BÀI TẬP VỀ GƯƠNG QUAY
1. Xác định góc quay của tia phản xạ khi gương quay:
Ví dụ 1: Chiếu một tia sáng hẹp SI vào một gương phẳng. Nếu giữ nguyên
tia này rồi cho gương quay một góc
quanh một trục đi qua điểm tới và vuông
góc với tia tới thì tia phản xạ quay một góc bao nhiêu?
Bài giải:
Khi cố định tia sáng SI, quay gương
N N'
1 góc
thì tia phản xạ quay từ vị trí IR S
R
đến vị trí IR'. Góc quay của tia phản xạ là
góc RIR'
i 
Ta có: RIR' = SIR' – SIR
Mà : SIR' = 2(i + ) và SIR = 2i
=> RIR' = SIR' – SIR = 2(i + ) - 2i = 2
Ví dụ 2: Chiếu một tia sáng hẹp SI vào một
gương phẳng. Nếu giữ nguyên tia SI rồi cho gương
quay một góc quanh một trục đi qua điểm ở đầu
mút O của gương thì góc quay của tia phản xạ tính
O
như thế nào?
Bài giải:
Xét
, ta có:
II'R' = 2i' =

+ JII' =

R'



+ 2i (tính chất góc

I
N

S



N'
I

i'

β

R'

I'

J

ngoài của tam giác)
=>

R

i



= 2i' – 2i = 2(i' – i) (*)

Mặt khác, xét

O'

O'II', ta có:

II'N = i' = + O'II' = + i
Thay i' = + i vào biểu thức (*) ta được:
= 2(i' – i) = 2( + i – i) = 2
KL: Khi quay gương phẳng một góc quanh một trục quay bất kỳ vuông
góc với tia tới thì tia phản xạ quay một góc 2 và có cùng chiều quay với
gương.
Bài 1: Có một gương phẳng đặt nằm ngang. Chiếu một tia sáng SI tới
gương sao cho SI hợp với mặt gương một góc 30 0. Để được tia phản xạ có phương
nằm ngang, cần quay gương một góc bao nhiêu so với vị trí ban đầu ? Trục quay
của gương nằm trong mặt phẳng gương và vuông góc với mặt phẳng tới. Tia tới SI
cố định.
N H
M
P
Bài 2: Hai chú kiến 1 và 2 đang ở vị trí A và
B cùng hướng mặt vào bức tường, cách bức tường
một đoạn AH = BP = 60 cm. Giáp tường đặt một
gương phẳng MN như Hình 2. Cho MP = 60 cm và
MH = 30 cm.
A

Hình 2

B
1

a) Nếu chú kiến 1 bò thẳng về phía gương với vận tốc 1 cm/s theo phương
vuông góc với gương, còn chú kiến 2 vẫn ở B thì sau bao lâu hai chú nhìn thấy
nhau qua gương?
b) Trong trường hợp hai chú kiến vẫn ở vị trí A và B thì phải quay gương
quanh M một góc nhỏ nhất là bao nhiêu để hai chú nhìn thấy nhau qua gương?
Bài 3: Cho hai gương phẳng G1 và G2 đặt hợp với nhau một góc 300 và một
điểm sáng S nằm trong khoảng giữa hai gương.
1. Nêu cách vẽ và vẽ đường đi của một tia sáng phát ra từ S tới gương G 1 ở
I, phản xạ tới gương G2 ở J rồi truyền tới S ?
2. Giữ nguyên gương G1 và phương của tia tới SI, quay gương G 2 quanh
giao tuyến của hai gương một góc bao nhiêu để tia phản xạ đi ra từ G2 :
a. Vuông góc với phương của tia tới SI.
b. Song song với phương của tia tới SI.
2. Xác định quỹ tích của ảnh của một điểm sáng khi gương quay:
Ví dụ 3 : Một điểm sáng S đặt trước gương phẳng G như hình vẽ. Nếu quay
gương quanh O về phía S một góc
thì ảnh của S sẽ di chuyển trên đường có
hình dạng như thế nào? và dài bao nhiêu. Biết SO = l.
G2
Áp dụng bằng số : = 300, l = 10 cm.
S
Bài giải :
Vì ảnh S' của S đối xứngvới S
H'
qua gương G1 nên khi gương ở vị trí OG1
S''
ta có SH = S'H => OS = OS' và SOH = S'OH
O
H

