BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
• CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Khái nhiệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om
quay quanh điểm O , theo một chiều nhất định từ O đến Ov , thì ta nói nó quét một góc lượng
giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov) .
Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia Om từ tia
đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều
dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360 , quay
đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720 ; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc 180 ,
quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc 1,5  360  540,
Khi tia Om quay góc   thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo   . Số đo của góc
lượng giác có tia đầu Ou , tia cuối Ov được kí hiệu là sđ  Ou, Ov  .

sđ (Ou, Ov)  360 sđ (Ou, Ov)  720 sđ (Ou, Ov)  180 sđ (Ou, Ov)  540
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou , tia cuối Ov và số đo của nó.
Chú ý. Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng
giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov) . Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội
nguyên của 360 .
Ví dụ 1. Cho góc hình học uOv có số đo 60 . Xác định số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov)
và (Ov, Ou) .

Giải
Ta có:
- Các góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo là sđ (Ou, Ov)  60  k 360(k  ) .
- Các góc lượng giác tia đầu Ov , tia cuối Ou có số đo là sđ (Ov, Ou)  60  k 360(k ) .
b) Hệ thức Chasles
Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có
Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 1

Giáo Viên: Thầy Đinh Công Khiết  SĐT: 0986648141

sđ (Ou, Ov)  sđ (Ov, Ow)  sđ (Ou, Ow)  k 360(k ).
Nhận xét. Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:
Với ba tia tuỳ ý Ox, Ou, Ov ta có
sđ (Ou, Ov)  sđ (O, Ov)  sđ (Ox, Ou)  k 360(k ).
Ví dụ 2. Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo 270 và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số
đo 135 . Tính số đo của các góc lượng giác  Ou, Ov  .
Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu O , tia cuối Ov là
sđ (Ou, Ov)  sđ (Ox, Ov)  sđ (Ox, Ou )  k 360
 135   270   k 360  405  k 360
 45  (k  1)360  45  m360 (m  k  1, m  ).
Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 45  m360 (m ) .
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐO ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a) Đơn vị đo góc và cung tròn
1
góc bẹt.
180
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1  60΄;1΄  60΄΄ .
Đối với các góc lượng giác, khi mà số vòng quay trong chuyển động tương ứng từ tia đầu đến tia
cuối là khá lớn thì số đo của chúng tính bằng độ sẽ trở nên cồng kềnh. Do đó, trong khoa học và kĩ
thuật, bên cạnh việc đo bằng độ, người ta còn sử dụng đơn vị đo góc bằng rađian.
Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O , bán kính R và một cung AB trên (O) (hình).

Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc 1° bằng

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R .
Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết: 
AOB  1 rad.
Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài là 2 R nên nó có số đo 2 rad. Mặt khác,
đường tròn có số đo bằng 360 nên ta có 360  2 rad.


π
 180 
Do đó ta viết: 1 
rad và 1rad  

180
 π 
Chú ý. Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số

đo. Chẳng hạn góc


2

được hiểu là góc


2

rad.

Ví dụ 3
a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 45;150 .
 5
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: ; .
3 4
Giải
a) Ta có:
π
π
45  45 

180 4
π
5π
150  150 
 .
180 6
Trang 2 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

   



rad
180
b) Ta có:

π π  180 
 
  60
3 3  π 


5π 5π  180 


  225.
4
4  π 


Độ

Rađian

 180 
 rad    

  
Chú ý. Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt
trong phạm vi từ 0 đến 180 .
0
30
45
60
90
120
135
150
180

0




2
3
5
6
4
3
2
3
4
6
b) Độ dài cung tròn
Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo  rad thì có độ dài l  R .
Ví dụ 4. Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo
tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km .

Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45 ở tâm của quỹ đạo tròn
này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi
nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6400 km . Làm tròn kết
quả đến hàng đơn vị.
Giải
Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R  6400  400  6800( km) .


