PHÁT TRIỂN CÂU 38 ĐỀ THI MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2023
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm
trên đường thẳng
Điểm

đến đường thẳng

ta cần xác định được hình chiếu

của điểm

.

thường được dựng theo hai cách sau:

Cách 1: Trong mặt phẳng

vẽ

Cách 2: Dựng mặt phẳng

qua

. Khi đó:

và vuông góc với

.

tại

. Khi đó:

.

M


H



2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm

và mặt phẳng

khoảng cách từ điểm

. Gọi

đến mặt phẳng

Cách 1: Tìm hình chiếu điểm

là hình chiếu của

qua

.

.
kẻ

. Vậy
M



.

và vuông góc với

 Bước 2: Xác định giao tuyến
 Bước 3: Trong mặt phẳng

. Khi đó

.

trên mặt phẳng

 Bước 1: Chọn mặt phẳng

xuống

d

H



Cách 2: Dùng talet
Trang 1

.

được gọi là

Giả sử đã biết

,

 Nếu

thì

 Nếu

cắt

và

tại

.
.

thì

.
M

M

A
A

H

H

K





Chú ý: Thường sử dụng công thức sau:

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

:

- Nếu

và

cắt nhau hoặc trùng nhau thì

- Nếu

và

song song với nhau thì

.

M

K

H

N

Trang 2



'

K

I

Câu 38. (Đề thi minh họa BGD 2023) Cho hình chóp đều
hình bên). Tính khoảng cách từ điểm

A.

.

B.

có chiều cao

đến mặt phẳng

.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C
S

I
A

D
H

O
B

- Gọi

,

là trung điểm

Có
Mà

C

. Trong

, kẻ

.

.
nên

.

- Vì O là trung điểm BD nên
Có

(tham khảo

.

,

.

Trang 3

.

CHỦ ĐỀ 1
DẠNG TƯỢNG TỰ CÂU 38 TRONG ĐỀ THI MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2023

Câu 1.

Cho hình chóp

có đáy là tam giác vuông cân tại

phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm
A.

.

đến mặt phẳng

B.

.

,

và

vuông góc với mặt

bằng
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có:

. Suy ra:

Câu 2.

Cho hình chóp

khoảng cách từ
A.

.

có

, tam giác

đến mặt phẳng
B.

.
vuông tại

và có

, Tính

.
.

C.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có:

.

Trang 4

D.

.

Câu 3.
từ

Cho hình chóp

đến mặt phẳng
A.

,

,

đáy là tam giác đều cạnh

. Tính khoảng cách

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Gọi

là trung điểm

và

.

Ta có:
Câu 4.

.
Cho hình chóp

cách từ

có đáy là hình vuông cạnh

đến mặt phẳng

A.

.

,

. Tính khoảng

.
B.

.

C.

.

D. .

Lời giải:
Chọn D
Ta có:
Câu 5.

.
Cho hình chóp

Tính khoảng cách từ
A.

có đáy là hình chữ nhật

đến mặt phẳng

.

B.

.

,

.

.
C.

.

D.

.

Lời giải:
Chọn C
Ta có:
Câu 6.

.
Cho hình chóp

đến mặt phẳng

có

. Đáy là hình vuông cạnh

.
Trang 5

, hãy tính khoảng cách từ

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:
Chọn D
Ta có:

.

Câu 7.

Cho hình chóp

phẳng đáy và

có đáy là tam giác vuông đỉnh

. Khoảng cách từ

A.

đến mặt phẳng

B.

,

,

vuông góc với mặt

bằng

C.

D.

Lời giải
Chọn A
S

2a
H

C

A
a
B

Ta có

.

Kẻ

. Khi đó
là khoảng cách từ

đến mặt phẳng

.

Ta có

.

Câu 8.

Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh

. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
A.

B.

,

vuông góc với mặt phẳng đáy và

bằng
C.
Lời giải

Chọn D

Trang 6

D.

Ta có:

Trong mặt phẳng

: Kẻ
.
. Chọn D

Câu 9.

Cho hình chóp

Khoảng cách từ

có

đến

A.

, đáy

bằng:
B.

C.

Lời giải
Chọn C

Gọi

là hình chiếu của

là hình chữ nhật. Biết

lên

ta chứng minh được

Trang 7

D.

,

.

Câu 10. Cho hình chóp

có đáy

. Biết diện tích tam giác
A.

.

là hình vuông, cạnh bên

là

B.

. Khoảng cách từ điểm

.

