MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
Dạng 1: Giải PT bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm và công thứ
nghiêm thu gọn.
1. Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ). Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số
2. Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:
a) Công thức nghiệm: Với phương trình ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c
+ Δ < 0 ð phương trình vô nghiệm
−b
+ Δ = 0 ð Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 2 a

+ Δ > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x 1=

−b+ √ Δ
2a

x 1=

−b−√ Δ
2a

b) Công thức nghiệm thu gọn:
Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu b chẵn. Đặt b = 2b', ta có

Δ' = b'2 – a.c

+ Δ' < 0 ð phương trình vô nghiệm
−b'
+ Δ' = 0 ð Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a

+ Δ' > 0 ð phương trình có hai nghiệm phân biệt:
* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau
1.
2.
3.

4.
5.
6.
1

x 1=

−b'+ √ Δ'
−b'−√ Δ'
x 1=
a
a

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c (hoặc a, b, c, b') (nếu chưa thành thạo).
Bước 2: Tính

hoặc

Bước 3. Kiểm tra các điều kiện
+ Nếu

<0 (hoặc

<0) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu

=0 (hoặc

= 0) thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu

>0 (hoặc

> 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ Nếu

(hoặc

) thì phương trình có nghiệm.

+ Lưu ý:
- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa
tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp
và làm như các
bước ở trên.
- Trong một số bài toán tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có
nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt ma hệ số a chứa tham số ta phải
tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai (
)
Ví dụ 1: Cho phương trình (m -1)x2 + 2.(m+2)x+m = 0 (1).
a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b, TÌm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
a,
+ Khi m-1 = 0 hay m =1, phương trình (1) trở thành: 6x + 1 = 0.
Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm
+ Khi

hay

. Ta có

2

.

Để phương trình có nghiệm thì

, tức là:

Kết hợp 2 trường hợp ta được khi

thì phương trình 1 có nghiệm.

b, Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy với

và

, tức là:

thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm
a, x2 - x - 2m = 0

b, 5x2 + 3x + m-1 = 0

c, mx2 - x - 5 =0

d, (m2 + 1)x2 - 2(m+3)x + 1 = 0

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
a, 3x2 - 2x + m =0

b, x2 + 2(m-1)x - 2m+5 = 0

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm
a, ( m-1)x2 + 2x + 11 = 0
Bài 4: Cho pt

b, x2 + (m-1)x+m-2=0
tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm
d) có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Dạng 3: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, 2 nghiệm phân biệt
với mọi m.
Phương pháp giải:
3

Bước 1: Tính

hoặc

Bước 2:
+ Chứng minh

thì phương trình luôn có nghiệm với

+ Chứng minh

thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với

.

(Chú ý sử dụng hằng đẳng thức ta tách các biểu thức thành bình phương của một
biểu thức cộng với một số thực dương; Các biểu thức sau luôn không âm:
A2, ...)
Lưu ý: Ta có thể chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với
cách chứng minh a.c < 0 ( a, c trái dấu).

;
bằng

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - (m+1)x +m =0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
Giải
Ta có
Nhận thấy
Suy ra, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2.(m-1)x + m-3 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
+ Ta có
Ta có m2 - 3m+ 4 =
Suy ra
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân
biệt.
4

a, x2 - 2.( m+1)x + 2m+1 = 0

b, x2 - 3x + 1-m2 = 0

c, x2 + ( m+3)x + m+1 = 0
Dạng 4: Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng
vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại

cho trước. Với m

Phương pháp giải:
Bước 1: Thay
ra giá trị của m.

vào phương trình bậc 2, sau đó giải phương trình ẩn m để tìm

Bước 2: Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình, sau đó dùng hệ thức viet
để tính nghiệm còn lại bằng cách x2 = S-x1 (S: là tổng 2 nghiệm của phương
trình).
Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 2.(m-1)x+2m-3 = 0 (1)
Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng -1 và khi đó hãy xác định nghiệm
còn lại của phương trình.
Giải:
+ Thay x = -1 vào phương trình (1), ta có
(-1)2 - 2.(m-1).(1) + 2m-3 = 0
+ Thay m = 1 vào phương trình (1) ta được phương trình:
x2 - 1 = 0
Vậy với m=1 thì phương trình có 1 nghiệm là x = -1 và nghiệm còn lại là x = 1.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm số cho trước (...). Tìm
nghiệm còn lại.
a, x2 - (m+2)x + m+1 =0 (x = 1)
b, x2 + 2x + m2 - 2m =0 (x = -3)
c, mx2 + 2x + 1-m = 0 (x = 2)
Dạng 5. Tính giá trị của biểu thức thức đối xứng giữa các nghiệm
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0
5

Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai thường gặp
a) x12 + x22

b) x13 + x23

1 1
+
c) x 1 x2

..v..v

Cách giải
Bước 1: Tìm điều kiện để pt bậc 2 đã cho có nghiệm

{

−b
a
c
x1 . x2=
a

x1+ x2=

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-et tính tổng và tích 2 nghiệm
Bước 3: Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau :
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2
x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2)
1 1 x1+ x 2
+ =
x 1 x2 x 1 . x 2

Bước 4: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng
Bài tập: Gọi x1, x2 là nghiệm của pt x2 – 5x + 3 = 0. KHông giải pt hãy tính giá trị
của biểu thức
a)
b)
c)
d)
e)
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để pt có nghiệm thỏa mãn điều kiện
cho trước.
* Tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn
điều kiện: mx1 + nx2 = p (1). (m, n, p là các số cho trước).
6

Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 (
) (*)

hoặc

Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình

Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x1, x2

Bước 4: Thay x1, x2 vào (3) --> m cần tìm.
Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm được với điều kiện ở bước 1 --> kết luận.
Lưu ý: Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước 3. Tìm
được x1, x2 rồi thì tiếp tục làm bước 4 và bước 5.
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 8x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình đã
cho có 2 nghiệm thoả mãn x1- x2 = 2 (1).
Giải:
Ta có:

.

Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì

, tức là:

(*).

Theo hệ thức vi-et ta có: x1 + x2 = 8 (2); x1.x2 = m (3).

Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình
Thay x1 = 5, x2 = 3 vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *)
Vậy với m = 15 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1-x2=2.
Lưu ý: Các bài toán tìm m để phương trình bậc 2 (chứa tham số m) có 2 nghiệm
đối nhau (x1 = -x2), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia ( x 1 = kx2), có nghiệm
7

này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị ( x 1 = x2 + k hay x1-x2 =k),...ta có thể quy về bài
toán 4.
* Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn một
biểu thức về x1, x2 (sử dụng hệ thức vi-et)
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x 1, x2 (
hoặc
) (*).
Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình

Bước 3: Biến đổi các biểu thức ở đầu bài về dạng tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm,
sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu được.
Các biểu thức thường gặp:
a,
b,
c,
d,
Bước 4: Đối chiếu kết quả vừa tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1--> kết
luận.
Lưu ý: Các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, sử dụng phương pháp
hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, ... để đưa về dạng tổng,
tích các nghiệm.
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 4x + m-1 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để phương
trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12.
Giải:
8

Ta có
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thì

, tức là:

(*)

Theo hệ thức vi-et ta có:
Ta có:

Nhận thấy m = 3 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12.
Bài tập vận dụng: Cho pt
nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Tìm các giá trị của m để pt có 2

a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dạng 7: Lập phương trình bậc hai khi biết 2 nghiệm x1, x2
Trường hợp 1: 2 nghiệm x, x2 là 2 số cụ thể:
Bước 1: Tính tổng S = x1 + x2, tích P = x1x2.
Bước 2: Lập phương trình: x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0
Trường hợp 2: x1, x2 là nghiệm của phương trình ban đầu. Lập phương trình
có nghiệm là biểu thức chứa x1, x2
Phương pháp giải:
9

Bước 1: Lập tổng (S) 2 biểu thức chứa x 1, x2; tích (P) 2 biểu thức chứa x1, x2
( biến đổi như bài toán 5)
Bước 2: Lập hệ thức vi-et cho phương trình ban đầu.
Bước 3: Lập phương trình x2 - Sx + P = 0. Đây là phương trình cần tìm
Ví dụ:
a, Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó là: x1 = 7, x2 = 10
b, Cho x1, x2 phương trình x2 - 2(m-1)x-1=0 (1). Hãy lập phương trình có 2
nghiệm

và

Giải:
a, Ta có: S = x1 + x2 = 7+10 =17
P = x1x2 = 7.10 =70
--> x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 17x +70 =0
b, Nhận thấy a = 1, c = -1 --> a.c = -1 < 0 --> phương trình (1) luôn có 2 nghiệm
phân biệt x1, x2.

