TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Tặng mọi người tài liệu hay
40 CHUYÊN ĐỀ TOÁN – ÔN LUYỆN THPT QG
Toàn file Word nhé
Tải đầy đủ 40 chuyên đề tại website :
https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

Chuyên đề 19

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
(mũ hóa)
 Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit
 Bước 1. Đặt điều kiện (điều kiện đại số điều kiện loga), ta cần chú ý:
mũ lẻ
mũ chẵn

và

.

 Bước 2. Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải.
 Bước 3. So với điều kiện và kết luận nghiệm.
Câu 1.

(Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm
A.

B.

C.

D.

của phương trình

Lời giải
Chọn C
Điều kiện

.

Phương trình

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

Trang 1

. Vậy tập nghiệm phương trình
Câu 2.

(THPT

Hàm

Rồng

Thanh

Hóa

2019)

Số

nghiệm

của

phương

trình

là
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Viết lại phương trình ta được

.
Câu 3.

(Đề

Tham

Khảo 2018) Tổng giá trị tất

cả các nghiệm của phương trình

bằng
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn D
Điều kiện
.
Phương trình đã cho tương đương với

Câu 4.

Nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là
.

C.
Lời giải

.

D.

.

Điều kiện:
Ta có:

.
So với điều kiện, nghiệm phương trình là
Câu 5.

.

(THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Gọi S là tập nghiệm của phương trình
. Số phần tử của tập S là

Trang 2

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

A. 2

B. 3

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

C. 1
Lời giải

D. 0

ĐK:

Vậy tập nghiệm có một phần tử
Câu 6.

(Chuyên

Lam

Sơn

Thanh

Hóa

2019)

Số

nghiệm

thục

của

phương

trình

là
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Điều kiện:

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có
Câu 7.

nghiệm

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm của phương trình
là

(với

là các số nguyên). Giá trị của biểu thức

bằng
A. 0.

B. 3.

C. 9.
Lời giải

D. 6.

Chọn D
Điều kiện:
.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm
Ta được:
Câu 8.

. Vậy

.

(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
là
B.

A. .
Chọn A
Điều kiện:

.

C. .
Lời giải

D.

.

.

Phương trình tương đương
Trang 3

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng .
Câu 9.

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
A.

.

B.

.

bằng

C. .
Lời giải

D. .

Chọn C
Phương trình

điều kiện

.
Nghiệm

loại,

thỏa mãn.

Suy ra tổng các nghiệm là
Câu 10. Gọi

.

là tập nghiệm của phương trình

tử của

bằng

A.

.

B.

.

trên
C. .
Lời giải

D.

. Tổng các phần
.

Chọn D
Điều kiện:

.
.
.

.

+)
+)

.
.
.

Vậy tổng các nghiệm của
Câu 11.
(SGD Nam Định

là:
2019)

.
Tổng

tất

cả

các

nghiệm

của

phương

trình

bằng
Trang 4

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

A.

B.

C. 0.
Lời giải

D. 3.

Chọn A
Điều kiện:

(do điều kiện).
Câu 12.

(SGD Gia Lai 2019) Cho hai số thực dương
đề nào dưới đây đúng?
A.

.

B.

.

,

thỏa mãn

C.
Lời giải

.

. Mệnh
D.

.

Chọn A
Với

,

ta có:
.
.
.

Câu 13. Biết phương trình
A.

có hai nghiệm thực

.

B.

.

C. .
Lời giải

,

. Tích
D.

bằng:
.

Chọn B
Ta có:

Phương trình
Vậy
Câu 14.

có

nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

.

(Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.
.

D.

.

Chọn A
Điều kiện:

.

Trang 5

Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:
Câu 15.

.

(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Số nghiệm của phương trình
là
A.

.

B. .

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Ta có
, điều kiện

Thử lại ta có một nghiệm
Câu 16.

.

thỏa mãn.

(Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

C.

là
.

D. .

Lời giải
Chọn D

Điều

kiện:

Ta có

Trang 6

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 17. Biết nghiệm lớn nhất của phương trình
nguyên ). Giá trị của
A.