C.

vuông góc với đáy và

đến

.

là:
D.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có

hay

vuông tại

.

. Do đó
Gọi

. Ta có:

là hình vuông cạnh

.

.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Câu 11. Cho hình chóp
,
A.

có đáy

là tam giác vuông tại

. Khoảng cách từ điểm
.

đến mặt phẳng

B.

.

.

Lời giải
Chọn C
S

K
C
H
B

Ta có
Trang 8

và

bằng

C.

A

, biết

D.

.

,

.
Trong

, kẻ

, mà

Trong

, kẻ

, mà

Vì

vuông tại

Mặt khác có
Vì

hay

nên

.

.

là đường cao nên

vuông tại

Vậy có

.

.

nên

.

là đường cao

.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Câu 12. Cho tứ diện
Khoảng cách từ
A.

có

đến

đôi một vuông góc với nhau

là
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B

Gọi

là chân đường cao kẻ từ

lên

là chân đường cao kẻ từ

Gọi

là giao của AA' với CC' suy ra H là trực tâm của tam giác

lên
Ta dễ dàng chứng

minh được
Do đó:
Ta có: Tam giác

Tính
vuông tại

có

là đường cao. Suy ra :
Trang 9

(1)

Lại có: Tam giác

vuông tại

có

Từ (1) và (2) suy ra:

là đường cao. Suy ra:

(2)

Thay

vào, ta được:

Vậy
Câu 13. Cho hình chóp

có đáy

; góc giữa đường thẳng
Khoảng cách từ
A.

đến

.

là tam giác đều cạnh

và mặt phẳng

bằng

,

. Gọi

vuông góc với mặt phẳng
là trung điểm cạnh

.

bằng
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có
Vì
Dựng

.
là trung điểm của
vuông góc với

Xét tam giác vuông
Câu 14. Cho hình chóp

.
tại

mà

.

ta có:

.
có đáy là hình vuông cạnh

, mặt bên

là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ
phẳng

bằng

Trang 10

đến mặt

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

* Gọi

và

là trọng tâm tam giác

,

là trung điểm của

và
* Gọi

.

là trung điểm của

* Xét tam giác

ta có

,

là hình chiếu của

lên

ta có

vuông tại I ta có:

.
Câu 15. Cho hình chóp

có đáy là hình thoi cạnh

với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ
A.

.

B.

đến
.

,

,

và

vuông góc

bằng?
C.
Lời giải

Chọn C
Trang 11

.

D.

.

CÁCH 1:
Ta có

.

Kẽ

,kẻ

.

;
CÁCH 2: Ta có

.

(

)

Câu 16. Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh

mặt bên

là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ
phẳng

A.

bằng

.

B.

.

C.
Lời giải.

Chọn B

Trang 12

D.

.

đến mặt

S

A
H

là trung điểm của

Gọi

là giao điểm của

Kẻ

D
O

K

B

Gọi

I

C

Khi đó,
và

suy ra

. Kẻ

tại

(

là trung điểm

).

tại I. Khi đó:

Xét tam giác

có:

.

Khi đó:
Suy ra:
Câu 17. Cho hình chóp

có đáy

và vuông góc với đáy. Gọi
từ

đến mặt phẳng
A.

.

,

là hình chữ nhật với
lần lượt là trung điểm của

,
và

. Cạnh bên

. Tính khoảng cách

.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

Ta có:
Vì:
vuông:
Trang 13

.

D.

.

vuông:
là đường trung bình của tam giác
Khi đó:

nên chọn đáp án A.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Câu 18. Cho khối chóp
Hình chiếu của
khoảng cách

từ

có đáy

lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm

đến mặt phẳng

A.

là hình thang vuông tại

B.

C.

Chọn C

là trung điểm của

Tam giác

,

là hình chiếu của

vuông tại

có

vuông tại

có

lên

và

Ta có
Tam giác

của

và

.

Lời giải.

Gọi

và

Vậy

Trang 14

D.

,
Tính

Câu 19. Cho hình chóp
vuông góc của

lên

Tính khoảng cách từ
A.

có đáy là tam giác vuông tại
là trung điểm

của

đến mặt phẳng

.

B.

là trung điểm

. Mặt phẳng

. Hình chiếu

tạo với

một góc

.

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
S

I

K
B

C

H
M
A

Gọi

là trung điểm cạnh

thì

là đường trung bình của tam giác

nên

.
Mặt khác, do
; lại có
Gọi

nên

. Suy ra góc giữa

nên góc này bằng góc

là hình chiếu của

lên

thì

và

. Từ giả thiết suy ra

và

.

