,
,
˜
˜
NGUYÊN HUU ÐIÊN

, ,
´
PHUONG PHAP
´
QUY NAP
. TOAN HOC
.
,
(Tai
´ ban lâ`n thu´, hai)

,
´ BAN GIAO
` XUÂT
´ DUC
NHA
.

,
,
`, ban in, cac
c
´ nguyên gô´c tu
´ ban

Ebook
1.0 cua cuô´n sach
. tham
,
,
,
´ ban. Moi
khao, cho y´ kiê´n sai s´ot va` lo` i khuyên tai
liên
hê.
.
,
,
,
˜ Hu
˜ u Ðiên
´ gia: Nguyên
Tac
Ðiên
. thoai:
. 0989061951
Email: huudien@vnu.edu.vn
Web: http://nhdien.wordpress.com

,
Chiu
´ nhiêm
. trach
. xuâ´t ban:
´ dô
´
Giam
¯ ´c Ngô Trâ`n ai
,
,
,
Tông biên tâp
. Vu˜ Duong Thuy
.
Biên tâp
. nôi
. dung:
Ngô Long Hâu
.
,
Biên tâp
t
ai
´
b
an:
.
,,
`
Truong Công Thanh
Tr`ınh bay
` b`ıa:
Ta. Trong
Tr´ı
.
,
Chê´ ban:
,
˜ Hu
˜,u Ðiên
Nguên

51
05/796-00
GD − 00

Ma˜ sô´: 8H663M0

,
`
` I NOI
´ ÐÂU
LO
,,
,
´ râ´t manh
´ hoc
`
Môt
trong toan
nghiên cu´ u
. phuong phap
.
. dung
,
,
´ gia thuyê´t la` nguyên ly´ quy nap
´ hoc.
va` chu´ ng minh cac
. ,toan
. C´o
,,
,
,
´
´ v´ı du. trong cac
´ môn hoc
`
vô sô cac
phô thông dung
. o ,chuong tr`ınh
,
,
, ,
,
˜
´
` dê
´ vê`
nguyên ly´ nay
¯ diên giai va` mô ta. Nhung dê
¯ hiêu thâu d¯ao
,
,
´ dung
´ tao
´ du
` to´,i.
ky˜ thuât
trong hoc
¯ o. c ban
. ap
.
. tâp,
. sang
. râ´t ´ıt sach
,
,
` cung
˜
´ n´oi riêng vê` vâ´n dê
` liêu
d¯a˜ c´o môt
sô´ sach
Tai
¯`
. nuo´ c ngoai
, .
,
,
,
` theo tôi cung
˜
´
nay,
chua dâ
¯ `y d¯u va` râ´t nhiê`u nguo` i, kh´o tiê´p xuc
, , ´, `
` Tôi manh
´ nguyên
du
dan
¯ o. c voi tai liêu
. nay.
.
. thu thâp
. va` khao sat
`˘
´
`
´
ly´ quy nap
to
an
h
oc
theo
m
oi
kh´
ı
a
c
anh
v
a
minh
h
oa
cac
.
.
. ,
.
. bang
,
,
` tâp
´ cung câ´p
bai
., trong chuong tr`ınh phô thông. Ðây la` lo,ai
. sach
,
,
,
˜ ng phuong phap
´ hoc
` tâp
´
va` thao luân
. nhu
. tâp
. va` giai bai
. cho cac
,`,
,
`
´
´
´
´
ban
yêu
th´
ı
ch
to
an
h
oc,
c
ac
thâ
y
cô
gi
ao,
sinh
viên
c
ac
tru
o
ng
su
.
,
,, .,
´ ban
` tai
` liêu
´
pham
., va` cac
. o lo´ p hoc
. sinh gioi lam
. tiê´p tuc
. phat
,
,,
`
´ kh´ıa canh
triên. Chuong dâ
cua nguyên ly´ quy nap
¯ u xem x´et cac
.
.
, ,
,
´
´
´ hoc.
´ chung
´
toan
tôi d¯a˜ không chung
. Do khuôn khô cua cuô, n sach
,,
´ hoc
˘. k˜e su., tu,o,ng du
minh can
¯ ong cua nguyên ly´ quy nap
. toan
. va`
,
,
,
,
,
,
,
,
´ dang
tiên dê
nguyên ly´ quy nap
¯ ` thu´ tu. ; su. tuong du
¯ ong cua cac
.
,
,.
,
,
´ hoc..v.v.
´ cac
´ kh´ıa canh
toan
Chuong hai khao sat
ky˜ thuât
cua
.
.
.
,
˜ chu,o,ng dung
`, chu,o,ng ba môi
` Tu
`
´ cac
´ bai
`
nguyên ly´ nay.
khao sat
,
,
,,
`
`
´
´
´
tâp
vê
m
ôt
lo
ai
ch
u
dê
ch
ı
ap
d
ung
phu
o
ng
ph
ap
quy
n
ap
to
an
¯
.
.
.
.
.
, ,
,
,
˜ sô´, H`ınh hoc,
hoc
. nhu: Sô´ hoc,
. Day
. Ða thu´ c, Tô ho. p, Liên phân
sô´ ...
,
´˘ c`on nhiê`u bai
` liêu
´
`
Tai
tôi tham khao c´o han
. chung
. va` ,chac
,,
,
,
,´
˘. c´o sai s´ot trong thê hiên
tâp
. hay chua n´oi toi,, hoac
. y´ ,tuong mong
,
,
,
,
,
ban
¯ i va` bô sung. Moi
. chı:
. d¯oc
. cho,y´ kiê´n sua dô
. liên hê. gui vê` d¯ia
,
´ duc,
Nha` xuâ´t ban Giao
. 81 Trâ`n Hung Ðao,
. Ha` Nôi.
.
´
˘
Ha` Nôi,
th
ang
5
n
am
2000
. ,
´ gia
Tac
3

, ,
CHUONG

1

´ QUY NAP
´ HOC
NGUYÊN LY
. TOAN
.
˜ va
` quy nap
1.1. Suy diên
. ...................................

4

´ hoc
1.2. Nguyên l´
y quy nap
. toan
. .......................... 6
,
` gia thiê´t quy nap
1.3. Giai do
¯ an
. quy nap
. va
. .............. 8
,
,,
´ hoc
´ c cua nguyên l´y quy nap
1.4. Hai buo
. toan
. . . . . . . . . . 14
,,
` d`
´ quy nap
1.5. Khi nao
ung phuong phap
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . 19
.
`
1.6. Bai tâp.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

˜ va
` quy nap
1.1. Suy diên
.