.

là

(

là hai số

bằng
B.

.

C.

.

D. .

Lời giải
Chọn A

Điều kiện

.

.
Nghiệm lớn nhất của phương trình là

.

Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.
.

D.

.

Chọn A

Điều kiện:

.

Ta có:

.

.
Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
Câu 19. Gọi

bằng

là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

A.
Lời giải
Chọn C

.

Điều kiện phương trình:
Phương trình:

B.

.

C.

.

. Tính
.

D.

?

.

.

Trang 7

.
+ Khi

:

Phương trình
+ Khi

.

:

Phương trình

.

Vậy

.

Câu 20. Cho phương trình
trình trên là
A.

.

. Tổng các nghiệm của phương
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C

Điều kiện:

 log 2 x  1  log 2 4 log 2 4  x   log 2 4  x 

.
So với điều kiện phương trình trình có 2 nghiệp

Câu 21. Cho
A.

và
.

B.

Vậy tổng các nghiệm là

. Tìm giá trị của biểu thức
.

C.
Lời giải

.

D.

.
.

Chọn A
Ta có:
.

Trang 8

.
https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Tương tự:

.

Lấy

nhân

được

Lấy

chia

được

Thay

vào

Thay

.

.

được

vào

.

được

. Do đó

Câu 22. Cho

.

thỏa mãn

Khi đó biểu thức
A.

.

.

có giá trị bằng:
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A

(do

).

.
Câu 23. Cho
Giá trị của
A.

, biết rằng
bằng

.

B.

và

.

C. .
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Ta có

;

,

.

Theo bài ra
Do đó

.
.

.

Trang 9

.
.
.
Câu 24.

(Kim Liên - Hà Nội - 2018) Biết rằng phương trình
phân biệt
A.

,

. Tính

.

B.

có hai nghiệm

.

.

C.
.
Lời giải

Điều kiện

D.

.

.

Phương trình

thỏa mãn
Câu 25.

.

(THPT Lê Xoay - 2018) Phương trình
nghiệm?
A.

.

Điều kiện

B.

có bao nhiêu

.

C. .
Lời giải

D.

.

.

.
Câu 26.

(THPT

Lương

A. Vô nghiệm.
Điều kiện:

Văn

Tụy

B. Một nghiệm.
và

-

Ninh

Bình

-

có bao nhiêu nghiệm?
C. Hai nghiệm.
Lời giải

2018)

Phương

trình

D. Ba nghiệm.

.

Ta có

Trang 10

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

.
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm
và
.
Câu 27.
(SGD&ĐT BRVT - 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Điều kiện

.

Ta có

thỏa mãn

Câu 28.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
(Xuân
Trường
Nam

.

.
Định

-

2018)

Cho

phương

trình

. Biết phương trình có một nghiệm là
một nghiệm còn lại có dạng
đó giá trị của
A.

.

(với

,

là các số nguyên tố và

và

). Khi

bằng:
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Điều kiện

Trang 11

.

.
. (thỏa mãn

)

Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
Khi đó
,
,
. Vậy
Dạng 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
 Loại 1.

.
để đặt

Câu 29. Phương trình

.

có hai nghiệm

.

B.

.

.

đặt

 Loại 2. Sử dụng công thức

A.

,

.

. Khi đó tổng

C. .
Lời giải

D.

bằng
.

Chọn C
Điều kiện phương trình:

Suy ra
Suy ra
Câu 30.

.

.
.

(SGD Gia Lai 2019) Số nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

là:

C. .
Lời giải

D. .

Chọn D
Điều kiện:

Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình
Trang 12

là
https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A
Điều kiện:
Đặt

, phương trình trở thành:

Do

nên phương trình

có

nghiệm

phân biệt thỏa mãn

Khi đó, các nghiệm của phương trình ban đầu là:

.

.

.
Câu 32.

(Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

C.

.

là
D.

.

Lời giải
Chọn B

Ta có
Vậy
Câu 33.

.

(THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Biết phương trình
phân biệt

và

. Tính

A. .

có hai nghiệm

.
B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn A
Điều kiện

.

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau:
Do

và

là hai nghiệm của phương trình
, mà

Suy ra
Câu 34.

.
nên
.

nên

.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Biết rằng phương trình
. Giá trị của
A.

.

có 2 nghiệm

bằng
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.
Trang 13

Chọn A
+ Điều kiện

.

+

(thỏa mãn điều kiện

Vậy
Câu 35.

).

.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho phương trình
nhất của phương trình thuộc khoảng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

. Nghiệm nhỏ

.

D.

.

Chọn A
Điều kiện:

Nghiệm nhỏ nhất là
Câu 36. Gọi

là tổng các nghiệm của phương trình

A.

.

B.

.

. Tính
C.
Lời giải

.

.

D.

.

Chọn C
Điều kiện:

.
.

( thỏa mãn).
Vậy
Câu 37.

.
(Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Phương trình
tích
A.

có hai nghiệm

. Tính

.
.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A

Trang 14

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

. Vậy tích
Câu 38.

(Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho các số thực a, b thỏa mã
trị của biểu thức
A.

.

.
và

. Tính giá

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có

Vậy

nên đáp án D đúng.

Câu 39. Biết rằng phương trình
A.

.

có hai nghiệm thực
B.

.

C. .
Lời giải

D.

. Tích

bằng

.

Chọn D
ĐKXĐ:

.
.

Đặt
Gọi

, ta có
là hai nghiệm của

, ta có

Câu 40. Cho phương trình
nghiệm đó.
A.

.
Biết phương trình có 2 nghiệm, tính tích

B.

C.
Lời giải

của hai

D.

Chọn C
Ta có

Đặt

( điều kiện

).

ta có phương trình

Với
Trang 15

Với
Vậy
Câu 41.

(THPT Ba Đình 2019) Biết rằng phương trình

có hai nghiệm

và

. Khi đó

bằng
A.

.

B.

Đ/K:

.

C. .
Lời giải

D.

.

.

Phương trinh

. Khi đó
Câu 42.

.

(Chuyên Quốc Học Huế -2019) Gọi
. Tính
A.

là tổng các nghiệm của phương trình

.

B.

C.
Lời giải

D.

ĐKXĐ:

Ta có:

Vậy
Câu 43.

(Cụm 8 Trường Chuyên 2019) Cho phương trình
của phương trình thuộc khoảng nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

. Nghiệm nhỏ nhất
.

D.

.

.
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng
Trang 16

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

Câu 44.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình
là
A. .

B.

.

C. .
Lời giải

Dễ thấy phương trình bậc hai:

D.

luôn có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó theo Vi-et,
Câu 45.

.

.

(Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho 2 số thực dương
và
A.

.

B.

và

. Giá trị biểu thức

bằng

C.
.
Lời giải

D.

.

thỏa mãn

.

Ta có:
Nên
Câu 46.

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết phương trình
Giá trị

có hai nghiệm

.

bằng

A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn A

Đk:

;

Vậy
Câu 47.

(Mã 104 2017) Xét các số nguyên dương
nghiệm phân biệt

,

thỏa mãn

. Tính giá trị nhỏ nhất

A.

,

sao cho phương trình

và phương trình
B.

có hai

có hai nghiệm phân biệt
của

,

.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Điều kiện

, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

Đặt
khi đó ta được
Ta thấy với mỗi một nghiệm thì có một nghiệm
Ta có

,

,
, một

.
.

thì có một

.

, lại có
( do

nguyên dương), suy ra

.
Trang 17

Vậy
Câu 48.

, suy ra

đạt được

.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm của phương trình
.
A.

.

Điều kiện

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có
Đặt

phương trình tương đương:

Vậy tích các nghiệm của phương trình là
Câu 49.

.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm của phương trình
.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

Chọn B
Điều kiện

.

Ta có
Đặt

phương trình tương đương:

Vậy tích các nghiệm của phương trình là
Câu 50.

Trang 18

.