Đổi 45  45 
 rad
180 4
Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là

l  R  6800   5340, 708  5341( km) .
4
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Đường tròn lượng giác
- Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng 1, được định hướng
và lấy điểm A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn.
- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  (độ hoặc rađian) là điểm
M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM )   .

Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 3

Ví dụ 5. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng
13
giác có số đo bằng
và 150 .
4
Giải
13
Điểm M trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng
được
4
xác định trong Hình
Điểm N trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150 được
xác định trong Hình

b) Các giá tri lượng giác của góc lượng giác
Giả sửa M  x; y  là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo 

- Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của  , kí hiệu là cos  .
cos α  x.
- Tung độ y của điểm M được gọi là sin của  , kí hiệu là sin  .
sin α  y.
sin 
- Nếu cos   0 , tỉ số
được gọi là tang của  , kí hiệu là tan  .
cos 
sin α y
tan α 
 ( x  0).
cos α x
cos 
- Nếu sin   0 , tỉ số
được gọi là côtang của  , kí hiệu là cot  .
sin 
cos α x
cot α 
 ( y  0).
sin α y
- Các giá trị cos  ,sin  , tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của  .
Chú ý
a) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
- sin  ,cos  xác định với mọi giá trị của  và ta có:
1  sin α  1;  1  cos α  1; sin(α  k 2π )  sin α; cos(α  k 2π )  cos α (k ).

- tan  xác định khi    k (k  ) .
2
- cot  xác định khi   k (k ) .
- Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M
trên đường tròn lượng giác (hình).
Trang 4 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

Ví dụ 6. Cho góc lượng giác có số đo bằng 



.
3
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Giải
a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 


3

được xác định

trong Hình.

b) Ta có:
3
 π 1
 π
cos     ; sin     
2
 3 2
 3
 π
 π
sin   
cos   
 π
 3    3; cot   π  
 3  1 .
tan    


π
3
 3  cos   
 3  sin   π 




3
3




c) Giá tri lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của
cung tròn ra rađian và ngược lại.
 9 
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay để tính: sin  
 ; tan 6352΄41΄΄ (làm tròn kết quả đến chự
 4 
số thập phân thứ tư).
Giải

Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 5

Ví dụ 8. a) Đổi 3345΄ sang rađian;
3
b) Đổi (rad) sang độ.
4
Giải

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a) Các công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:
sin 2 α  cos 2 α  1

1 
π

 α   kπ , k   
2
cos α 
2

1
1  cot 2 α 
(α  kπ , k  )
sin 2 α
kπ


tan α  cot α  1  α  , k   
2


1  tan 2 α 

Ví dụ 9. Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết: sin  

3
và 90    180 .
5

Giải
Vì 90    180 nên cos   0 . Mặt khác, từ sin 2   cos2   1 suy ra
9
4
cos    1  sin 2    1 
 .
25
5
3
sin 
3
1
1
4
Do đó, tan  
 5   và cot  

 .
cos   4
4
tan   3
3
5
4
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
- Góc đối nhau ( và  )

Trang 6 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

cos(α )  cos α
sin(α )   sin α
tan(α )   tan α
cot(α )   cot α.

- Góc bù nhau (  và    )
sin(π  α)  sin α

cos(π  α )   cos α
tan(π  α )   tan α
cot(π  α )   cot α

- Góc phụ nhau (  và


2

 )

π

sin   α   cos α
2

π

cos   α   sin α
2


π

tan   α   cot α
2

π

cot   α   tan α.
2

- Góc hơn kém  (  và    )
sin(π  α )   sin α

cos(π  α )   cos α
tan(π  α )  tan α
cot(π  α )  cot α.

