CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số
xác định trên tập K và
. Ta nói:

là điểm cực tiểu của hàm số
nếu tồn tại một khoảng
chứa
sao cho
và Khi đó
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

là điểm cực đại của hàm số
nếu tồn tại một khoảng
chứa
sao cho
và Khi đó
được gọi là giá trị cực đại của hàm số
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trịcực trị (hay cực trị) củahàmsố.
Nếu
là điểm cực trị của hàm số thì điểm
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
* Nhận xét:
Giá trị cực đại (cực tiểu)
nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
trên tập D;
chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
trên một khoảng
nào đó chứa
hay nói cách khác khi
điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa
sao cho
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
trên khoảng

Hàm số
có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tậpHàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm
. Khi đó, nếu
có đạo hàm tại điểm
thì


Chú ý:
Đạo hàm
có thể bằng
tại điểm
nhưng hàm số
không đạt cực trị tại điểm
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm
. Khi đó, nếu hàm số
có đạo hàm tại điểm
thì
.
Nếu trên khoảng
và
trên khoảng
thì
là một điểm cực đại của hàm số

Nếu
trên khoảng
và
trên khoảng
thì
là một điểm cực tiểu của hàm số

4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

Bước 2: Tìm các điểm

mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu Nếu
đổi dấu khi đi qua
thì hàm số đạt cực trị tại
Định lí 3:
Giả sử
có đạo hàm cấp 2 trong khoảng
với
Khi đó:
Nếu

thì hàm số
đạt cực đại tại

Nếu

thì hàm số
đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

Bước 2: Tìm các nghiệm

của phương trình

Bước 3:Tính
và tính

Nếu
thì hàm số
đạt cực đại tại điểm

Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

Chuyên đề ôn thi thpt quốc gia đầy đủ các các dạng toán 12 chia thành 2 bản học sinh và giáo viên, rất thuận tiện cho dạy học, liên hệ zalo 0972277448
1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số
Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại
thỏa mãn điều kiện
cho trước?
Phương pháp:
Bước 1:
Tập xác định:

Đạo hàm:

Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

có hai nghiệm phân biệt và
đổi dấu qua 2 nghiệm đó

phương trình
có hai nghiệm phân biệt


Bước 3:
Gọi
là hai nghiệm của phương trình

Khi đó:

Bước 4:
Biến đổi điều kiện
về dạng tổng
và tích Từ đó giải ra tìm được