(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét phương trình
đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình trên vô nghiệm.

. Mệnh

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

B. Phương trình trên có nghiệm bé hơn .
C. Phương trình trên có nghiệm lớn hơn

và một nghiệm bé hơn .

D. Phương trình trên chỉ có nghiệm hơn .
Lời giải
Chọn C
, điều kiện

.
.

Đặt

.

Phương trình

trở thành:

Phương trình

có

Suy ra

nên luôn có hai nghiệm
và

Vậy phương trình
Câu 51.

.

.

có nghiệm lớn hơn

và một nghiệm bé hơn .

(Tham khảo 2018) Cho dãy số
với mọi
A.

thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

.

.

B.

.

và

để

C.
Lời giải

bằng
.

D.

.

Chọn B
Có

. Xét

Đặt

(*)

, điều kiện

Pt (*) trở thành
Với

(với

)

Mặt khác
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 52. Cho

,

A.

là

.

là các số dương thỏa mãn
.

B.

. Tính giá trị
.

C.
Lời giải

.

D.

.
.

Chọn B
Trang 19

+ Đặt

.
+
Câu 53.

.
(THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hai số thực dương
. Tính giá trị của biểu thức

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

thỏa mãn

.

.

D.

.

Chọn B

Đặt

.
Chọn
Câu 54.

B.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Giả sử
. Tính giá trị của
A.

.

B.

.

là các số thực dương thỏa mãn

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Trang 20

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Suy ra
Câu 55.

.

(TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Tích các nghiệm của phương trình
bằng
A.

.

B.

Điều kiện:

.

C.
Lời giải

.

D.

.

, ta có:

.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là:
Câu 56.

.

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Tích tất cả các nghiệm của phương trình

A.

.

B. .

Điều kiện
Đặt

C.
Lời giải

.

D.

.

.
,

ta có phương trình

.
Trang 21

Với

thì

Với

thì

Với

.
.

thì

.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là
Câu 57.

.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi
và

,

các số thực dương thỏa mãn điều kiện

, với

là hai số nguyên dương. Tính

.
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn A

Đặt

, ta có

.
Suy ra

.

Mà
Vậy
Câu 58.

(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương
. Đặt
A.

.

B.

thỏa mãn

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Giả sử:
Trang 22

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Khi đó

Vậy
Dạng 1.3 Phương pháp mũ hóa

.

+ Nếu
Câu 59.

(mũ hóa)

(Cần Thơ 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình
A. .
B.
.
C. .
Lời giải
Chọn C

bằng
D.

.

Điều kiện
Khi đó
Ta thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện
Câu 60. Phương trình
A.

.

có nghiệm là
B.

.

, và tích bằng
thì nghiệm

C.
Lời giải

.
thuộc khoảng nào sau đây

.

D.

.

Chọn B
Ta có

.
Câu 61. Phương trình
A.

.

có hai nghiệm
B.

.

C.
Lời giải

. Tính giá trị của
.

D.

.
.

Chọn D
Điều kiện:

.

Trang 23

Khi đó
Câu 62.

(Sở

.
Bạc

Liêu

-

2018)

Gọi

(với

)

khi đó giá trị của biểu thức
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

là

nghiệm

của

phương

trình

là:
.

D.

.

.
Do
Câu 63.

nên

Ta được đáp án A là đúng.

(Chuyên Thái Bình - 2018) Số nghiệm của phương trình
A.

.

B. .

là:

C. .
Lời giải

D.

.

Đk:
Đặt

, phương trình đã cho trở thành
(1)

Dễ thấy hàm số

nghịch biến trên

nghiệm duy nhất
Với

nên phương trình (1) có

.

, ta có

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Câu 64.

và

.

(Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Phương trình

có hai ngiệm

,

. Tính

.
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Điều kiện:

.

Trang 24

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 65.

(THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình
Tổng

có hai nghiệm

.

là:

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải.

D.

.

Chọn B
.
Đặt

. PT

.