Chú ý. Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc  với 0    .
2
 11 
Ví dụ 10. Tính: a) cos  
 ;b) cot  675 .
 4 
Giải. Ta có:
11
3
3 

2
 11 
 3


a) cos  
.
 cos 
 2   cos
  cos   
  cos
   cos  
4
4
4 
4
2
 4 
 4


b) cot  675  cot  45  2  360   cot 45  1 .
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Đơn vị đo góc
Câu 1. Hoàn thành bảng sau:
Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 7

15
?
0
900
?
?
Số đo độ
?
?
Số
đo ?
3
7
11


rađian
8
12
8
Câu 2. a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360; 450 ;
11
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3 ; 
.
5
Câu 3. Đổi số đo cung tròn sang số đo độ:
3
5
32
a)
b)
c)
4
6
3
3
d)
e) 2,3
f) 5, 6
7
Câu 4. Đổi số đo cung tròn sang số đo radian:
a) 45
b) 150
c) 72
d) 75
Dạng 2. Độ dài cung tròn
Câu 5. Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a)
;
b) 1,5 ;
c) 35 ;
d) 315 .
12
Câu 6. Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
3
1
a)
b) 510
c)
4
3
Câu 7. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe 55 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì trong một
giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Câu 8. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm , bánh xe trước có đường kính là
92 cm , xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của
bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
Câu 9. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của
bánh xe đạp là 680 mm .
Dạng 3. Mối liên hệ giữa góc hình học và góc lượng giác
Câu 10. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có
15
số đo bằng 
và 420 .
4
Câu 11. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
2
11
a)
;
b) 
;
c) 150 ;
d) 225 .
3
4

Trang 8 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/



6 9
11 31 14


5 , 5 , 5 ,
Câu 12. Cho góc lượng giác  Ou, Ov  có số đo 5 . Hỏi trong các góc 5 , 5 ,

những góc nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Câu 13. Hãy tìm số đo  của góc lượng giác  Ou, Ov  với 0    2 , biết một góc lượng giác có cùng
tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo là:
29
128
2003
a)
b) 
c) 
d) 18,5
4
3
6
Câu 14. Hãy tìm số đo   của góc lượng giác  Ou , Ov   0    360  biết một góc lượng giác có cùng
tia đầu và tia cuối với nó có số đo:
a) 395
b) 1052

c) 972

d)  20  

5
.
6
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Câu 16. Sử dụng máy tính cầm tay để:
3
a) Tính: cos ; tan  3725΄  ;
7
b) Đổi 17923΄30΄΄ sang rađian;
7
c) Đổi (rad) sang độ.
9
Dạng 4. Dấu các giá trị lượng giác của góc
Câu 17. Xác định dấu của các biểu thức sau:
3

4
4
9
 2 
a) C  cot .sin  
b) D  cos
.
.sin .tan
.cot
.
5
5
3
3
5
 3 
Câu 18. Cho 0    90 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A  sin   90  .
b) B  cos   45  .
c) C  cos  270    . d) D  cos  2  90 .

Câu 15. Cho góc lượng giác có số đo bằng

Câu 19. Cho 0   



. Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a) A  cos     .
b) B  tan     .
2 
3 


c) C  sin   
d) D  cos   
.
.
5 
8 


Câu 20. Cho tam giác ABC . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A  sin A  sin B  sin C .
b) B  sin A.sin B.sin C .
A
B
C
A
B
C
c) C  cos .cos .cos .
d) D  tan  tan  tan .
2
2
2
2
2
2
Dạng 5. Rút gọn biểu thức lượng giác
Câu 21. Rút gọn các biểu thức sau:


a) A  cos   x   cos  2  x   cos  3  x 
2

 7

 3

b) B  2 cos x  3cos   x   5sin 
 x   cot 
 x
2
2







3






c) C  2sin   x   sin  5  x   sin 
 x   cos   x 
2
2
2








3
3




d) D= cos  5  x   sin 
 x   tan 
 x   cot  3  x 
2
2




Câu 22. Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức:
a) A  tan18.tan 288  sin 32.sin148  sin 302.sin122 .
Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 9