.

Xét tam giác vuông
Gọi khoảng cách từ

là góc giữa

.
đến mặt phẳng

lần lượt là

.

Cách 1:

Ta có

.

Cách 2:
là đường trung bình của tam giác

Câu 20. Cho hình chóp

có

nên

, tam giác

đều, tam giác

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
Trang 15

vuông cân tại

đến mặt phẳng

bằng

và nằm

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh

Do tam giác

vuông cân tại

.

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

.
Kẻ

.

Ta có:
Từ

.
và

.

Ta có

.

Do tam giác

vuông cân tại

Do tam giác

đều

Xét tam giác vuông

và

.

.

, ta có

.

Vậy

.

Câu 21. Cho hình chóp
thẳng

vuông góc với mặt đáy

có đáy là hình thoi tâm
và

cạnh

. Khoảng cách từ
Trang 16

và có góc
đến mặt phẳng

. Đường
bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có: tứ giác
Gọi

là hình thoi cạnh

là trung điểm cạnh

có

suy ra tam giác

. Suy ra

Kẻ

và

là tam giác đều cạnh

.

.

và

.

Vì

.

Kẻ

.

Từ đó ta có:

.

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD 
bằng 45 . Gọi M là trung điểm của SD , hãy tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAC  .
A. d 

2a 1513
.
89

B. d 

a 1315
.
89

C. d 
Lời giải

Chọn D
Trang 17

2a 1315
.
89

D. d 

a 1513
.
89

Gọi H là trung điểm của AB  SH  AB ( SAB cân tại S ).
SAB    ABCD   AB

 SH   ABCD  .
Ta có SAB    ABCD 

 SH  AB cmt 
Vì SH   ABCD  , nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng  ABCD  là HC , suy


45 .
ra SC ,  ABCD  SC , HC  SCH
2

2

AB 
a 17
2
 a
2
HBC vuông tại B , có HC  HB  BC  
.
  BC     2a  
2
 2 
 2
2

2

SHC vuông cân tại H , suy ra SH HC 
Ta có

d M , SAC 
d  D , SAC 

Mặt khác



a 17
.
2

MS 1
1
1
  d M , SAC   d D , SAC   d B , SAC .
DS 2
2
2

d B , SAC 

d H , SAC 



BA
2  d  B , SAC  2d H , SAC  .
HA

Từ đó d M , SAC  d H , SAC .
Trong mặt phẳng SAC  , kẻ HI  AC và kẻ HK  SI .

 AC  HI  gt 
 AC  SHI   AC  HK .
Ta có 
 AC  SH SH   ABCD 
 HK  SI  gt 
 HK  SAC   d  H , SAC  HK .
Ta có 
 HK  AC cmt 

ABC vuông tại B , có AC  AB 2  BC 2  a 2  2a  a 5.
2

.

Trang 18

SHI vuông tại H , có

SH .HI

HK 

SH 2  HI 2

Câu 23. Cho hình chóp
. Điểm

theo
A.



2

 a 17   a 5 

 

 2   5 

có đáy

là trung điểm đoạn

. Mặt phẳng

a 17 a 5
.
2
5

hai mặt phẳng

tạo với mặt phẳng

và

và

cùng vuông góc với mặt phẳng

một góc

. Tính khoảng cách từ

.
.

B.

.

C.

Chọn A

Theo đề ta có
là hình chiếu vuông góc của

trên

.

Suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi

a 1513
.
89

là hình thang vuông tại

Lời giải

Gọi

2



là trung điểm của

Do

là hình bình hành nên

Gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

. Suy ra

Dễ thấy:

Trang 19

.

D.

.

đến

Suy ra:

.

Trong tam giác

ta có:

Câu 24. Cho hình lập phương

có cạnh bằng

(tham khảo hình bên dưới).

A
D

B

A'

C

D'

B'
C'

Khoảng cách từ
A.

đến mặt phẳng

.

B.

bằng
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Gọi
Do

là tâm hình vuông
là hình vuông nên

Do

.
tại

.

là hình lập phương nên

.

tại

.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.

Trang 20

Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng
là trung điểm của

A.

có đáy

là tam giác đều cạnh

(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

+) Trong mặt phẳng

,
.

+)

là trung điểm

, hạ
.
.

+) Trong tam giác vuông

.
Trang 21

đến mặt phẳng

.

D.

và

. Gọi
là

.