,
´ niêm
˘. trong thu.,c tê´ la` suy
Ðê minh hoa
. hai khai
. râ´t hay gap
˜ va` quy nap,
˜
diên
biê´t:
. ta lâ´y câu ca dao Viêt
. Nam ai cung
¨Sô´ cô c´o me. c´o cha
Me. cô d¯an
` ba` cha cô d¯an
` ông
,
´
`
Sô cô c´o vo. c´o chông
,
Sinh con dâ
˘
gai
´ th`ı trai.¨
¯ `u l`ong chang
,
,
´ cua ông thâ`y b´oi, ta d¯a˜ biê´t thâ`y b´oi chı
Ðây la` câu do
¯ an
´ m`o thôi, nhu,ng ông thâ`y b´oi trong câu ca dao nay
` râ´t khôn
do
¯ an
,
`
´
˘
la` dung
môt
d¯inh
luôn luôn d¯ung
¨ai cung
˜
c´o me,
.
. khang
. c´o cha¨.
,
,
,
,
` d´
´ dung
` cung
˜
´
Tu
cho nguo` i dê
d¯ung
luôn,
¯o du` ap
¯ ´n b´oi cu. thê nao
, .
,
,
,
,
` khang
˜
´
˘
˘
ngh˜ıa la` khang
d¯inh
riêng cung
d¯ung.
Buo´ c suy luân
tu
.
.
,
˜,ng khang
´ dung
˘ d¯inh
d¯inh
cho nhu
. chung ap
. riêng biêt
.
. goi
. la` ph´ep
,
,
,
˜ Ph´ep suy diên
˜ o v´ı du. trên la` luôn d¯ung
´
suy diên.
vo´ i hai câu dâ
¯ `u,

˜ va` quy nap
1.1. Suy diên
.

5

,
,,
,
´ hoc
`
nhung c´o thê sai o hai câu sau. Trong toan
râ´t hay dung
ph´ep
,
, .
˜
´
´ d¯a˜ cho
˘
suy diên, chang
han,
g´oc trong cua môt
. nêu hai
. tam giac
,
,
,
0
0
`
´
˘
la` 30 va` 70 , th`ı diê
d¯inh
sau d¯ung:
¨ G´oc thu´ ba cua
¯ u khang
.
,
,,
´ d¯a˜ cho la` 800 ¨. Mênh
` ¨Tông cac
´ g´oc
tam giac
dê
¯ ` chung o dây
¯ la:
.
,
0
´ la` 180 ¨.
trong cua môt
. tam giac
,,
,
Bây gio` ta d¯oc
. lai
. chuyên
. cuo` i dân gian Viêt
. nam:
,
,
,
¨Bô´n ông thâ`y b´oi ru nhau di
¯ xem voi. To´ i chô˜ voi d¯u´ ng, bô´n
` so`, tân
` Vê` to´,i cho.,,
thâ`y b´oi chen vao,
. tay, xem con voi n´o thê´ nao.
bô´n thâ`y hop
. nhau b`ınh phâm.
,, ´
,
Thâ`y so` du
v`oi voi n´oi:
¯ o. c cai
,
,
, ,
, ,,
, `
´˘
t´e ra chı giô´ng con d¯ıa cu. c lo´ n. Tôi so` vao
- Tuong voi la. lam,
,,
n´o uô´n cong nguo` i lai.
.
,
´ chân, vôi
˜
Thâ`y ôm phai cai
. cai:
,
, ´
`,a tay cai
` vu
´ côt
- Voi chı hêt
côt
. nhu cai
. nha` thôi. Tôi ôm vao
.
´
cai.
,
´˘ phai cai
´ tai voi, chê:
Thâ`y nam
,
,
, ´
´ bac
´ chı n´oi m`o. Con voi thât
- Cac
quat
. ra tu. a nhu cai
. to
, ´,
tuong.
,
,
,,
´ phai cai
´ duôi
Thâ`y tum
voi, cuo` i khây:
¯
,
´ n´oi sai ca. Tôi d¯a˜ tum
´ n´o trong tay, th`ı d¯ung
´
- Ba bac
la` môt
.
, ,
´ chôi xê d¯ai.
cai
.
˜ nhau ô`n ao
` môt
Không ai chiu
. ai, bô´n thâ`y to tiê´ng cai
. g´oc
,
cho. ... ¨
,
,
,
˜ ông thâ`y b´oi dê
`
˘
Môi
khang
d¯inh
riêng cua m`ınh dê
¯ `u dung
¯
.
,
,
,
,,
`, khang
´ phat
´ biêu khang
˘
˘
do
d¯inh
chung. Buo´ c suy luân
tu
d¯inh
¯ an,
.
.
.
,
,
,
,
,
´ biêu khang
`
˘
riêng tiê´n to´ i phat
d¯inh
chung
du
o
c
g
oi
l
a
ph´
e
p
quy
¯
.
.
.

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

6

,
,,
,
˘
nap.
d¯inh
chung o dây
d´
¯ la` ¨con vât
¯o la` con voi¨. Nhu vây
.
.
.
. Khang
,
,
´
`
`
´ biêu khang
˘
˘ c´o môt
4 ông thây b´oi dê
d¯inh
chung sai. Chac
¯ u phat
.
.
,
,
´
`
´
` d´
´
´
´ quy
˘ th`ı s˜e d¯ung.
˘
ông nao
mat
Ta thây rang
phuong phap
¯o sang
, ,
,
,,
´
´
´ quy nap
nap
¯ a dê
¯ n kêt qua nhân
. sai. Phuong phap
. c´o thê du
. d¯inh
.
,, `
,
´
´
´
´ hoc.
rât hay du
¯ o. c dung trong nghiên cuu khoa hoc,
. nhât la` toan
.
,
,
,
,
,
´
´
´ quy nap
` dây
Nhu vây
ta phai hiêu phuong phap
thê nao
¯
. chung
, .
,
,
,
´
`
´ dung
` dê
´
˘
va` ap
thê nao
dê
d¯inh
d¯ung.
¯ nhân
¯ o. c mênh
¯ khang
.
.
. du
.

´ hoc
1.2. Nguyên l´
y quy nap
. toan
.

,
,
,,
´˘ gon
´ hoc
˘
Ðê ngan
d¯inh
toan
.
. ta ky´ hiêu
. môt
. khang
. la` P( x ), o
,,
,,
,
dây
mênh
dê
¯ x la` môt
¯ a vê` dang
¯`¨
. biê´n sô´. Nguo` i ta thuo` ng du
.
.
,´
` d´
´ nay
`
Voi moi
¯o), P( x )¨. Trong cuô´n sach
. x (trong môt
. tâp
. S nao
,
,
,
1
˜ ng sô´ tu. nhiên , S la` tâp
´ sô´ tu. nhiên (bao
ta lâ´y x = n la` nhu
. cac
,,
,
,
` bô. cac
´ sô´ nguyên duong). Ta su dung
gô`m toan
môt
.
. t´ınh châ´t râ´t
,
,
,
,
,
,
,
quan trong
cua tâp
.
. sô´ tu. nhiên, thuo` ng nguo` i ta công nhân
. nhu
,,
, ,
môt
¯ ` (du
¯ o. c goi
¯ ` thu´ tu. ).
. tiên dê
. la` tiên dê
,
,
˜ tâp
˜ cua
Tiên dê
´ rông
nhu˜ ,ng sô´ tu. , nhiên c´o
¯ `: Trong môi
. ho. p khac
,
,,
môt
. phâ`n tu nho nhâ´t.
,
˜ sô´ tu., nhiên n u´,ng vo´,i môt
˘
Cho môi
khang
d¯inh
P(n). V´ı du,
.
.
,
,.
,,
,
,´
,
´
´
˘
voi 1 ta cho tuong u´ ng vo´ i khang
d¯inh
P(1): ¨sô 1 la` môt
.
. sô le¨,
,,
,
,
`˘
˜
´
´
´
˘
sô 2 cho tuong tu´ ng vo´ i P(2): ¨ sô 2 la` môt
... Bang
. sô ,chan¨;
,,
,
´ nhu vây
´
˜ khang
˘
d¯inh
riêng
phuong phap
ta tao
.
. chung
. ra day
´ hoc
P(1), P(2), . . . , P(n), . . . . Nguyên ly´ quy nap
. toan
. cho ta môt
.
,
,
,,
,
´
´ kiêm tra khang
´
˘
˘. sai voi moi
phuong phap
d¯inh
P(n) d¯ung
hoac
.
. n.
,
,
,
´ hoc
Nguyên ly´ quy nap
l´ı sau:
¯ o. c thê hiên
.
. toan
. du
. qua d¯inh
1 Trong