1  sin 4 a  cos 4 a
.
1  sin 6 a  cos 6 a
Câu 23. Tính giá trị các biểu thức sau:
7
5
7
a) A  sin
 cos 9  tan(  )  cot
6
4
2
1
2 sin 2550 cos( 188)
b) B 

tan 368
2 cos 638  cos 98
2
c) C  sin 25  sin 2 45  sin 2 60  sin 2 65

3
5
d) D  tan 2 .tan . tan
8
8
8
Câu 24. Rút gọn các biểu thức sau:
sin 3280 sin 9580 cos 5080 cos 10220
a) A 
.

cot 5720
tan 2120
b) B 











sin 2340  cos2160

b) B 

0

sin144  cos126

0

 





tan 360 .

c) C  cos20 0  cos40 0  cos60 0  ...  cos1600  cos180 0 .
d) D  cos 2 100  cos 2 200  cos2 300  ...  cos 2 1800 .
e) E  sin 20 0  sin 40 0  sin 60 0  ...  sin 340 0  sin 360 0 .




Câu 25. Rút gọn biểu thức A  sin       cos      cot  2     tan    
2

2

   3


 7

    sin 3 
 
tan     cos 
2

 2

 2

Câu 26. Rút gọn biểu thức B 
   3


 
cos     tan 
2
2




2

Câu 27.
Câu 28.
Câu 29.
Câu 30.
Câu 31.
Câu 32.
Câu 33.

sin x  tan x 
Rút gọn biểu thức A  
 1
 cos x  1 
.
cos x
Rút gọn biểu thức A  tan x 
1  sin x
Đơn giản biểu thức A  sin 4 x  cos 4 x  2 cos 2 x
sin 4 x  3cos 4 x  1
Đơn giản biểu thức B 
sin 6 x  cos 6 x  3cos 4 x  1
tan 2 x  cos 2 x cot 2 x  sin 2 x
Đơn giản biểu thức C 

sin 2 x
cos 2 x
2
1  2sin x
Đơn giản biểu thức D 
2 cos 2 x  1
Đơn giản biểu thức E  2  sin 6 x  cos 6 x   3  sin 4 x  cos 4 x 

Dạng 6. Tính giá trị lượng giác của góc lượng giác
Câu 34. Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết: cos   

2
3
và    
.
3
2

Câu 35. Tính:
a) sin  675  ;
15
4
Câu 36. Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết:

b) tan

Trang 10 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

1

và 0    ;
5
2
2

b) sin   và     ;
3
2
3
c) tan   5 và    
2
3
1
d) cot   
và
   2 .
2
2
Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
4
5 
a) cos a  , 270  a  360 .
b) sin a  ,  a   .
5
13 2
3
c) tan a  3,   a 
.
d) cot15  2  3 .
2
Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

cot a  tan a
3
a) A 
, khi sin a  , 0  a  .
cot a  tan a
5
2
2
2
sin a  2sin a.cos a  2 cos a
b) C 
, khi cot a  3 .
2sin 2 a  3sin a.cos a  4 cos 2 a
8cos3 a  2sin 3 a  cos a
khi tan a  2 .
c) E 
2 cos a  sin 3 a
cot a  3 tan a
2
d) G 
khi cos a   .
2 cot a  tan a
3
sin a  cos a
e) H 
khi tan a  5 .
cos a  sin a
Tính giá trị lượng giác của góc  nếu
2
3
3
a) sin    ;    
.
b) cos   0,8;
   2 .
5
2
2
13

19 
c) tan   ; 0    .
d) cot    ;     .
8
2
7 2
2
tan   3cot 
cos  
A
3 . Tính
tan   cot  .
a) Cho
sin   cos 
b) Cho tan   3 . Tính B 
3
sin   3cos 3   2 sin 
c) Cho cot   5 . Tính C  sin 2   sin  cos   cos 2 
Cho tan   cot   3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A  tan 2   cot 2 
b/ B  tan   cot 

a) cos  

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

c/ C  tan 4   cot 4 
Câu 42.
3
. Tính A  sin 4 x  3cos4 x .
4
1
b) Cho 3sin 4 x  cos 4 x  . Tính C  sin 4 x  3cos4 x .
2
7
c) Cho 4sin 4 x  3cos 4 x  . Tính C  3sin 4 x  4cos4 x .
4

a) Cho 3sin 4 x  cos 4 x 

Câu 43.