Giả sử nghiệm của PT
là
Dạng 1.4 Phương pháp hàm số, đánh giá
Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:
 Nếu hàm số
trên D.

đơn điệu một chiều trên D thì phương trình

Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được

nghiệm

không quá một nghiệm
của phương trình, rồi chỉ rõ hàm

đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận
nghiệm duy nhất.
 Hàm số

đơn điệu một chiều trên khoảng

và tồn tại

là
thì

".
Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng
Câu 66.

.

(Đề tham khảo 2017) Hỏi phương trình
biệt?
A.

.

B. .

có bao nhiêu nghiệm phân
C. .
Lời giải

D.

Chọn C
Điều kiện:

.

Phương trình đã cho tương đương với
Xét hàm số

.
liên tục trên khoảng

.

.

(thỏa điều kiện).
Trang 25

Vì
biệt.

Câu 67.

,

và

nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân

(Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Số nghiệm của phương trình
A. .

B.

Hàm số

.

C. .
Lời giải

D.

luôn đồng biến trên khoảng

Hàm số

có

và

,

là:
.

.

nên

luôn nghịch biến trên khoảng

.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm.
Câu 68.

(THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Giải phương trình
. Ta có tổng tất cả các nghiệm bằng
A.

.

B.

Điều kiện

.

C. .
Lời giải

D.

.

.

.
Ta có hàm số

liên tục và đồng biến trên
có một nghiệm

và

nên phương trình

.

Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng

.

Câu 69. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A.
Trang 26

.

B.

.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Chọn B
Điều kiện:
Ta có:

.

Xét hàm số

trên khoảng

.

.
Vậy hàm số
Suy ra

đồng biến trên khoảng

.

.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng .

Câu 70. Biết phương trình

có một nghiệm dạng

là các số nguyên. Tính
A.

.

B.

trong đó

.
.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Điều kiện:

.
Ta có:

Xét hàm số:

trên

Ta có:
Suy ra

với mọi

.

đồng biến trên

Từ đó ta có
Trang 27

Vậy
Câu 71. Số nghiệm thực của phương trình
A.

.

.

B. .

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Đk:

.

Ta có

do đó

Với
Với

.

thì

, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

.
.(*)

Xét hàm số

, với

.

Có

.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

.

Do đó (*)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thực.

Câu 72.

.

(Bắc Ninh - 2018) Cho phương trình

, gọi

là tổng tất cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của
A.

.

B.

Điều kiện

,

Ta có

Trang 28

C.
Lời giải

.

D.

.

.

Xét hàm số

trên khoảng
Mặt khác ta có:

.

là

.
,

, do đó hàm số

đồng biến

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Kết hợp với điều kiện ta được
Câu 73.

. Vậy

(Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Biết

.
,

và
A.

.

B.

là hai nghiệm của phương trình
với

.

C.
Lời giải

.

,

là hai số nguyên dương. Tính
D.

Điều kiện

Ta có

Xét hàm số
Vậy hàm số đồng biến

Phương trình

với

trở thành

Trang 29

Vậy
Câu 74.

(Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số nghiệm của phương trình
là
A.

.

B. .

Xét hàm số

C. .
Lời giải
với

Ta có

.

.

;

.

Nên suy ra hàm số

đồng biến trên mỗi khoảng

Mặ khác

và

và
nên

nghiệm
và đúng một nghiệm
Ta có bảng biến thiên

.

có đúng một

.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình
Câu 75.

D.

có bốn nghiệm phân biệt.

(THPT Lê Xoay - 2018) Số nghiệm của phương trình

trên khoảng

là:
A.

.

B.

.

C.

.

D. .

Lời giải

Vì

Trang 30

và

nên phương trình đã cho tương đương

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Xét hàm số

, với

ta có

Do đó, hàm số

đồng biến trên khoảng

Từ phương trình

, ta có

Câu 76.

(THPT

Nguyễn

.
.

hay

Thị

Minh

Khai

-

Hà

Tĩnh

có số nghiệm là

-

2018)

.

Phương

và tổng các nghiệm là

trình

. Khi đó

bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D. .