Theo hệ thức vi-et ta có:
Ta có:

Phương trình cần lập là: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + 1 = 0
Bài tập áp dụng
Bài 1: Lập các phương trình có 2 nghiệm
a, x1 = 7, x2 = 10;

b, x1 = -3, x2 = 8

c,

d,

10

Bài 2: Cho phương trình -3x2 + 8x - 2 = 0. Lập phương trình có 2 nghiệm mà mỗi
nghiệm gấp đôi mỗi nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3: Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 12x + 11 = 0. Lập phương trình
có 2 nghiệm
Bài 4: Cho phương trình x2 + 20042003x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Lập phương
trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm là: y1 = x12 + 1, y2 = x22 + 1.
Bài 5: Cho phương trình x2 - 6x + 4 =0. Lập phương trình có 2 nghiệm bằng bình
phương mỗi nghiệm của phương trình đã cho
(Các bài toán trên yêu cầu chung là không giải phương trình)
Dạng 8. Xét dấu các nghiệm của phuương trình bậc hai
Phương pháp giải:
* Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a, Phương trình có 2 nhiệm trái dấu
b, Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

c, Phương trình có 2 nghiệm dương

d, Phương trình có 2 nghiệm âm
e) Phương trinh có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
nghiệm dương
(Trong đó: S là tổng 2 nghiệm, P là tích 2 nghiệm của phương trình
ax2 + bx +c =0)
Ví dụ: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx +c =0 có chứa tham số m.
a, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
11

b, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
c, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm dương
d, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm âm.

Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình x2+ 3x - 2m+1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
Giải
Để phương trình trên có 2 nghiệm cùng dấu thì

Vậy với

, tức là:

thì phương trình trên có 2 nghiệm cùng dấu.

Dạng 9: Tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2. Sau đó tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức qua x1, x2.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 (
hoặc
) (*).

Bước 2: Lập hệ thức vi-et
Bước 3: Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích 2 nghiệm để có thể áp dụng hệ
thức vi-et --> ta thu được biểu thức bậc 2 của m.
Các biểu thức thường gặp
a,
12

b,
c,
d,
Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+ Nếu hệ số a của biểu thức m >0 ta có giá trị nhỏ nhất. Để tìm giá trị nhỏ nhất ta
biến đổi biểu thức chứa m về dạng A2 + a
, khi đó giá trị nhỏ nhất là a
( phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu --> so với điều kiện ở bước
1 rồi kết luận).
+ Nếu hệ số a của biểu thức m < 0 ta có giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị lớn nhất ta
biến đổi biểu thức chứa m về dạng a - A 2
, khi đó giá trị lớn nhất là a (phải
chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu --> so với điều kiện ở bước 1 rồi
kết luận).
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức
A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Giải:
Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên phương trình luôn có nghiệm
với mọi giá trị của m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
 x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)
= 4m2 - 10m +14 =
Dấu bằng xẩy ra khi m =

.

Vậy Amin =

khi

m=

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
biểu thức:

Giải:
13

Ta có = m2 -4(m - 1) = (m - 2)2 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá
trị của m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m và x1x2 = m - 1
 x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 = m2 -2m + 2 . Thay vào ta có
=
Đặt t =

ta có tm2 - 2m + 2t - 1 = 0 (1)

Nếu t = 0 thì m =
Nếu t 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với m. Ta có :
' = 1 - t(2t - 1)

0 

 (t - 1)(-2t - 1)
t=Vậy Cmin =
C+

khi m = -2 ;

-2t2+ t + 1

0

0
t =1 khi m = 1

khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 1 Hoặc ta chứng minh C - 1

0 và

0

Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình 2008x 2 - (2008m - 2009)x 2008 = 0

Chứng minh A=
Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 =
nên A = 6(x1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4)

và x1x2 = -1
24

Ví dụ 4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 18x + 1= 0 .
Đặt Sn = x1n + x2n ( n N) . Chứng minh:
a) Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
b) Sn nguyên dương và Sn không chia hết 17 với mọi n là số tự nhiên.
Giải:
a) Vì x1 , x2 là nghiệm phương trình x2 - 18x + 1 = 0 nên theo hệ thức Viét ta có:
14

x1 + x2 = 18 và x1x2 = 1
Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 và Sn+1 = x1n+1 + x2n+1
x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2n(x22 - 18x2 + 1) = 0
hay x1n+2 + x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) - (x1n + x2n) = 0  Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
b) Ta c ó: S1 = 18 , S2 = x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 182 - 2 = 322
mà Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn nên Sn nguyên dương với mọi n là số tự nhiên.
Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1
= 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn
mà S1 = 18, S2 = 322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4 , S5,…. đều
không chia hết cho 17  Sn không chia hết cho 17với mọi n là số tự nhiên.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx + m-1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
Tìm giá trị của m để A = x12 + x22 + 1945 đạt GTNN. TÌm giá trị đó.
Bài 2: Cho phương trình
a, x2 - 2mx + m2 + m - 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
b, x2 - 2.(m+1)x + m2 - 6m +5 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
Tìm giá trị của m để tích 2 nghiệm của phương trình đạt GTNN
Bài 3: Cho phương trình x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 =0
a, Tìm a để tích 2 nghiệm của phương trình đạt GTLN
b, Tìm a để A = x12 + x22 + 2010 đạt GTNN
Bài 4: Cho phương trình x2 - (m+1)x+m=0 (1)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để A = x 12x2 + x1x22
+ 2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 5: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m-1 = 0 (1) có 2 nghiệm x1, x2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x12x2 + x1x22
Dạng 10: Cho x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2. Tìm hệ thức liên hệ
x1, x2 độc lập với m (không phụ thuôc vào m).
Phương pháp giải:

15

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 (
hoặc
) (*).