1
a) Cho sin x  cos x  . Tính sin x, cos x, tan x, cot x.
5
Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 11

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.
Câu 49.

Câu 50.
Câu 51.
Câu 52.

b) Cho tan x  cot x  4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x.
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên
thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t
được cho bởi công thức:
πt
B (t )  80  7 sin ,
12
trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t ) tính bằng mmHg (milimét thuỷ ngân). Tìm
huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng;
b) 10 giờ 30 phút sáng;
c) 12 giờ trưa;
d) 8 giờ tối.
Dạng 7. Chứng minh đẳng thức
Chứng minh các đẳng thức:
a) cos 4   sin 4   2cos 2   1 ;
cos 2   tan 2   1
b)
 tan 2  .
sin 2 
Chứng minh các đẳng thức:
sin 3 a  cos3 a
sin 2 a  cos 2 a tan a  1
a)
b)
.
 1  sin a cos a .

sin a  cos a
1  2sin a cos a tan a  1
c) sin 4 a  cos 4 a  sin 6 a  cos 6 a  sin 2 a.cos 2 a .
Chứng minh các đẳng thức:
tan a  tan b
sin 530
1
a)
b) tan100 
.
 tan a.tan b .

1  sin 640 sin10
cot a  cot b
c) 2  sin 6 a  cos 6 a   1  3  sin 4 a  cos 4 a  .
Giả sử biểu thức sau đây có nghĩa. Chứng minh rằng:
sin 4 x cot 2 x  cos 4 x tan 2 x  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x .

Cho 0  x  . Chứng minh rằng:
2
2
2  sin x  cos 2 x
 cos 2 x  tan 2 x  3  cos x .
cos x
Chứng minh các đẳng thức sau : tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x
sin x  cos x  1
2 cos x
Chứng minh đẳng thức sau:
.

1  cos x
sin x  cos x  1
3
Cho tan   2 và    
. Chứng minh rằng
2
sin   2 cos 
2 5

2
5
sin  .cos   2sin   2

Câu 53. Cho tam giác ABC . Chứng minh :
a. sin B  sin  A  C  . b. cos  A  B    cos C .
A B
C
 cos . d. cos  B  C    cos  A  2C  .
2
2
3 A  B  C
e. cos  A  B  C    cos 2C . f. cos
 sin 2 A .
2
A  B  3C
A  B  2C
3C
g. sin
.
 cos C . h. tan
 cot
2
2
2

c. sin

Trang 12 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

Câu 1.

Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Số đo theo đơn vị rađian của góc 315 là
7
7
2
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
4
7
7
5
Cung tròn có số đo là
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
4
A. 5 .
B. 15 .
C. 172 .
D. 225 .
Cung tròn có số đo là  . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
A. 30 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 180 .
0
Góc 63 48 ' bằng (với   3,1416 )
A. 1,113 rad .
B. 1,108 rad .
C. 1,107 rad .
D. 1,114 rad .
Góc có số đo
A. 1350.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.
Câu 9.

2
đổi sang độ là:
5
B. 720.

C. 2700.

D. 2400.

Góc có số đo 1080 đổi ra rađian là:
3

3

A.
.
B.
.
C.
.
D. .
5
10
2
4

Góc có số đo
đổi sang độ là:
9
A. 250.
B. 150.
C. 180.
D. 200.

Cho a   k 2 . Tìm k để 10  a  11
2
A. k  7 .
B. k  5 .
C. k  4 .
D. k  6 .
Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:
A. 600 .
B. 300 .
C. 400 .
D. 500 .

Câu 10. Đổi số đo góc 1050 sang rađian.
7
9
A.
.
B.
.
12
12

C.