0.

,
,
,
´ nay
` khi n´oi dê
´ sô´
sach
¯ ´n sô´ tu. nhiên, ta hiêu d´
¯o la` sô´ tu. nhiên khac

´ hoc
1.2. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

7

,,
Ðinh
ly´ 1.1. Cho n0 la` môt
dê
¯`
. sô´ nguyên duong va` P(n) la` mênh
.
.
,
,
c´o ngh˜ıa vo´ i moi
. sô´ tu. nhiên n ≥ n0 . Nê´u
A) P(n0 ) la` d¯ung
´
va`
˜ sô´ tu. , nhiên
B) Nê´u P(k ) d¯ung,
´
th`ı P(k + 1) cung
˜
d¯ung
´
vo´,i môi
k ≥ n0 ,
,
khi d´
dê
´
vo´,i moi
¯o mênh
¯ ` P(n) d¯ung
.
. sô´ tu. nhiên n ≥ n0 .
,
,
,
,
`˘ phan chu´,ng. Gia su,, ngu,o.,c
Chu´ ng minh. Ta s˜e chu´ ng minh bang
,
,
´
˘
lai,
dê
d¯inh
P(n) trong Ðinh
l´ı 1.1 không d¯ung
vo´ i
¯ ` khang
.
.
. mênh
.
,
,
` d´
môt
¯o. Ngh˜ıa la` tô`n tai
. sô´ tu. nhiên n ≥ n0 nao
. môt
. sô´ tu. ,nhiên
,
´
m ≥ n0 , ma` P(m) không d¯ung.
Ta lâ´y sô´ tu. nhiên m nho nhâ´t
,,
,
´
` thu.,c hiên
ma` P(m) không d¯ung
(diê
du
¯ `u nay
¯ o. c do tiên dê
¯ ` thu´
.
,
,
,
`, d´
˘
tu. ). Theo diê
ta c´o bâ´t d¯ang
thu´ c m > n0 , tu
¯ `u kiên
¯o suy ra
. A),
,
,
,
,
,
´
´
` bât d¯ang
` a lâp
´ chon
˘
m − 1 ≥ n0 . Tu
thu´ c vu
. va` cach
. sô tu. nhiên
,
,,
´
m suy ra P(m − 1) la` d¯ung,
nhung n´o không k´eo theo du
¯ o. c P(m)
,
´
` trai
´ vo´,i gia thiê´t
d¯ung
cho sô´ tiê´p theo m = (m − 1) + 1. Ðiê`u nay
B).
,
,,
, ´
,
`, mênh
´ tu
˘
Xuâ´t phat
dê
d¯inh
vo´ i cac
truo` ng ho. p riêng,
¯ ` khang
.
.
,
,
,
,
, ´
˘. 3 c´o thê nây sinh gia thiê´t mênh
˘
chang
han
sô´ 1, 2, hoac
. nhu cac
.,
,
,
,
,
,
`
´
´
´
´
´
dê
d
ung
v
o
i
m
oi
sô
t
u
nhiên.
Sau
d´
o
dê
ch
u
ng
minh
gi
a
thiê
t
cua
¯ ¯
¯ ¯
.
.
,
,
,
,
` a xây du. ng nguo` i ta ly´ luân
´
ta vu
. theo nguyên ly´ quy nap
. toan
,,
,
,
,
,
´ chu´ ng minh nhu vây
hoc.
´ quy
. Phuong phap
. goi
. la` phuong phap
,,
´ nay
` gô`m hai bu,o´,c,
nap
´ hoc.
d¯inh
. ,l´ı trên phuong phap
. toan
. Theo
,
,
,
˘
thu´ nhâ´t ta kiêm tra khang
d¯inh
môt
.
. t´ınh châ´t vo´ i n = n0 , goi
.
,
,
,
`˘
˜ k ≥ n0 , P ( k )
la` Bu,o´,c co, so,; sau d´
nê´u vo´ i môi
¯o chu´ ng minh rang
,
˜ t´ınh châ´t d¯a˜ biê´t, th`ı suy ra P(k + 1) cung
˜
thoa man
c´o t´ınh châ´t
,
,
,
â´y, goi
. la` Buo´ c quy nap.
. la` P(n) c´o t´ınh châ´t d¯a˜ cho vo´ i
. Kê´t luân
,
´
´ hoc
´
moi
chu´ ng minh theo quy nap
. n ≥ n0 . Cach
. toan
. la` tranh

J

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

8

,
,
,
,
,, ´
˘
dê
cho ta phai kiêm tra vô han
khang
d¯inh
cua mênh
¯ `.
.
. buo´ c cac
.

,
`
1.3. Giai do
an
quy
n
ap
v
a
gi
a
thiê´t quy nap
¯ .
.
.
,,
,, ´
´ quy nap
´ hoc
Phuong phap
dung
trong
¯ o. c ap
. toan
. râ´t hay du
.
,
´
´ hoc,
´ nganh
`
´
nghiên cuu va` t`ım t`oi trong toan
khoa hoc
khac.
. cac
, ,
,.
,
,
`
´ ap
´ dung
´ quy nap
Ðê hiêu cach
phuong phap
¯ y d¯u, ta xem
.
. cho dâ
,
´
x´et môt
¯ nhu môt
. sô v´ı du. sau dây
. ph´ep ¨suy luân
. c´o l´y¨ ma` G.
`
Polya d¯a˜ dê
¯ câp.
.
,
,
V´ı du. 1.1. Cho tru,o´,c môt
˜ t`ım tông cac
´ sô´ tu. ,
. sô´ tu. nhiên n. Hay
nhiên 1, 2, . . . , n.
,
,
,
,
Lo` i giai. Ta ky´ hiêu
. Sn la` tông phai t`ım, ngh˜ıa la`
Sn = 1 + 2 + · · · + n.
(1.1)
,
,
,
´˘ gon
Ta hy vong
la` t`ım ra công thu´ c ngan
¯ t´ınh tông trên, công
.
. dê
,
,
,
,,
,
´ ta t´ınh nhanh, gon
thu´ c d´
hon la` phai thu. c hiên
¯o giup
.
. lâ`n luo. t
,
´ ph´ep công
˜
cac
trong tông. Ta cung
biê´t dây
nê´u
¯ la` câ´p sô´ công,
.
.
,
,
` th`ı ta c´o thê c´o ngay công thu´ c t´ınh
ban
., d¯oc
. d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ nay,
, ,,
´ dung
tông. Nhung o dây
nguyên
¯ ta muô´n minh hoa
. qua´ tr`ınh ap
.
,
,
˜ ng diê
´ hoc
ly´ quy nap
ta bo
¯ `u d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ công
. toan
. nên nhu
.
,
,
qua, coi nhu chua biê´t.
,
,
,
,
`, d¯ang
` sô´ tu., nhiên
˘
Ta t´ınh tông Sn tu
thu´ c (1.1) vo´ i môt
vai
.
,
,
´˘ dâ
`, 1. Nhu
˜,ng kê´t qua t´ınh toan
´ cac
´
˘
liên tiê´p, chang
han
¯ `u tu
. bat
,
,`,
,
´
` bang
truong ho. p riêng ta xêp vao
n
Sn