.

Vậy

.

Câu 26. Cho lăng trụ đứng
trung điểm của

A.

có đáy

là tam giác đều cạnh

(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ

.

B.

.

đến mặt phẳng

C.

.

Lời giải.
Chọn D
Gọi

lần lượt là hình chiếu của

lên

và

.

Ta có

Mà
Vậy

.

;

nên

.

.

Trang 22

và

. Gọi
bằng

D.

.

là

Câu 27. Cho hình lăng trụ đứng

có tất cả các cạnh bằng

. Gọi

là trung điểm của

(tham khảo hình vẽ).

Khoảng cách từ
A.

đến mặt phẳng

.

B.

bằng
.

C.

.

D.

.

Lời giải.
Chọn D

Trong

, gọi

là giao điểm của

và

. Khi đó hai tam giác

Do đó
Từ

và

đồng dạng.

, tâm

. Hình chiếu

.
kẻ

Kẻ

thì

là trung điểm của

thì

.

.

Câu 28. Cho hình hộp
vuông góc của

,

.

Vậy

khoảng cách

và

có đáy

lên mặt phẳng
từ điểm

đến mặt phẳng

là hình vuông cạnh

trùng với
.
Trang 23

. Biết tam giác

vuông cân tại

. Tính

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.
Chọn D

Ta có:

.

Vì tam giác
Gọi

vuông cân tại

là trung điểm của

Trong mặt phẳng
Ta có:

. Suy ra

(vì

.
.

: kẻ

Vì
Do

nên ta có:

.
và

). Suy ra

. Do đó:
thẳng hàng và

.

nên

.

Ta có:
Vậy

.

.
.

Trang 24

CHỦ ĐỀ 2
DỰ ĐOÁN CÁC DẠNG CÂU THAY THẾ CÂU 38 ĐỀ THI MINH HỌA, CÓ THỂ RA TRONG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2023 CỦA BỘ GIÁO DỤC

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tính khoảng cách giữa đường thẳng
- Nếu

cắt

- Nếu

hoặc

và

:

nằm trong

thì

thì

.
với

M



H



2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
- Nếu

cắt

- Nếu

hoặc

và
thì

.

thì

với
M



H



Câu 29. Cho hình thang vuông

vuông ở

với

. Tính khỏang cách giữa đường thẳng

A.

lấy điểm
.

với
B.

.

và ,

C.
Lời giải

Chọn A.

Trang 25

. Trên đường thẳng vuông góc tại

.

và
D.

.
.

Vì

//

nên

Kẻ

//

, do

Trong tam giác vuông

.
,

nên

suy ra

.

ta có:
.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.

Câu 30. Cho hình chóp
và

có đường cao

. Khoảng cách giữa đường thẳng
A.

.

B.

. Gọi

và

và

lần lượt là trung điểm của

bằng:

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D.

Vì

và

lần lượt là trung điểm của

và

nên

Trang 26

//

//

.

.

Ta có:

(vì

là trung điểm của OA).

Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều

Khoảng cách từ đường thẳng

bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.

S

H
A
I

O

B
Gọi

lần lượt là trung điểm cạnh

Vẽ

tại

D

và

M
C

thì

thì

đều cạnh
Và

Câu 32. Cho hình chóp
và

có đường cao

. Gọi

. Tính khoảng cách giữa đường thẳng
A.

và

B.

C.

Chọn A.
và

lần lượt là trung điểm của

.

Lời giải
Khoảng cách giữa đường thẳng

và

:

Trang 27

D.

đến

Câu 33. Cho hình chóp
Gọi

A.

và

có

mặt đáy

lần lượt là trung điểm của

.

B.

và

.

C.

là hình thang vuông có chiều cao

Tính khoảng cách giữa đường thẳng

.

D.

và

.

Lời giải
Chọn C.
S

D

A
I

J

B

C

.
Lại có

( hình thang vuông) suy ra
theo tính chất hình thang, nên

Câu 34. Cho hình thang vuông
tại
A.

lấy điểm

vuông ở

với

.

Trên đường thẳng vuông góc với

Tính khoảng cách giữa

B.

.

C.

và

.

D.

Lời giải
Chọn A.

S

H
C

D
A

B
Trang 28

.

Trong tam giác

, dựng

;

Vì
Xét tam giác vuông

có :

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Câu 35. Cho hình chóp
. Gọi

có đáy

là trung điểm của

A.

là hình vuông cạnh

. Tính khoảng cách

B.