5
.
8

D.

5
.
12

Câu 11. Số đo góc 220 30' đổi sang rađian là:


7

A. .
B. .
C.
.
D. .
5
8
12
6
0
Câu 12. Một cung tròn có số đo là 45 . Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau
đây.



A.
B. 
C.
D.
2
4
3

Câu 13. Góc có số đo
đổi sang độ là:
24
A. 7 0.
B. 7030.
C. 80.
D. 8030.
Câu 14. Góc có số đo 1200 đổi sang rađian là:
2
3

A.
.
B.
.
C. .
3
2
4
Câu 15. Cung tròn bán kính bằng 8, 43cm có số đo 3, 85 rad có độ dài là
A. 32, 46cm .
B. 32, 47cm .
C. 32, 5cm .

D.


10

.

D. 32, 45cm .
Câu 16. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có
số đo 60 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là
A. 120 hoặc 240 . B. 120  k 360, k   .
Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 13

C. 120 .

D. 240 .

Câu 17. Trên đường tròn bán kính r  15 , độ dài của cung có số đo 500 là:
180
15
180
A. l  15.
.
B. l 
C. l  15.
D. l  750 .
.
.50 .

180

5

25
19
Câu 18. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):    ,   ,  
, Các cung
, 
6
3
3
6
nào có điểm cuối trùng nhau:
A.  và  ;  và  . B.  ,  ,  .
C.  ,  ,  .
D.  và  ;  và  .
Câu 19. Cho L , M , N , P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB , BC , CD , DA . Cung  có mút
3
đầu trùng với A và số đo   
 k . Mút cuối của  ở đâu?
4
A. L hoặc N .
B. M hoặc P .
C. M hoặc N .
D. L hoặc P .

Câu 20. Trên đường tròn bán kính r  5 , độ dài của cung đo
là:
8

r
5
A. l  .
B. l 
.
C. l 
.
D. kết quả khác.
8
8
8
Câu 21. Một đường tròn có bán kính R  10cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng
A. 11cm .
B. 13cm .
C. 7cm .
D. 9cm .
3
Câu 22. Biết một số đo của góc   Ox, Oy  
 2001 . Giá trị tổng quát của góc   Ox, Oy  là:
2
3
A.   Ox, Oy  
B.   Ox, Oy     k 2 .
 k .
2


C.   Ox, Oy    k . D.   Ox, Oy    k 2 .
2
2
Câu 23. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B'?
A. a  900  k 3600 .
B. a  –900  k1800 .


C.    k 2 .
D.     k 2 .
2
2
Câu 24. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là:
3
3
3
3
A.
B. 
C.
D. 
 k 2 .
 k 2 .
 k .
 k .
4
4
4
4
Câu 25. Trên hình vẽ hai điểm M , N biểu diễn các cung có số đo là:

A. x 


3

 2 k .

B. x  


3

 k .

C. x 


3

 k .

D. x 


Câu 26. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ AM 


xứng của M qua trục Ox . Tìm số đo của cung lượng giác AM1 .
Trang 14 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/


3


3

k


2

..

. Gọi M 1 là điểm đối



5
 k 2 , k  
3


 k 2 , k  
C. sđ AM1 
3





 k 2 , k  
3


 k , k  
D. sđ AM 1 
3
7
Câu 27. Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc
?
4


3
3
A.  .
B. .
C.
.
D. 
.
4
4
4
4
 k 2
AM  
Câu 28. Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn 
, k  .
6
3
A. 6 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 8 .
A. sđ AM 1 

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.
Câu 34.
Câu 35.