1
1

2
3

3
6

4
10

5
15

6
21

,
,
,,
˘
Muc
chung (khang
d¯inh chung),
¯ıch cua ta la` t`ım du
¯ o. c quy luât
. d´
.
, .
,
,
,,
,´ ,
,
˜ sô´ tu. nhiên o hang
`
voi bang trên, môi
trên trong bang cho tuong

,
1.3. Giai do
¯ an
. quy nap
. va` gia thiê´t quy nap
.

9

,
,,
,
,,
, ´
`
` toan
´ phu.
u´ ng vo´ i cac
sô´ o hang
duo´ i. T`ım ra quy luât
. bai
. cua môt
,
´
`
´
´
` rât nhiêu yêu tô: su. kh´eo l´eo trong quan sat;
´ su., nhay
thuôc
vao
.
,
,
,
, .
, ´
,
` cac
´ kinh nghiêm
cam du. do
¯ an va` kiêm tra cua ta; tu
. d¯a˜ trai qua
,
,
,
,
,
`
´ cac
´ bai
` toan
´ tuong tu. , tu kha nang
`
˘
trong t´ınh toan
liên hê. bai
,
,
,
,
,
`
´
´
´ tuong tu. voi diê
toan
¯ u kiên
. moi, v.v...
,
,
Trên bang trên ta dê˜ thâ´y quy luât:
. T´ıch cua hai sô´ liên tiê´p
,,
,,
,,
,
,,
`˘
`
`
o hang
trên bang
2 lâ`n sô´ dâ
duo´ i. Thât
¯ `u tiên tuong u´ ng o hang
.
,
vây,
1.2=2.1,
2.3=2.3,
3.4=2.6,
4.5=2.10,
5.6=2.15.
Nhu
v
ây
giai
.
.
,
,
´
˜
`
do
quy
n
ap
c
ua
ch
ung
ta
d
a
th
anh
công:
T`
ı
m
ra
quy
lu
ât
¯ an
¯
. vo´ i
.
.
´ tru,o`,ng ho.,p riêng n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
cac
,
,
´ tu., nhiên la` mo, rông
Tiê´p tuc
quy luât
trên cho bang
. môt
. cach
.
.
,
,
,
, ´
,
,
` Ta du
sô´ vo´ i cac
sô´ tu. nhiên bâ´t ky.
¯ a ra gia thiê´t th´ıch ho. p vo´ i
,,
`,a t`ım du
˘.
quy luât
¯ o. c. Ðat
. vu
n ( n + 1)
.
(1.2)
1+2+···+n =
2
,
,
,,
` nhu, vây
Môt
¯ o. c goi
. gia thiê´t ,ta d¯a˜ lam
. du
. la` gia thiê´t quy nap.
.
,
,
,
,
´
´
`
´
˘
˘
Nhung câu hoi d¯at
. n =
. ra la d¯ang thuc (1.2) c´o d¯ung voi moi
,
,
´
´
´
`
´
1, 2, . . . hay không? R˜o rang nêu (1.2) d¯ung voi moi
sô tu. nhiên
, .
,
`˘
`˘
´ thay n bang
´
˘
th`ı bang
cach
n + 1 chung
ta s˜e c´o d¯ang
thu´ c

(n + 1)(n + 2)
1 + 2 + · · · + n + ( n + 1) =
.
(1.3)
2
,
,
´ lai,
´
Trai
vo´ i moi
. gia thiê´t (1.2) la` d¯ung
. n = 1, 2, . . ., nê´u 1) n´o
,
,
˜ sô´ k suy ra cung
´
´
˜
´
d¯ung
vo´ i n = 1 va` 2) n´o d¯ung
vo´ i môi
d¯ung
,
,´ ,
`
` không c´o cach
´
` khac
´ la` phai ap
´ dung
voi ca k + 1. Ðiêu nay
nao
,
, .
´ hoc.
´
nguyên ly´ quy nap
ta phai kiêm tra
. toan
., Ngh˜ıa la` chung
,
`
˜
nhung diê
l´ı 1.1.
¯ u kiên
.
. A) va` B) cua d¯inh
,
,, ,
,
,
,
,
´
´
Buo´ c co so: vo´ i n = 1, công thu´ c (1.2) d¯ung
(n´o c`on d¯ung
cho ca
n = 2, 3, 4, 5, 6).

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

10

,
,
, ´
´
Bây gio` chung
Bu,o´,c quy nap:
ta chu´ ng minh công thu´ c (1.2) d¯ung
.
,
,
,
,´
`
´
cho ca diê
¯ u kiên
¯ıch d´
¯o ta gia thiêt công thu´ c (1.2)
. B). Voi muc
. d´
,
,
,
,
´
´
` d´
˘
d¯ung
vo´ i môt
thu´ c
¯o va` s˜e chu´ ng minh d¯ang
. sô n = k ≥ 1 nao
,
,
´
(1.2) d¯ung
vo´ i n = k + 1. Ta biê´n dô
¯ i
1 + 2 + · · · + k + ( k + 1) =

(k + 1)(k + 2)
k ( k + 1)
+ ( k + 1) =
.
2
2

,
,
´
´
Kê´t qua la` (1.2) d¯ung
vo´ i n = k + 1. Theo nguyên ly´ quy nap
. toan
,
,
´
hoc
vo´ i moi
. công thu´ c (1.2) d¯ung
. n = 1, 2, . . .
,
,
´ bu,o´,c qua´ tr`ınh
T´om lai,
¯ n gian trên ta thâ´y cac
. qua v´ı du. do
,
´ hoc.
t`ım t`oi va` chu´ ng minh nguyên ly´ quy nap
. toan
.
,
V´ı du. 1.2. T´ınh tông