Lời giải

* Điều kiện

.

* Ta có

* Khi

là một nghiệm của phương trình.

, phương trình đã cho được viết lại

* Phương trình

.

có vế trái là hàm đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến khi

suy ra

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
* Vậy
Câu 77.

.

(THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Biết
trình

là hai nghiệm của phương

và

với

là các số nguyên

dương. Tính
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

.

Xét hàm

.

Trang 31

Ta có

, vậy

là hàm đồng biến suy ra

.
.

Câu 78.

(THPT Lương Văn Can - 2018) Cho biết phương trình
nghiệm duy nhất

. Hỏi

giá trị lớn nhất trên đoạn
A.

.

thuộc khoảng nào dưới đây để hàm số

bằng
B.

có
có

.
.

C.

.

D.

(vì

)

.

Lời giải
+ Điều kiện:

.

Ta có:

(*).
Xét hàm số

, với

có
nên

đồng biến do đó (*)
. Vậy

+ Với

.

, ta xét hàm số

TXĐ:
do đó hàm số luôn nghịch biến.

Khi đó hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn

Trang 32

bằng

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số
+ Nếu

thì

+ Nếu a chứa ẩn thì

.

+
Câu 1.

(logarit hóa).
(Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm của phương trình

là

A.

D. Vô nghiệm.

B.

C.
Lời giải

Chọn A
Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình là

Câu 2.

Tập nghiệm của phương trình
A.

.

là

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
.
Ta có:
.
Câu 3.

Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

bằng
C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Ta có:
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng

.
.

Trang 33

Câu 4.

(SGD Điện Biên - 2019) Gọi

là hai nghiệm của phương trình

. Khi đó

bằng:
A.

.

B. .

C. .
Lời giải

D.

.

D.

.

Chọn C

Vậy

Câu 5.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

bằng

C. .
Lời giải

Chọn B

Ta có

.

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình
Câu 6.

Nghiệm của phương trình

.

là

B.

A.

bằng

C.

D.

Lời giải
Chọn C
.

Câu 7.

(THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

Ta có
Câu 8.

D.

.

.

(THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình
,
A.

Trang 34

.

. Tính
.

có hai nghiệm

.
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Ta có

.

Áp dụng Vi-ét suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu 9.

,

thì

.

(Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

bằng

C. .
Lời giải

D.

.

Phương trình đã cho tương đương:

.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là:

Câu 10.

.

(THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

C.

.

là
D.

.

Lời giải

Ta có
Câu 11.

.

(THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng
đẳng thức
A.

biết

,

là các giá trị thực thỏa mãn

.
.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có

.
Câu 12.

(THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm của phương trình
là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn.

A.

ĐKXĐ :
Vì

nên

.
Trang 35

Khi đó phương trình đã cho tương đương

. (thỏa điều kiện)
.
Suy ra tích hai nghiệm là
Câu 13.

(THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.
.

.
Câu 14.

(THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình
A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Lời giải.
Chọn C

TH1: Nếu

PT

TH1: Nếu

PT

Phương trình có tập nghiệm
Dạng 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
 Loại 1.

.

đặt

.

 Loại 2.
(chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
 Loại 3.

Trang 36

với

. Khẳng định nào sau đây là đúng:

Chia hai vế cho

đặt

rồi đặt

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

 Loại 4.
Câu 15.

đặt

(Mã 123 2017) Cho phương trình
đây
A.

.

Khi đặt

B.

ta được phương trình nào sau

C.
Lời giải

D.

Chọn D
Phương trình
Câu 16.

(THPT

Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Tập nghiệm của phương trình
là

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

.
Đặt

, ta được phương trình:

Khi đó

.

Tập nghiệm của phương trình là
Câu 17.

.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Phương trình
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

Phương trình
Đặt

có bao nhiêu nghiệm âm?
D. .

.
với

, phương trình

trở thành

.

Với
.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Câu 18.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tổng các nghiệm của phương trình
bằng
A.

.