 a   . Kết quả đúng là
2
A. sin a  0 , cos a  0 . B. sin a  0 , cos a  0 . C. sin a  0 , cos a  0 . D. sin a  0 , cos a  0 .
Trong các giá trị sau, sin  có thể nhận giá trị nào?
5
4
A. 0, 7 .
B. .
C.  2 .
D.
.
2
3
5
Cho 2  a  . Chọn khẳng định đúng.
2
A. tan a  0, cot a  0. B. tan a  0, cot a  0.
C. tan a  0, cot a  0. D. tan a  0, cot a  0 .
Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
đây.
A. cot   0 .
B. sin   0 .
C. cos   0 .
D. tan   0 .
Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
A. cot   0 .
B. tan   0 .
C. sin   0 .
D. cos   0 .
7
Cho
   2 .Xét câu nào sau đây đúng?
4
A. tan   0 .
B. cot   0 .
C. cos   0 .
D. sin   0 .
Xét câu nào sau đây đúng?


A. cos 2 45  sin  cos 60  .
3

B. Hai câu A và
C. Nếu a âm thì ít nhất một trong hai số cos a,sin a phải âm.

Câu 29. Cho
Câu 30.

B. sđ AM1 

D. Nếu a dương thì sin a  1  cos 2 a .

Câu 36. Cho     . Kết quả đúng là:
2
A. sin   0 ; cos   0 . B. sin   0 ; cos   0 .
C. sin   0 ; cos   0 . D. sin   0 ; cos   0 .
Câu 37. Xét các mệnh đề sau:






I. cos      0 . II. sin      0 . III. tan      0 .
2

2

2

Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
C. Chỉ II và III.
Câu 38. Xét các mệnh đề sau đây:






I. cos      0 . II. sin      0 . III. cot      0 .
2
2
2




D. Cả I, II và III.

Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 15

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ II và III.
B. Cả I, II và III.
C. Chỉ I.
Câu 39. Cho hai góc nhọn  và  phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A. cot   tan  .
B. cos   sin  .
C. cos   sin  .

D. Chỉ I và II.
D. sin    cos  .

Câu 40. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin 1800 – a  – cos a .
B. sin 1800 – a   sin a .


C. sin 180

0


– a   sin a . D. sin 180



0



– a   cos a .

Câu 41. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau




A. sin   x   cos x . B. sin   x   cos x .
2

2






C. tan   x   cot x . D. tan   x   cot x .
2

2

Câu 42. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos   x    cos x . B. sin  x     sin x .


C. cos   x    cos x . D. sin   x    cos x .
2

Câu 43. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. sin      sin  . B. cot      cot  . C. cos      cos  . D. tan      tan  .
Câu 44. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin   x    s in x.
B. cos   x    cos x.
C. cot   x   cot x.

D. tan   x   tan x.

Câu 45. Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau.
 3

A. tan 
 x   cot x . B. sin  3  x   sin x .
 2

C. cos  3  x   cos x . D. cos   x   cos x .
Câu 46. cos( x  2017 ) bằng kết quả nào sau đây?
A.  cos x .
B.  sin x .
Câu 47. Giá trị của cot1458 là
A. 1.

cot
Câu 48. Giá trị
A.

C. sin x .

D. cos x .

B. 1 .

C. 0 .

D.

B.  3 .

C.

52 5 .

89
6 là

3.

Câu 49. Giá trị của tan180 là
A. 1 .
B. 0 .
1
Câu 50. Cho biết tan   . Tính cot 
2

3
.
3

C. –1 .

1
1
.
C. cot   .
4
2
Câu 51. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
1 


A. sin 2   cos 2   1 . B. 1  tan 2  
    k , k    .
2
cos  
2

A. cot   2 .

B. cot  

Trang 16 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/

D. –

3
.
3

D. Không xác định.

D. cot   2 .

k
1


,k .
D. tan   cot   1  
  k , k    .
2
2
sin 


Câu 52. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57cm và kim phút dài 13, 34cm .Trong 30 phút mũi kim
giờ vạch lên cung tròn có độ dài là
A. 2, 78cm .
B. 2, 77cm .
C. 2, 76cm .
D. 2, 8cm .
C. 1  cot 2  

Câu 53. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy
đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6, 5cm (lấy   3,1416 )
A. 22043cm .
B. 22055cm .
C. 22042cm .
D. 22054cm .
3

Câu 54. Cho sin   và     . Giá trị của cos là:
5
2
4
4
4
16
A. .
B.  .
C.  .
D.
.
5
5
5
25
4

cos  
0  
5 với
2 . Tính sin  .
Câu 55. Cho
1
1
3
3
A. sin   .
B. sin    .
C. sin   .
D. sin    .
5
5
5
5
cos


1

Câu 56. Tính biết
A.   k
C.  