J

Sn =

1
1
1
+
+···+
a( a + 1) ( a + 1)( a + 2)
( a + (n − 1))( a + n)

vo´,i a 6= 0, −1, −2, . . . ; n = 1, 2, . . .
,
,
,
,
,,
,
Lo` i giai. Viêc
truo´ c tiên ta phai t`ım ra công thu´ c gia thiê´t quy
.
,
nap
. cho tông trên. Ta t´ınh
S1 =

1
,
a ( a + 1)

1
1
1
2
=
+
=
,
( a + 1)( a + 2)
a( a + 1) ( a + 1)( a + 2)
a ( a + 2)
3
1
=
,
S3 = S2 +
( a + 2)( a + 3)
a ( a + 3)
1
4
S4 = S3 +
=
.
( a + 3)( a + 4)
a ( a + 4)
, ,
,
`˘
´
Chung
ta c´o thê du
¯ a ra gia thiê´t rang
n
Sn =
.
(1.4)
a( a + n)
S2 = S1 +

,
1.3. Giai do
11
¯ an
. quy nap
. va` gia thiê´t quy nap
.
,
,,
,
,
Bu,o´,c co, so,: Nhu d¯a˜ kiêm tra o trên.
,
,
,
´
` d´
vo´ i sô´ tu. nhiên n = k nao
Bu,o´,c quy nap:
¯o.
. Gia thiê´t (1.4) d¯ung
Khi d´
¯o
1
k
1
S k +1 = S k +
=
+
( a + k)( a + k + 1)
a( a + k ) ( a + k )( a + k + 1)
2
1 k + ( a + 1) k + a
.
.
=
a+k
a ( a + k + 1)
,
Nhung k2 + ( a + 1)k + a = ( a + k )(k + 1), suy ra
1 ( a + k )(k + 1)
k+1
.
=
.
a + k a ( a + k + 1)
a ( a + k + 1)
, ,
,
,
`, kê´t qua vu
` a t´ınh va` bu,o´,c co, so, suy ra gia thiê´t quy nap
Tu
. (1.4)
,
,
´
´
la` d¯ung
vo´ i moi
. sô tu. nhiên n ≥ 1.
,
V´ı du. 1.3. T´ınh tông
S k +1 =

J

2
2
4
2n
+
+
+
·
·
·
+
n
1 − a2 1 + a2 1 + a4
1 + a2
,
vo´ i n = 1, 2, . . . ; | a| 6= 1.
Sn =

,
,
,
,
,,
Lo` i giai. Ta phân t´ıch: Sô´ luo. ng sô´ hang
cua tông la` n + 1;
.
`, sô´ hang
´ sô´ hang
´ dê
tru
dâ
khac
¯ `u tiên, c`on lai
¯ `u c´o dang
.
. cac
.
.
k
2
(k = 1, 2, . . . , n). Ta t´ınh
k
1 + a2
2
2
4
S1 =
+
=
,
1 − a2 1 + a2
1 − a4
4
4
4
8
S2 = S1 +
=
+
=
,
4
4
4
1 − a8
1+a
1−a
1+a
8
8
16
8
=
+
=
.
S3 = S2 +
8
8
8
1+a
1−a
1+a
1 − a16
,
,
`, cac
´ biêu thu´,c cua S1 , S2 va` S3 c´o
Do 4 = 22 , 8 = 23 va` 16 = 24 tu
, ,
,
thê du
¯ a ra gia thiê´t:

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

12

2n +1
(n = 1, 2, . . .).
(1.5)
n +1 ,
1 − a2
,
,,
,
,
,
,
´
Bu,o´,c co, so,: Vo´ i n = 1, công thu´ c (1.5) d¯ung
nhu d¯a˜ kiêm tra o
trên.
, ,,
,
,
´
` d´
vo´ i sô´ tu. nhiên n = k nao
Bu,o´,c quy nap:
¯o.
. Gia su (1.5) d¯ung
Khi d´
¯o
2
2k
2k +1
2
4
S k +1 =
+
·
·
·
+
+
+
+
k
k +1
1 − a2 1 + a2 1 + a4
1 + a2
1 + a2
2k +1
2k +1
2k +2
+
=
.
=
k +1
k +1
k +2
1 − a2
1 + a2
1 − a2
,
,
,
,
`, nguyên ly´
˜
´
˘
Ðang
thu´ c (1.5) cung
d¯ung
vo´ i n = k + 1. Nhu vây,
. tu
,
,
,
´ hoc
´
˘
quy nap
thu´ c (1.5) d¯ung
vo´ i moi
. toan
. d¯ang
. n ≥ 1.
,
,
,
V´ı du. 1.4. T´ınh tông cua n sô´ le tu. , nhiên dâ
¯ `u tiên.
Sn =

J

,
,
,
,
Lo` i giai. Ta ky´ hiêu
. tông phai t`ım la` Sn :
Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1).
,
, ,,
,
,
´ hoc
Ðê xây du. ng gia thiê´t quy nap
toan
ta t´ınh tông o môt
.
.
. sô´ gia´
,
,,
tri. du
¯ o. c liêt
. kê trong bang sau:
n
Sn

1
1

2
4

3
9

4
16

5
25

6
36

,
,
` su., quan sat
´ cua ta va` kinh nghiêm
Bây gio` phu. thuôc
vao
.
. trên
,
, ,
,
´
`
´
´
kêt qua riêng dê
dê
¯ du. do
¯ an mênh
¯ tông quat chung. Dê˜ thâ´y
.
,,
,,
´ sô´ o hang
`
cac
Sn dê
¯ `u la` sô´ ch´ınh phuong: S1 = 12 , S2 = 22 , S3 =
, ,
,
,
32 , S4 = 42 , S5 = 52 , S6 = 62 . Nhu vây
¯ a ra gia thiê´t
. ta c´o thê du
chung la`
Sn = n2 .
(1.6)

,
1.3. Giai do
¯ an
. quy nap
. va` gia thiê´t quy nap
.

13

,
,
,
´
Ta s˜e chu´ ng minh (1.6) d¯ung
vo´ i moi
. sô´ tu. nhiên n.
,
,
,
,
,
,
Sn = 1; biêu thu´ c
Bu,o´,c co, so,: Vo´ i n = 1, tông chı c´o môt
. sô´ hang
.
,
,
´
n2 = 1 vo´ i n = 1, nhu vây
. (1.6) d¯ung.
,
,
,
,
´
vo´ i n = k, (Sk = k2 ). ta s˜e
Bu,o´,c quy nap:
. Gia su (1.6) d¯ung
,
,
´
chu´ ng minh (1.6) d¯ung
vo´ i n = k + 1: Sk+1 = (k + 1)2 . Thât
. vây,
.
2
2
Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k + (2k + 1) = (k + 1) .
,
˜,a theo cach
´ lam
` cua G. Polya.
Ta x´et thêm môt
. v´ı du. nu
,
,
V´ı du. 1.5. T´ınh tông b`ınh phu,o,ng cua n sô´ tu. , nhiên dâ
¯ `u tiên.
,
,
,
,
`
˘.
Lo` i giai. Ta tiê´n hanh
t`ım công thu´ c cho gia thiê´t quy nap.
. Ðat