,

giữa đường thẳng

C.

D.

Lời giải
Chọn C

Gọi

là tâm hình vuông.

Ta có:
( vì
Gọi I là trung điểm AD
Trong
Trong

kẻ
kẻ

tại K
tại H (1)

Ta có:
Từ
Trang 29

vuông góc với đáy và

là trung điểm

)

và mặt phẳng

Trong tam giác

ta có:

Biết

Vậy:
Câu 36. Cho hình chóp
. Gọi

là trung điểm của

đáy và mặt phẳng
mặt phẳng
A.

có đáy

là hình thang vuông tại
, biết hai mặt phảng

tạo với đáy một góc

. Tính theo

.

B.

.

C.

Chọn B

Kẻ

Ta có

Gọi

,

cùng vuông góc với

khoảng cách từ trung điểm cạnh

.

Lời giải

Gọi

và

và

. Ta có

đồng dạng với

là trung điểm của

nên suy ra

.

Trang 30

.

D.

.

đến

Ta có
Từ

kẻ

suy ra

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
cắt

ở

đồng thời vuông góc với cả

- Đoạn

và

và

là đường thẳng

.

được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
M

và



'
N

Cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1:
 Chọn mặt phẳng

chứa đường thẳng

 Khi đó

cắt

và song song với

.
'

M


H



Cách 2:
Trang 31

.

và

.

.

ở

và

 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng.
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Khi đó

.





'



Cách 2: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
 Trường hợp 1:

và

vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng

chứa

Bước 2: Trong mặt phẳng

kẻ

Khi đó

và vuông góc với

tại

.

.

là đoạn vuông góc chung và

.



'

I
J



 Trường hợp 2:

và

chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng
Bước 2: Dựng
dựng đoạn

Khi đó

và song song với

là hình chiếu vuông góc của

, lúc đó
Bước 3: Gọi

chứa

là đường thẳng đi qua

xuống

.
bằng cách lấy điểm

và song song với

, dựng

là đoạn vuông góc chung và

.

Trang 32

.



M

K

d

H

N
'



Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng
Bước 2: Tìm hình chiếu

tại
của

Bước 3: Trong mặt phẳng
tại

, từ

dựng

Khi đó

.

xuống mặt phẳng
, dựng

, từ

là đoạn vuông góc chung và

M

'

H

Câu 37. Cho tứ diện đều

có cạnh bằng

d

J



cm. Gọi

là trung điểm của

. Khoảng cách giữa

là:
.

cắt

.

I

A.

dựng đường thẳng song song với

.



và

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B

Trang 33

D.

.

Gọi

lần lượt là trung điểm của

Ta có
Gọi

và trọng tâm của tam giác

và

.

.

là trung điểm của

.
.

Gọi

là trung điểm của

, ta có

.

Ta có:

.

.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Câu 38. Cho hình chóp
mặt phẳng đáy và
thẳng

A.

và

.

có đáy là tam giác vuông tại
(hình minh họa). Gọi

,

là trung điểm của

,

,

vuông góc với

. Khoảng cách giữa hai đường

bằng

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

Trang 34

.

D.

.

Gọi

là trung điểm của

, ta có:

nên ta được

.

Do đó

.

Tứ diện

vuông tại

nên ta có:
.

Vậy

.

Câu 39. Cho hình chóp
mặt phẳng đáy và
đường thẳng

A.

.

có đáy
. Gọi

và

là tam giác vuông cân tại

là trung điểm của

.

,

vuông góc với

(tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai

bằng

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Cách 1

Trang 35

.

D.

.

Gọi

là trung điểm của

Gọi

là hình chiếu của

, khi đó
lên

.

. Dễ dàng chứng minh được

Suy ra

.

.

Trong tam giác
Suy ra

vuông tại

có:

, trong đó

. Vậy

,

.

.

Cách 2 (Phương pháp tọa độ hóa):

Chọn

, gắn bài toán vào hệ trục tọa độ
,

,

,

,

.

Ta có:
Suy ra

, trong đó

với
, hay

,

,

.

.

Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì
liên hệ: Zalo O937-351-107
Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài
liệu lớp khác.
Trang 36

Câu 40. Cho tứ diện
Gọi

là trung điểm của
A.

có

đôi một vuông góc với nhau,

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
B.

C.
Lời giải

Chọn A

Ta có

vuông cân tại

Dựng hình chữ nhật

Gọi

,

là trung điểm của

, ta có

là hình chiếu vuông góc của

trên

ta có:
mà

vuông tại

, đường cao

Cách 2:

Trang 37

và

và
bằng
D.