Bước 2: Lập hệ thức vi-et
Bước 3: Rút m từ (1) thế vào (2) (hoặc ngược lại) ta sẽ được hệ thức liên hệ.
(Lưu ý: Trong một số bài ta có thể cộng hoặc trừ 1 cho 2 --> ta thu được hệ thức
cần tìm. Tuỳ bài toán vận dụng một cách linh hoạt để tìm được kết quả nhanh
nhất).
Ví dụ: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m - 1 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m
Giải:
+ Ta có:
--> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
+ Theo vi-et ta có: x1 + x2 = -2m (1); x1x2 = 2m-1 (2)
Từ (1) -->

. Thế vào (2), ta được: x1x2 = 2.

-1

Vậy hệ thức cần tìm là:
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình: x2 - ( 2m - 3)x + m2 - 3m = 0 (1)
a, Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 2: Cho phương trình: x2 + ( 2m - 1)x + m- 1 = 0 (1)
a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 3:
16

a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.
b)
Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x 2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi
phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc
vào tham số m.
c)
Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương
trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị
trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: (m – 1) 2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi
phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc
vào tham số m.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
a)
b)

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.

x1 x 2
5


2.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x 2 x1

c)
Bài 6: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.

a) Giải và biện luận phương trình theo m.
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.
Bài 7: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng
nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
Dạng 11: Tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn:
x1 <

< x2 (

là số cho trước).

Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x 1, x2 (
hoặc
) (*).

Bước 2: Lập hệ thức vi-et
Bước 3: Từ giải thiết x1 <

< x2
(3)
17

Bước 4: Thay (1), (2) vào (3) ta được bất phương trình ẩn m
Bước 5: Giải bất phương trình ẩn m vừa tìm được --> đối chiếu kết quả với điều
kiện ở bước 1 ---> Kết luận.
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x+2m-5 = 0 (1)
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2.
Giải:
a, HS tự chứng minh.

b, Theo hệ thức vi-et ta có:
Từ giải thiết x1 < < x2
(3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
2m - 5 - (2m-2) + 1 < 0 --> 0m - 2 < 0 (đúng với mọi m)
Vậy với mọi m thì phương trình trên có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2.
Bài 1:
a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phương
trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6.
b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1.
Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương
trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các
nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.

18

a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một
nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a, Tìm m dể phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 ( x1, x2 là nghiệm của phương trình)
c, Tìm giá trị của m để tích 2 nghiệm đạt GTNN. Tìm giá trị đó.
Bài 2: Cho phương trình x2 - 2mx + 2m -5 =0
a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm m để phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
c, Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2, tìm giá trị của m để:
x12(1-x22) + x22 (1-x12) = -8.
Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m+1)x+2m-15 = 0
a, Giải phương trình với m =0
b, Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2. Tìm giá trị của m thoả mãn 5x1+x2=4
Bài 4: Cho phương trình

(1)

a, Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 +x22+20=x12x22.
Bài 5: Cho phương trình x2 - 6x + 1 = 0. Không giải phương trình, hãy tính
a, x12 + x22

b,

c,

Bài 6: Cho phương trình x2 - (m+4)x+3m+3 = 0
a, Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại
b, Xác định m để phương trình có 2nghiệm thoả mãn x13 + x23
19

c, Lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 7: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m-2 = 0
a, Giải phương trình với m=1.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8: Cho phương trình x2 - (2m+1)+m2 + m - 1 =0
a, Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b, Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc m.
Bài 9: Cho phương trình x2 + 2(m+3)x + m2 + 3 =0
a, Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b, Tìm giá trị của m để phương trình có 1 nghiệm lớn hơn nghiệm kia là 2.
c, Lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
Bài 10: Lập phương trình biết nghiệm của chúng lần lượt là:
a, x1 = 7; x2 = 12;

b, x1 = -2, x2 = 5

c, x1 = -3, x3 = -4

Bài 11: Cho phương trình x2 - 5x + 4=0 có 2 nghiệm x1, x2. Không giải pt hãy lập
phương trình bậc hai có 2 nghiệm là:

20