J

Tn = 12 + 22 + · · · + n2 .
,
,
˜ t`ım môt
Ta hay
. sô´ gia´ tri. cua tông khi cho n = 1, 2, . . . , 6.
n
Tn

1
1

2
5

3
14

4
30

5
55

6
91

,
,
` bang trên ta kh´o c´o thê t`ım ra quy luât
Nh`ın vao
chung cho Tn .
,
, .
,
,
,´
,
Voi thông tin ´ıt oi nhu vây
. không cho kê´t qu,a g`ı, nhung vo´ i kinh
,
, ´
˜,ng
´
nghiêm
v´ı du. d¯a˜ giai va` so sanh
nhu
. ta c´o thê liên hê. vo´ i cac
˜ sô´ trong v´ı du. 1.1 va` ch`ıa khoa´ t`ım ra quy luât
day
. chung trong
,
bang sau:
n
Tn
Sn
Tn
Sn

1
1
1
1
1

2
5
3
5
3

3
14
6
14
6

4
30
10
30
10

5
55
15
55
15

6
91
21
91
21

,
,
1
3 5 14
7
`
D`ong cuô´i cung
trong bang ta c´o thê viê´t lai:
. 1 = 3, 3, 6 = 3,
, ,
,
30
9 55
11 91
13
,
= ,
=
,
=
. Bây gio` ta c´o thê du
¯ a ra gia thiê´t
10
3 15
3 21
3

14

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

,
Tn
2n + 1
`, kê´t qua v´ı du. 1.1 ta c´o
=
. Tu
Sn
3
2n + 1 n(n + 1)
˘. la`
Tn =
.
hoac
3
2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 =
.
(1.7)
6
,
,
`˘
´ hoc
Ta chu´ ng minh bang
quy nap
. toan
. cho công thu´ c (1.7)
,
,
´
d¯ung
vo´ i moi
. sô´ tu. nhiên n.
,
, `
,
,
,
´
´
˘
˘
cach
xây du. ng trên, d¯ang
thu´ c (1.7) d¯ung
vo´ i
Bu,o´,c co, so,: Bang
n = 1.
, ,,
,
,
´
` d´
vo´ i sô´ tu. nhiên n = k nao
Bu,o´,c quy nap:
¯o. Ta
. Gia su (1.7) d¯ung
,
,
`˘
˜
´
s˜e chu´ ng minh rang
n´o cung
d¯ung
vo´ i n = k + 1, ngh˜ıa la`
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
12 + 22 + · · · + k 2 + ( k + 1 ) 2 =
.
6
Thât
. vây,
.
k (k + 1)(2k + 1)
Tk+1 = Tk + (k + 1)2 =
+ ( k + 1)2
6
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
k(2k + 1) + 6(k + 1)
=
.
= ( k + 1)
6
6
,
,
` toan
´ d¯a˜ giai xong.
Nhu vây
. bai
`˘
rang

J

,
,,
´ hoc
´ c cua nguyên l´y quy nap
1.4. Hai buo
. toan
.
,
´ hoc
Nhu ta d¯a˜ biê´t nguyên ly´ quy nap
. toan
. gô`m hai phâ`n,
,
,
,
,
´ dung
´
viêc
nguyên ly.
¯ o. c tôn trong
. kiêm, tra ca hai câ`n du
. ,khi ap
.
´
`
Nêu ta bo di
¯ môt
¯ u kiên
¯o, th`ı ta s˜e nhân
. trong hai diê
. kiêm tra d´
.
,
,,
,
´
˜ ng kêt luân
´ v´ı du. sau dê
du
¯ o. c nhu
¯ minh hoa
. sai. Thông qua cac
.
,
,
`
` hon.
va` hiêu diê
¯ u nay
,
V´ı du. 1.6. Chu´,ng minh rang
˘`
moi
˘`
sô´ tu. ,
¯ `u bang
. sô´ tu. nhiên dê
nhiên liê`n sau.

,, ,
´ hoc
1.4. Hai buo´ c cua nguyên ly´ quy nap
15
. toan
.
,
,
,
,,
´ quy nap
´ hoc.
Lo` i giai. Ta chu´ ng minh theo phuong phap
. toan
.
,
,
,
,
`
´
`
´
´
˘
˘
Gia thiêt rang
mênh
dê
d¯inh
d¯ung
vo´ i sô tu. nhiên n = k
¯ khang
.
.
` d´
nao
¯o, ngh˜ıa la`
k, = (k + 1).
(1.8)
,
,
´
´
´
´
˘
Chung ta s˜e chung minh d¯ang thuc sau d¯ung

( k + 1) = ( k + 2).
(1.9)
,
,
, ,
˘
Thât
hai vê´ d¯ang
thu´ c vo´ i
. vây,
. Theo gia thiê´t quy nap
. (1.8) công
.
,,
1, ta nhân
¯ o. c
. du
k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2.
,
,
,
,
´
´
˘
Nhu vây,
d¯inh
d¯ung
vo´ i n = k th`ı n´o d¯ung
vo´ i n = k + 1,
.
. khang
,
` toan
´ d¯ung
´
do d´
dê
vo´ i moi
¯o mênh
¯ ` bai
.
. n.
, ,
,
`˘
` toan
´ nay
` la` tâ´t ca cac
´ sô´ tu., nhiên dê
Hê. qua cua bai
¯ `u bang
,,
,
` thât
´ vây
´
nhau. Ðiê`u nay
chu´ ng minh sai o dâu?
Dê˜
¯
. vô ly,
. cach
,
`
´ dung
dang
thâ´y ngay trong chu´ ng minh ap
nguyên ly´ quy nap
.
.
,
,
,
,
,
,
`
´ hoc
toan
nhu
ng
b
o
qua
kiê
m
tra
tru
o
ng
h
o
p
n
=
1.
.
.
˘. biêt:
Ðiê`u kiên
l´ı 1.1 c´o môt
.
. A) va` B) trong Ðinh
. y´ ngh˜ıa d¯ac
.
,, ,
,
,
`
Ðiêu kiên
¯ thu. c hiên
. A) tao
. ra co so dê
. quy nap.
.
,
,
,
,
´˘ cho viêc
Ðiê`u kiên
tu. d¯ông
vô
¯ a ra nguyên tac
. B) du
. mo rông
.
.
,
,
,
,
, ,, `
´˘ di
` truo` ng ho. p riêng
han
¯ u kiên
¯ tu
. A); nguyên tac
. trên co so diê
,
,
,
,
` k dê
` sang truo` ng ho. p riêng khac;
´ tu
nay
¯ ´n k + 1.
,,
,
,
O v´ı du. .1.6 ta không kiêm tra diê
l´ı 1.1,
¯ `u kiên
.
. A) cua Ðinh
,, ,
,
,
nên không tao
¯ thu. c hiên
. không c´o
. ra co so dê
. quy nap,
. v`ı, vây
,
,
`
ngh˜ıa g`ı khi thu. c hiên
kiê
m
tra
diê
u
ki
ên
B)
c
ua
Ðinh
l´ı 1.1,
¯
.
.
.
, ,,
,
,
thu. c châ´t la` không c´o g`ı dê
ca. Ta x´et thêm v´ı du:
¯ mo rông
.
.
,
,
,
,
V´ı du. 1.7. Chu´ ng minh rang
˘` vo´ i moi
˘
thu´,c
. sô´ tu. nhiên n bâ´t d¯ang
sau d¯ung
´
2n > 2n + 1.
(1.10)