B. .

C. .
Lời giải

D.

.
Trang 37

.
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là
.
Câu 19.

(Cụm 8 Trường Chuyên 2019) Tổng các nghiệm của phương trình
A. 1.
B. 0.
C. .
Lời giải

là
D. 3.

Ta có:

Đặt

, phương trình trở thành:

Với

ta có

Với

ta có

.

.
.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Câu 20. Gọi

.

là nghiệm của phương trình

A. 2.

B.

Ta có:

.

. Khi đó
C. 5.
Lời giải

D. 4.

. Đặt

.

Phương trình trở thành:

.

Với

.

Với

.

Vậy
Câu 21.

bằng

.

(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
bằng.
A.

.

B.

Phương trình:
Đặt

(

.

C. .
Lời giải
có TXĐ:

D. .

.

Khi đó pt( 1) trở thành:

Với
Trang 38

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Với
Phương trình có tập nghiệm là:
Câu 22.

. Vậy tổng tất cả các nghiệm của pt (1) là .

(THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Phương trình
tổng hai nghiệm
A. 5.

là.
B. 3.

có hai nghiệm

C. 2.
Lời giải

,

. Khi đó

D. 1.

.
.
Câu 23. Cho phương trình
A.

.

. Khi đặt
B.

.

, ta được phương trình nào sau đây.
C.

.

D.

.

Lời giải

Ta có:
Đặt

,

Khi đó phương trình trở thành:
Câu 24.

.

(Sở Bình Phước -2019) Tập nghiệm của phương trình

là

A.

D.

B.

C.
Lời giải

Chọn A
Ta có:
Câu 25.

.

(Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm thực của phương trình
A.

B.

C.
Lời giải

là:
D.

pt
Câu 26.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm của phương trình
A.

B.

C.
Lời giải

là
D.

Chọn C

Trang 39

Câu 27.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số

Tổng các nghiệm của phương trình

là
A.

B.

C.
lời giải:

D.

Chọn B
Ta có
Nên
Đặt
Ta được phương trình
Câu 28.

(Chuyên KHTN 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A. .
B. .
C. .
Lời giải

bằng
D.

.

.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:
.
Câu 29.

(THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Phương trình
A.

B.

C.
Lời giải

có bao nhiêu nghiệm âm?
D.

Ta có:
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Câu 30.

.

(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Phương trình
các nghiệm là?
A.

B.

C.
Lời giải

có tích
D. .

Đặt
Phương trình đã cho trở thành
Trang 40

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Với
Với
Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là
Câu 31.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi
A.

là

nghiệm của phương trình

B.

C.

.Tính

D.

Lờigiải
Chọn D
Đặt

. Phương trình tương đương với

Vì
Câu 32.

(HSG Bắc Ninh 2019) Giải phương trình:
Lời giải
Đặt
Phương trình trở thành:

Câu 33. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

?

C.
.
Lời giải

D.

.

Chọn B
Ta có:
Đặt

.
ta được phương trình

Trang 41

từ đó ta có
Vậy tổng các nghiệm phương trình đã cho là -5.
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

bằng
C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
Ta có:

Vậy tổng các nghiệm là
.
Câu 35.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Tổng các nghiệm của phương trình
A. .

B.

.

C. .
Lời giải

D.

là
.

Chọn D

Cách 1: Ta có

Đặt

Câu 36.

.

phương trình trở thành

Với

ta có

Với

ta có

.

(SGD Điện Biên - 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B. .

C. .
Lời giải

bằng
D.

.

Chọn A

.
Đặt

Trang 42

, phương trình đã cho trở thành:

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là
Câu 37.

.

(Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Kí hiệu
. Giá trị của
A.

.

,

là hai nghiệm thực của phương trình

bằng

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn D
Ta có

.

Đặt

ta được:

Vì

nên nhận

Như thế
Vậy
Câu 38.

.

. Suy ra

hoặc

.

.

.

(Đại học Hồng Đức 2019) Cho phương trình
nghiệm của phương trình trong
A.

.

B.

