ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 8
NĂM HỌC 2022 – 2023
Môn: Toán – ( Thời gian làm bài 120 phút )

Bài 1 (3,0 điểm).
Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện:

.

Tính giá trị của biểu thức A =
Bài 2 (4,0 điểm).
a. Tìm số nguyên a để: a3 – 3a2 + 4a – 5 chia hết cho a2 + 2.
b. Tìm số nguyên tố p, q, r sao cho:
phương.

là một số chính

Bài 3 (6,0 điểm).
a. Biết đa thức
+ 1.

, (a, b là hệ số ) chia hết cho đa thức x – 2 và x

Tính: 5a – 6b.

b. Giải phương trình:
c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2023

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Bài 4 (6,0 điểm).
1. Cho
vuông tại A (AB < AC ) đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu vuông góc của H trên AC, AB. Gọi I là giao điểm của AH và EF, BI cắt
AC tại M, CI cắt AB tại N. Đường thẳng qua A song song BI cắt đường thẳng
BC tại K.
a. Chứng minh: B là trung điểm của HK
b. Chứng minh:

2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý trên AB ( M khác A và B).
Nối MC cắt BD tại P, MD cắt AC tại Q. Tìm giá trị lớn nhất của
nhỏ nhất của

và giá trị

.

Bài 5 (1,0 điểm). Cho 40 số nguyên dương

và

các điều kiện:

và thỏa mãn
.

Chứng minh rằng tồn tại bốn số

sao cho

và
--------------Hết------------PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2022-2023
Bài

Nội dung
Cho

các

số

a,

b

thỏa

mãn

điều

kiện:

Biểu
điểm

Tính giá trị của biểu thức A =
1

1,0
A=

1,0

=

2

=

1,0
a. Tìm a nguyên để a3 – 3a2 + 4a – 5 chia hết cho a2 + 2.
+) Thực hiện phép chia a3 – 3a2 + 4a – 5 cho a2 + 2, kết quả :
a3 – 3a2 + 4a – 5 = (a2 + 2)(a - 3) + (2a + 1)

0, 75

+) Lập luận để phép chia hết thì 2a + 1 phải chia hết cho a2 + 2

0, 5
0,5
0,25

+) Thử lại và kết luận a = 1 ( T/m)
b. Tìm số nguyên tố p, q, r sao cho:
một số chính phương.

là

Giả sử
+ Nếu p = 2
+ Nếu p
Xét các trường hợp sau:

0,25
0,75

+ p = 2, từ

nên bắt buộc q = 2,
là một số chính phương
0,75

+p
Ta có:
0,25

( a, b, c
)
Chia hết cho 8 nhưng không chia hết cho 16, nên không là scp
Vậy không tồn tại số nguyên tố p, q, r thỏa mãn.
3

a. Biết đa thức

, (a, b là hệ số ) chia hết cho đa thức

x – 2 ; x + 1. Tính: 5a – 6b.

b. Giải phương trình:
a.

0.75

= (x – 2)(x + 1 )( 4x + c )

a= - 12; b = - 8

0.75

Vậy : 5a – 6b = - 12

0.5

b) Điều kiện:

0,25
0,2 5
(*)

Đặt:

Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0
(a – 3b)(a + 4b) = 0

+ Nếu a = 3b thì (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2
Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm

0,25

0,5

+ Nếu a = -4b thì (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2
Giải phương trình trên ta được x = 3; x = 4/5 (tmđk)

0,5

+ Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; 4/5}

0,25

c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2023

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Với 2 số x, y > 0 ta có:

0,25
0, 5
Ta có: P =
MinP = 2023

0,25
0,5
0,5

4

1. Cho
vuông tại A ( AB < AC ) đường cao AH. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AC, AB. Gọi I là
giao điểm của AH và EF, BI cắt AC tại M, CI cắt AB tại N.
Đường thẳng qua A song song BI cắt đường thẳng BC tại K.

a. B là trung điểm của HK

b. Chứng minh:
A

M
N

E

I

F

K

H

B

C

a. Chứng minh AEHF là hình chữ nhật , vì có 3 góc vuông, nên
I là trung điểm AH.
BI là đường trung bình
, suy ra B là trung điểm HK

1,0
1,0
0,5

b.
0,5
Vì BM // KA theo Ta lét:
0, 5

TT:

0,5
Suy ra
2. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. M là điểm tùy ý trên AB ( M
khác điểm A và B). Nối MC cắt BD tại P, MD cắt AC tại Q.
Tìm giá trị lớn nhất của
giá trị nhỏ nhất của

M

A

B

Q

.

0, 5

P

Lời giải:
Ta có

và

và

D

C

0, 25
(*)

0,25

Vì AB //CD nên theo định lí Talet ta có:

0, 5

Thay vào (*) ta có :
=

0,25

Suy ra

.Từ đó

=

0,25

Dấu '=' xảy ra MA = MB hay M là trung điểm của AB.Từ đó
có giá trị lớn nhất là

5

và tứ giác CPQD có giá trị nhỏ nhất là

Xét các tổng có dạng:
{1;2; ;19} và n
{1;2; ;21} Ta
thấy có 19.21 = 399 tổng như vậy và mỗi tổng nhận giá trị nguyên
từ 2 đến 400 (có 399 giá trị).
TH1: Trong 399 tổng trên không có 2 tổng nào bằng nhau thì 399
tổng này sẽ nhận đủ các giá trị từ 2 đến 400 . Suy ra tổng nhỏ nhất
bằng 2 và tổng lớn nhất là 400 . Khi đó :

0,25

0,5
TH2: Các tổng trên có ít nhất 2 tổng bằng nhau giả sử là :
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

0,25

Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải
khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm
của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.