J

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

16

,
,
,
,
,
,
,
´
˘
Lo` i giai. Gia thiê´t bâ´t d¯ang
thu´ c (1.10) d¯ung
vo´ i n = k, vo´ i k la`
,
` d´
môt
¯o, ngh˜ıa la` ta c´o
. sô´ tu. nhiên nao
2k > 2k + 1.
(1.11)
,
,
,
,
´
˘
Ta s˜e chu´ ng minh bâ´t d¯ang
thu´ c (1.10) d¯ung
vo´ i n = k + 1
2k+1 > 2(k + 1) + 1.
(1.12)
,
,
,
,
k
´
Thât
nho hon 2 vo´ i moi
khac
. vây,
. 2 la` môt
. sô´ không
. sô´ tu. ,nhiên
,
,
,
k
´
´
´
´
`
không. Ta công
. vê trai cua (1.11) voi 2 va công
. vê phai cua (1.11)
,,
,
´
voi 2. Ta nhân
¯ o. c
. du
2k + 2k > 2k + 1 + 2.
Ngh˜ıa la`
2
,
` toan
´ d¯a˜ giai xong.
Bai

k +1

> 2(k + 1) + 1.

J

´˘ sai lâ`m nhu, v´ı du. tru,o´,c không
` cung
˜
Tâ´t nhiên v´ı du. nay
mac
,
,
,
,
´ chu´,ng minh trên la` bâ´t
kiêm tra Bu,o´,c co, so,. Thu. c châ´t cua cach
,
,
,
,
´
´
˘
d¯ang
thu´ c (1.10) d¯ung
vo´ i n = k + 1, nê´u n´o d¯ung
vo´ i n = k. Ðiê`u
,
,
, ´
,
` không suy ra bâ´t d¯ang
˘
nay
thu´ c d¯ung
vo´ i ´ıt nhâ´t môt
. gia´ tri. cua
,
,
,
, ,
n, chu´ chua n´oi to´ i vo´ i moi
. sô´ tu. nhiên n.
,
, ,, ,
,
˘. n = 2 bâ´t d¯ang
˘ thu´,c (1.10)
Nhung ta c´o thê thu vo´ i n = 1 hoac
,
,
,
,
,
´
˘
sai. Vo´ i n ≥ 3 bâ´t d¯ang
thu´ c (1.10) d¯ung.
Gia´ tri. sô´ tu. nhiên nho
,
,
,
´
˘
thu´ c (1.10) d¯ung
(diê
A) vo´ i n0 = 3 va`
nhâ´t n = 3 bâ´t d¯ang
¯ `u kiên
.
,
,
,
`, gia thiê´t (1.10) d¯ung
´ chu´,ng minh o, trên tu
´
˘. lai
lap
vo´ i n = k
. cach
,
´
suy ra n´o d¯ung
vo´ i n = k + 1 (diê
V`ı vây
¯ `u kiên
. B).
. theo nguyên ly´
,
,
,
´
´
´
´ hoc
´
˘
quy nap
thuc (1.10) d¯ung
vo´ i
. toan
. ta c´o kêt luân:
. Bât ,d¯ang
,
,
,
,
,
moi
. sô´ tu. nhiên n ≥ 3 (chu´ không phai vo´ i moi
. sô´ tu. nhiên nhu
` ra).
dê
¯ ` bai
,
,,
´ dung
´ quy nap
´ hoc
Trong viêc
phuong phap
toan
ma` chı
. ap
.
.
.
,
, ,
,
,,
,
chu´ ng minh diê
l´ı 1.1 th`ı mo´ i chı du
¯ `u kiên
¯ a ra du
¯ o. c
.
. A) cua Ðinh

,, ,
´ hoc
1.4. Hai buo´ c cua nguyên ly´ quy nap
17
. toan
.
, ,,
,
, ,, ,
, ,,
´˘ nao
` dê
co so dê
co so
¯ mo rông
¯ quy nap
. chu´ không c´o nguyên tac
.
,
,
d´
l´ı lo´ n Fermat). Ta x´et môt
¯o (nhu d¯inh
.
. sô´ v´ı du:
.
,
V´ı du. 1.8. Chu´,ng minh rang
˘`
nhu˜ ,ng gia´ tri. cua ham
` sô´ f (n) =
,
,
2
n − n + 41 vo´ i n = 0, 1, . . . la` nhu˜ ng sô´ nguyên tô´.
,
,
Lo` i giai. Ta t´ınh f (0) = 1, f (1) = 41, f (2) = 43, f (3) = 47,
f (4) = 53, f (5) = 61, f (6) = 71, f (7) = 83, f (8) = 97, f (9) = 113.
,
,
,
,
´ tiê´p tuc
Ta c´o thê t´ınh toan
. gia´ tri. cua f (n) cho to´ i n = 40, tâ´t ca
,
,
` dê
gia´ tri. nay
¯ `u la` sô´ nguyên tô´. Nhung vo´ i n = 41 ta c´o f (41) =
,
,
412 − 41 + 41 = 412 . Kê´t qua f (41) không phai la` sô´ nguyên tô´,
,
` toan
´ la` không d¯ung.
´
nên kê´t luân
. cua bai
,
,
,,
,
,
´
Nhu vây
dê
vo´ i 40 truo` ng ho. p
¯ ` c´o thê d¯ung
. ta thâ´y môt
. mênh
.
,
,,
,
,
´
riêng, nhung không d¯ung
vo´ i moi
. truo` ng ho. p n´oi chung.

J

V´ı du. 1.9. Ða thu´,c x n − 1, vo´,i n la` sô´ tu. , nhiên du,o,ng. Ða thu´,c
,,
nay
` liên quan dê
` toan
´ h`ınh hoc
¯ ´n bai
¯ o` ng tr`on ra n phâ`n
. chia du
, ` du,o,c râ´t nhiê`u l˜ınh vu,c toan
bang
˘`
nhau, nên da
´ hoc
¯ thu´ c nay
¯ .
.
.
,
`
´
nghiên cu´ u va` dê
˘. biêt
´ nha` toan
´ hoc
¯ câp
¯ n. Ðac
. dê
. cac
. quan tâm
,
,
,
,
´
`
´
to´ i vân dê
` ra cac
´ thu` a sô la` cac
´ da
¯ phân t´ıch da
¯ thu´ c nay
¯ thu´ c
vo´,i hê. sô´ nguyên ±1, liêu
´
vo´,i moi
¯ `u d´
¯o c`on d¯ung
. n?
. diê
,
,
,
`˘
´
´ tru,o`,ng ho.,p riêng, cac
´ nha`
Lo` i giai. Bang
cach
khai triên cac
,
,
,,
`
´
´
´
` a sô´ du
´ hoc
´ hê. sô trong cac
´ thu
˘
toan
tât ca cac
¯ o. c
. , nhân
. thây rang
,
˘
khai triên c´o gia´ tri. tuyêt
han,
¯ ´i không qua´ 1. Chang
. dô
.
x − 1 = x − 1,
x2 − 1 = ( x − 1)( x + 1),
x3 − 1 = ( x − 1)( x2 + x + 1),
x4 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + 1),

18

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.
x5 − 1 = ( x − 1)( x4 + x3 + x2 + x + 1),
x6 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + x + 1)( x2 − x + 1).