.

Chọn hệ trục tọa độ

như hình vẽ, khi đó

,

,

,

là trung điểm của
Ta có

;

;

Câu 41. Cho hình chóp
bằng

, có

, đáy là tam giác đều cạnh

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

và

. Biết thể tích khối chóp

bằng:

C.

D.

Lời giải
Chọn C

Do hình chóp
tại

đều nên
thì

là đường cao của hình chóp (

là đoạn vuông góc chung của

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

bằng
Trang 38

và

là trọng tâm tam giác đều
.

.

). Kẻ

Ta có
,

,
.

Ta có

Câu 42. Cho hình chóp
. Gọi
A.

có tam giác

là trung điểm của
.

vuông tại

. Khoảng cách

B.

.

giữa
C.

Chọn A

Ta có

.
, dựng

và cắt

ở

.

Ta có

Ta có

.

Trang 39

và
.

Lời giải

Trong

,

,

,

,

là
D.

.

Xét

vuông tại

có

.

.

Xét

vuông ở

Thế vào

, ta có

có

Cách 2:
Nhận xét: Các dạng toán về khoảng cách nếu có thể thì nên sử dụng các quan hệ song song và tỉ lệ để
đưa về tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp.

Gọi

là trung điểm của

.

Ta có
Kẻ

.
,

, ta có

.

Ta có

Xét tam giác
Vậy

.

vuông tại

có

A.

.

.

Câu 43. Cho hình chóp
phẳng đáy và

là đường cao, suy ra

có đáy là hình chữ nhật,

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
B.

C.
Lời giải
Trang 40

,
,

,

vuông góc với mặt

bằng
D.

Chọn B

Gọi

là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm

, ta có:

.

Do đó
Ta có:

Suy ra:

đôi một vuông góc nên

.

Câu 44. Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi cạnh

,

. Tam giác

cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
, biết góc giữa đường thẳng
A.

B.

và mặt đáy bằng

.
C.

Lời giải
Chọn B

Trang 41

D.

và

Không mất tính tổng quát, giả sử
Gọi

là trung điểm của

Tam giác

cân tại

.

. Kẻ

;

.

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên

Áp dụng định lý hàm số

.

:

Theo đề bài:
Lại có:

.

Ngoài ra:
Chú ý rằng

;
nên khoảng cách giữa

bằng 2 lần khoảng cách từ
Câu 45. Cho hình chóp
phẳng đáy và

. Gọi

và

.
là khoảng cách giữa

và mặt phẳng

,

(theo định lý Ta-let),
có đáy là hình chữ nhật
là trung điểm của

,

vuông góc với mặt

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

.

Trang 42

và

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Gọi

là trung điểm của

Vì

nên

.
.

Do đó

.

Vì
Trong
Trong
Vì

và

là trung điểm của

, kẻ

nên

,

, kẻ

.
.

.
mà

.
Trang 43

Suy ra

.

Ta có

và

là trung điểm của

Lại có

nên

.

.

Suy ra

.

Mặt khác

.

Do đó

.

Cách khác:

Gọi

thì

.
.

Vì

là tứ diện vuông tại

nên đặt

thì ta có
.

Suy ra

.

Câu 46. Cho hình chóp
mặt đáy.

là trung điểm

có đáy

là hình vuông cạnh

. Tính khoảng cách giữa

Trang 44

và

.

,

và

vuông góc với

A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D

Cách 1
Gọi

là điểm đối xứng với

Ta có các tứ giác
Có

và

qua

,

là trung điểm của

và

là trung điểm của

là các hình bình hành.

nên

.

vuông cân tại
Kẻ

,

có

nên

và

.

Có

.

Có

Ta có
Vậy

.

.

,

;

.

.

Cách 2:

Trang 45

.

Chọn hệ trục tọa độ

Ta có

sao cho:

,

,

.

.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

là:

.
Vậy

.

Câu 47. Cho hình chóp tứ giác đều
một góc
A.

có cạnh đáy bằng

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
.

B.

.

và

, cạnh

tạo với mặt phẳng đáy

bằng
C.

Lời giải
Chọn C

Trang 46

.

D.

.

Gọi

là tâm của mặt đáy,

là trung điểm của

,

là hình chiếu của

Ta có

.

.

Ta có
Tam giác

trên

, mà
vuông tại

và có đường cao

.

nên
.

Vì

.

Trang 47