Website:tailieumontoan.com
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN
QUẬN NAM TỪ LIÊM
MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1.

(4,0 điểm)

1. Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức
b) Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2. Cho biểu thức
Bài 2.

. Chứng minh rằng

là một số nguyên.

(4,0 điểm)
1. Cho

là các số nguyên cùng chia hết cho
cũng chia hết cho

2. Cho

. Chứng minh rằng:

(q là số tự nhiên).

là các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Bài 3.

.

viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

(4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

Bài 4.

2. Giải phương trình :

(6,0 điểm)

Cho hình vuông
chuyển trên
.

độ dài cạnh bằng
(

khác

là giao điểm của

và

). Gọi

và

.

1) Chứng minh rằng:

. Điểm

là giao điểm của tia

là một điểm di
và đường thẳng

không đổi.

2) Chứng minh:

Bài 5.

và có tâm là

.

3) Gọi

là giao điểm của

và

giác

đạt giá trị lớn nhất.

. Tìm vị trí của điểm

để diện tích tam

(1,0 điểm)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc
các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một
khác màu.
HẾT
ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN
QUẬN NAM TỪ LIÊM
MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021
Bài 1.

(5,0 điểm)

1. Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức
b) Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2. Cho biểu thức

.

. Chứng minh rằng

là một số nguyên.

Lời giải
1. a) Rút gọn biểu thức

với

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy

với

b) Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Với

ta có:

.

. Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có:

Mặt khác:

Hay

Do đó:

.Dấu “=” xảy ra

Vậy

tại

.

.

2. Ta có:

( Vô lí)
Vậy
Liên
hệ
tài
039.373.2038

là một số nguyên.
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Bài 2.

(4,0 điểm)
1. Cho

là các số nguyên cùng chia hết cho
cũng chia hết cho

2. Cho

. Chứng minh rằng:

(q là số tự nhiên).

là các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng:

viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Lời giải

1. Ta có:

dư
dư
dư

Do đó:

dư

hay

Ta có:
Mà

dư

nên

Do đó:
Vậy

cũng chia hết cho

(q là số tự nhiên).

2. Ta có:
Do đó: với mọi
dư

thì

chia

Suy ra: không xảy ra
Vậy trong các số

dư . Nên với

lẻ thì

chia

(vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3 )
có ít nhất 1 số chẵn. Ta có:

là số lẻ.

Đặt
Vậy ta có được điều phải chứng minh.
Bài 3.

(4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
2. Giải phương trình :

Lời giải

1. Tìm số nguyên x,y thỏa mãn:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vì

và vai trò của x,y như nhau; ta giả

sử

; suy ra:

Mà

là số chính phương

+ TH1:

không có giá trị

+ TH2:
Vậy
2. Giải phương trình :

(ĐK:

)

Vì

Giải phương trình

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

bình phương 2 vế ta có :

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Bài 4.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
(6,0 điểm)
Cho hình vuông
chuyển trên
.

độ dài cạnh bằng
(

khác

là giao điểm của

và

). Gọi

và

.

1) Chứng minh rằng:

và có tâm là

. Điểm

là giao điểm của tia

là một điểm di
và đường thẳng

không đổi.

2) Chứng minh:

.

3) Gọi

là giao điểm của

và

giác

đạt giá trị lớn nhất.

. Tìm vị trí của điểm

để diện tích tam

Lời giải

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
F

N
E

H
G

M

B

M'

C

O

A

Q

D

K

1) Kẻ
Ta có:

Trong

vuông tại

có:

không đổi

Vậy
2)

không đổi.
cắt

tại

;

cắt

tại

Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Do

Mặt khác

(do

)

Từ

là hình bình hành

Mà
3)

cắt

tại

Áp dụng định lí Papuyt

Lấy

thẳng hàng

sao cho
là hình bình hành

Mà

vuông tại C

Kẻ
Gọi

Liên
hệ
tài
039.373.2038

là giao điểm của

và

liệu

toán:

word

môn

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Ta có:

Mà

Do đó:
Dấu "=" xảy ra
Bài 5.

là trung điểm

(1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc
các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một
khác màu.
Lời giải
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một
tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:

- Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và
tạo thành một tam giác cân.
- Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành
một tam giác cân.

Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên
mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học