2

k   .

 k 2

B.   k 2

k   .

 k   .

4
3
   2
5 với 2
Câu 57. Cho
. Khi đó:
4
5
A. sin   
, cos   
.
41
41
4
5
C. sin   
.
cos  
41
41

D.     k 2

k   .

tan   

Câu 58. Cho cos150 

4
5
, cos  
.
41
41
5
4
, cos   
.
D. sin  
41
41

B. sin  

2 3
. Giá trị của tan15 bằng:
2

2 3
C. 2  3
2
2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi
2 

Câu 59. Cho cos          . Khi đó tan  bằng
5 2

21
21
21
A.
.
B. 
.
C.
.
3
5
5
3
Câu 60. Cho tan   5 , với    
. Khi đó cos  bằng:
2
6
6
A. 
.
B. 6 .
C.
.
6
6
3
Câu 61. Cho sin    90    180 . Tính cot  .
5
3
4
A. cot   .
B. cot   .
4
3
4
3
C. cot    .
D. cot    .
3
4

A.

32

B.

D.

2 3
4

D. 

D.

21
.
2

1
.
6

Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/ Trang 17

Câu 62. Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc  sao cho sin  
A.

2 5
.
5

B.

2 5
.
5

C.

2
và cos   0 . Tính tan  .
3

2
.
5

D. 1.

1

và     . Khi đó cos  có giá trị là.
3
2
2
8
2 2
A. cos    .
B. cos  
.
C. cos   .
3
9
3

Câu 63. Cho sin  

Câu 64. Cho cot   3 2 với
A. 2 19 .



    . Khi đó giá trị tan

2
B. 2 19 .



 cot

2
C.  19 .

D. cos   


2

2 2
.
3

bằng:
D. 19 .

3
thì sin 2 bằng
2
5
1
13
9
A. .
B. .
C.
.
D. .
4
2
4
4

1
Cho sin x  cos x  và 0  x  . Tính giá trị của sin x .
2
2
1 7
1 7
1 7
1 7
A. sin x 
.
B. sin x 
.
C. sin x 
.
D. sin x 
.
6
6
4
4
1
Cho sinx = . Tính giá trị của cos2 x .
2
3
1
1
3
A. cos 2 x 
B. cos 2 x 
C. cos 2 x 
D. cos 2 x 
2
4
4
2
3sin x  cos x
Cho P 
với tan x  2 . Giá trị của P bằng
sin x  2 cos x
2 2
8
8
5
A. .
B. 
.
C.
.
D. .
9
4
3
9
1
sin x  cos x
Cho s inx  và cosx nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A 
bằng
2
sin x  cox
A. 2  3
B. 2  3
C. 2  3
D. 2  3
4sin x  5cos x
Cho tan x  2 .Giá trị biểu thức P 
là
2sin x  3cos x
A. 2 .
B. 13 .
C. 9 .
D. 2 .
 
 
 
Cho tam giác ABC đều. Tính giá trị của biểu thức P  cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB .

Câu 65. Nếu sin   cos  

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.



A. P 

3
.
2

3
B. P   .
2

Câu 72. Cho tan a  2 . Tính giá trị biểu thức P 
A. P  2 .

B. P  1 .

C. P  

3 3
.
2

2sin a  cos a
.
sin a  cos a
5
C. P  .
3







D. P 

B.

7
.
32

C.

7
.
33

Trang 18 Facebook Tinh Khiết  https://www.facebook.com/khiet.tinh.902604/...