,
,
, ´
,
´˘
˜,ng cô´ gang
Nhu
chu´ ng minh diê
vo´ i moi
¯ `u nghi ngo` d¯ung
. n cua
,
´ nha` toan
´ hoc
`
´
cac
công. Môt
. không thanh
. tho` i gian sau, nha` toan
,
,
,
n
`
˘ 1941) chı ra rang
˘
hoc
(nam
vo´ i da
¯ thu´ c x − 1,
. Nga V. Ivanov
,
, ,
,
,
,
,
,
´
´ truo` ng ho. p nho hon 105. Nhu,ng
diê
vo´ i cac
¯ `u nghi ngo` chı d¯ung
,
,
`,a sô´ cua x105 − 1 la`
vo´ i n = 105, môt
. thu
x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 +

+ x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17
+ x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 + x5 + x2 + x + 1.
,
,
`,a sô´ nay
` không c´o t´ınh châ´t cua cac
´ da
´ nha` toan
´
Thu
¯ thu´ c ma` cac
´
hoc
. muôn.

J

V´ı du. 1.10. Chu´,ng minh rang
˘`
vo´,i moi
dê
¯ ` sau dây
¯
. sô´ n mênh
.
,
,
,
,
´
´
˜
d¯ung:
´
¨Nêu a va` b la` nhung sô tu. nhiên duong, ma` max( a, b) = n,
th`ı a = b¨.
,
,
,
,
,
˜ n ky´ hiêu
`
Lo` i giai. Bu,o´,c co, so,: Vo´ i môi
dê
¯ ` cua bai
. An la` mênh
.
´ d¯a˜ cho. R˜o rang
`
´
toan
A1 la` d¯ung,
v`ı nê´u max( a, b) = 1, th`ı hai sô´
,
,
`
`
˘
a va` b phai trung
nhau va` bang
1 (do a va` b la` sô´ tu. nhiên).
, ,,
˜,ng sô´ tu., nhiên
´
Bu,o´,c quy nap:
Nê´u a va` b la` nhu
. Gia su Ak la` d¯ung.
sao cho max( a, b) = k + 1. Ta x´et hai sô´ a1 = a − 1 va` b1 = b − 1,
,
`, d´
khi d´
¯o max( a1 , b1 ) = k, tu
¯o suy ra a1 = b1 , v`ı gia thiê´t Ak la`
´
˜
´
d¯ung,
do d´
d¯ung.
Theo nguyên ly´ quy
¯o a = b, ngh˜ıa la` Ak+1 cung
,
,
´
´
´ hoc
´
nap
voi moi
. toan
. An d¯ung
. sô tu. nhiên n.
,
,
,,
` Ta t´ınh du
Hê. qua: Cho a va` b la` hai sô´ tu. nhiên bâ´t ky.
¯ o. c
,
´
max( a, b) = k, ma` k la` môt
. sô´ tu. nhiên. Theo v´ı du. trên An d¯ung

,,
` dung
`
´ quy nap
1.5. Khi nao
phuong phap
.

19

,
,
`, d´
˜
´
vo´ i moi
n, th`ı n´o cung
d¯ung
vo´ i Ak . Tu
¯o suy ra a = b. Ngh˜ıa la`
.
,
,
`
´
´
`
´ sô tu. nhiên dê
´
˘
tât ca cac
nhau. Thât
¯ u bang
. vô ly!
,,
,
´ chu´ ng minh sai o dâu?
`
Trong v´ı du. trên cach
Ta xem lai
¯
. toan
,
,
,
´
´ hoc.
bô. cach
chu´ ng minh va` nguyên ly´ quy nap
. toan
. Buo´ c quy
,
,,
,
´˘ to´ i diê
nap
¯ `u k ≥ 1, khi buo´ c quy
. trong,chu´ ng minh không nhac
`, Ak sang Ak+1 . Thu.,c tê´ trong t´ınh toan
´ chu´,ng
nap
. chuyên tiê,´p tu
,
minh không d¯am bao k ≥ 1.

J

,,
` d`
´ quy nap
1.5. Khi nao
ung phuong phap
.
,,
´ quy nap
´ hoc
´ dung
Phuong phap
toan
trong nghiên
. râ´t c´o tac
,.
, .
,
,
,
,
´
´ kêt qua va` chu´ ng minh kiêm nghiêm
cu´ u, du. do
¯ an
. kê´t qua.
,
,,
´ quy nap
´ hoc
` viêc
Nhung nhiê`u khi ch´ınh phuong phap
. toan
. lam
.
,
,
,
´
´
`
` d`ong, biên dô
˘
chu´ ng minh dai
¯ i phu´ c tap
., gây rât nhiêu kh´o khan
,
,
,
`
`
` toan
´ giai bang
´ quy
˘
trong chu´ ng minh. Nhiêu bai
phuong phap
, ,
,
,
`
´ khac.
´ Ch´ınh G. Polya c´o
˘
nap
môt
. c´o thê giai bang
. phuong phap
,
,
`
`
` toan
´ chu´ ng minh bang
´ hoc
˘
n´oi: ¨Nhiêu bai
quy nap
. toan
. c´o thê
,
`˘ trong ch´ınh cach
`˘
´ khac,
´ cach
´ khac
´ d´
´
chu´ ng minh bang
cach
¯o nam
,
,
´ hoc
chu´ ng minh quy nap
. toan
. khi ta phân t´ıch ky˜ nôi
. dung chu´ ng
minh¨.
,
,,
´ hoc
`
Trong toan
nguo` i ta hay dung
ky´ hiêu
tông.
∑ la` môt
.
.
.
,
,,
˜,ng sô´
Thuo` ng tông c´o dang
Aα + Aα+1 + · · · + A β (α va` β la` nhu
.
β
,
,
,
,
´
`, α dê
nguyên)va` du
¯ o. c viêt ∑ Ak (d¯oc
¯ ´n
. la` tông cua Ak , k chay
. tu
k=α
,
β). Nhu vây
.
β

A α + A α +1 + · · · + A β =

∑ Ak

k=α

,
,
,
k goi
la` chı sô´ cua tông, c`on α va` β la` gia´ tri. dâ
¯ `u va` gia´ tri. cuô´i
.
,
,
,
,
,
,
˜ sô´ hang
´ cua d¯ang
´
˘
cua chı sô´ k. Môi
bên trai
thu´ c la` d¯ung
vo´ i môt
.
.

,,
´ hoc
Chuong 1. Nguyên ly´ quy nap
. toan
.

20

gia´ tri. k (k = α, α + 1,...