 3 điểm).
a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y=(m−2)x+3(m≠2). Tìm tất cả các
5

giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm B, cắt Ox tại điểm A sao cho góc
ABO=30.


x2  4 y 2  5
2
2
4 x y  8 xy  5 x  10 y  1

b. Giải hệ phương trình 

Bài 4 (6 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, điểm M di động trên nửa
đường tròn đó (M≠A,M≠B). Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường
thẳng AB. Vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn đường kính BH. Đường
thẳng AM cắt đường tròn đường kính AH tại điểm E(E≠A). Đường thẳng MB cắt đường
tròn đường kính BH tại điểm F(F≠B).
a. Chứng minh ME⋅MA=MF⋅MB.
b. Gọi K,G lần lượt là hai điểm đối xứng của điểm H qua các đường thẳng MA,MB.
Chứng minh ba điểm M,K,G thẳng hàng.
c. Chứng minh MH 3  AB.AE.BF
d. Gọi I,J lần lượt là tâm của đường tròn đường kính AH và BH. Cho AB=2R. Xác định vị
trí của điểm M để diện tích tứ giác IEFJ đạt giá trị lón nhất. Tính giá trị đó theo R.
Bài 5 ( 2 điểm).
a. Cho số tự nhiên n bất kỳ. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
số A  2026n2  1014(n  p) luôn viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
b. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình x2  2 x  27 y3

6