. Tổng các

bằng

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
.
Đặt

,

. Khi đó phương trình đã cho trở thành

.
Với

.

Với

.

Vậy tổng các nghiệm bằng
Câu 39.

.

(Xuân Trường - Nam Định - 2018) Gọi a là một nghiệm của phương trình
. Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về
A.

?

.
Trang 43

B.

cũng là nghiệm của phương trình

C.

.

.

D.

.
Lời giải

Điều kiện

.

Chia cả hai vế của phương trình cho
Đặt

,

ta được

.

Ta có

.

Với

.

Vậy
Câu 40.

.

.

(THPT Lục Ngạn - 2018) Nghiệm của phương trình
khoảng nào sau đây?
A.

.

B.

Đặt

,

.

C.
Lời giải

.

.

ta có :

.

Phương trình có một nghiệm

.

Với

 :

phương trình vô nghiệm.

Với

 :

phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
Câu 41.

D.

.

Phương trình trở thành:
Với

nằm trong

.

(THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình
bằng bao nhiêu?
B. 0.

A. 3.

C. 1.

D. 2.

Lời giải
Với
Đặt

thì

. (1)
thì
.

Trang 44

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 42.

(Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Cho phương trình

Khi đặt

, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
A.

.

B.

.C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có
.
Đặt

. Khi đó ta có

Phương trình trở thành
Câu 43.

.

(THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Gọi
. Khi đó
A.

.

B.

là tập nghiệm của của phương trình:

là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Nhận xét:
Ta có
do đó
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

Vậy
.
Dạng 2.3 Phương pháp logarit hóa
Dạng 1: Phương trình:
Dạng 2: Phương trình:

hoặc
Câu 44.

(THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Số giao điểm của các đồ thị hàm số

và

là
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn C
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số

và

bằng số nghiệm của phương trình

Trang 45

+)
+) Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số
Câu 45.

và

bằng

(Sở GD Nam Định - 2019) Tính tích các nghiệm thực của phương trình
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B

Do

nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt

Theo Vi-ét ta có

.

Câu 46. Cho hai số thực

. Gọi

là hai nghiệm của phương trình

hợp biểu thức
A.

.

. Trong trường

đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Ta có:

. Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Theo Vi-et:

;

.

Khi đó:

Câu 47.

.

Đặt

( Vì

),

Suy ra biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất tại

(TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho
của biểu thức

Trang 46

,

,

.

là các số thực thỏa mãn

Giá trị

là:

A.
Đặt

hay

B.

C.
Lời giải

D.

với
https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Mặt khác:

Câu 48.

.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi
và

,

các số thực dương thỏa mãn điều kiện

, với

là hai số nguyên dương. Tính

.
A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn A

Đặt

, ta có

.
Suy ra

.

Mà
Vậy
Câu 49.

(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương
. Đặt
A.

.

B.

thỏa mãn

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Giả sử:

Trang 47

Khi đó

Vậy
Câu 50.

.

(THPT Cao Bá Quát - 2018) Phương trình

có hai nghiệm

Tính

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có

Do đó
Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá
Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:
 Nếu hàm số
trên D.

đơn điệu một chiều trên D thì phương trình

Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được

nghiệm

không quá một nghiệm
của phương trình, rồi chỉ rõ hàm

đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận
nghiệm duy nhất.
 Hàm số

đơn điệu một chiều trên khoảng

và tồn tại

".
Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng
Câu 51.

(SGD Nam Định 2019) Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
bằng.
A.

Trang 48

.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

https://sites.google.com/view/40chuyendetoan

là
thì

Chọn

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

D.

Ta có

(1)

Dễ thấy

không thỏa mãn phương trình trên nên ta có
. (2)

Hàm số

đồng biến trên

Hàm số

.

, có đạo hàm

khoảng

và

.

Do đó trên mỗi khoảng
Ta thấy

và

và

, phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm.

là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng

Do đó (2) và (1) có hai nghiệm
Tổng hai nghiệm này bằng
Câu 52. Cho số thực

, nên nghịch bi...