hay SOS' = 2 SOH (1).
Nếu gương quay đi một góc

về phía S

G1

S'

thì ảnh S'' của S cũng đối xứng với S qua gương G2 nên ta có :
SH' = S''H'
=> OS = OS'' và SOH' = H'OS'' hay SOS'' = 2 SOH' (2)
Vì vậy khi gương quay quanh O ta luôn có :
OS = OS' = OS'' = OS''' = ...
(Trong đó S', S'', S'''... là ảnh của S qua gương khi gương quay quanh O). Hay
khi gương quay quanh O thì ảnh của S qua gương chạy trên cung tròn tâm O bán
kính OS = l.
Từ (1) và (2) ta suy ra :
SOS' - SOS'' = S'OS'' = 2 SOH - 2 SOH' = 2 .
Vậy khi gương quay quanh O thì ảnh của S qua gương chạy trên cung tròn
tâm O bán kính OS = l và góc ở tâm là 2 = S'OS'' do đó độ dài cung tròn S'S''
là: S'S'' =
Áp dụng bằng số :

= 300 => 2

= 600

=> S'S'' =
2

S

Ví dụ 4: Một bóng đèn S đặt cách một tủ gương 80 cm và nằm trên trục của
mặt gương. Trục gương cách bản lề O: 60cm.
S
a) Một người đặt mắt tại M trước gương.
Vẽ đường đi của tia sáng Otừ S đến gươngI rồi phản xạ qua M.
b) Quay cánh tủ quanh bảnαlề một góc 300.
M
'
β
Ảnh S của S di chuyển trên quỹ đạo nào.
O
I
Tính quãng đường đi của ảnh.
Bài giải:
S x
a) Vẽ đường đi của tia sáng:
- Gọi S/ là ảnh' của S qua gương (G),
S1' tia phản
S2
xạ qua M phải có đường kéo dài qua S/ .
M
- Cách vẽ:
I
O
+ Lấy S/ đối xứng S qua (G).
J
+ Nối S/ với M cắt (G) tại J: J là điểm tới.
+ Nối S với J.
Ta có SJM là đường đi của tia sáng.
S
b)
- Quĩ đạo của ảnh:
S'
+ S/ đối xứng S qua (G) nên: OS/ = OS = R.
+ Khi gương quay: S/ luôn cách O cố định một
đoạn không đổi do đó S/ di chuyển trên
cung tròn tâm O bán kính R (từ vị trí S'đến S'')
I
với R = OS =
=
= 100 (cm)
O
- Quãng đường di chuyển của ảnh:
α
+ Ta có: S'SS'' =

, S'OS'' =

β

=2

( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).
+ Chiều dài cung tròn S'S'' là:
S'S'' = R= .100 104,7 (cm)

S'

S''

+ Vậy quảng đường di chuyển của ảnh là: 104,7 (cm)
Kết luận: Một điểm sáng S cố định đặt trước 1 gương phẳng nào đó. Khi
cho gương quay quanh một điểm cố định O thì ảnh của S qua gương sẽ chạy
trên đường tròn tâm O, bán kính OS.
Từ bài tập trên ta phát triển, vận dụng để giải bài tập khó hơn như sau :
Ví dụ 5: Trên hình vẽ sau : S là một điểm
S
sáng cố định nằm trước 2 gương phẳng G1 và G2.
S
G1
G2
G2
G1 quay quanh I, G2 quay quanh J (I và J cốGđịnh).
x
1
b J
I a
x
Biết SIJ = , SJI = . Gọi ảnh của S qua G1 là S1,
S2
S1
qua G2 là S2. Tính góc hợp bởi mặt phản
xạ của
J
I
j
hai gương sao cho S1S2 là :
a, Nhỏ nhất
3
O

b, Lớn nhất.
Bài giải :
Theo kết quả bài trên
khi gương G1 quay quanh I
thì ta luôn có IS = IS1 hay
ảnh S1 luôn cách đều I (vì S, I
cố định nên IS không đổi). Hay
khi đó S1 chạy trên đường tròn tâm I bán kính IS.
a, S1S2 sẽ nhỏ nhất khi S1S2 = O hay S1 = S2.
Khi đó mặt phẳng 2 gương trùng nhau, do đó góc hợp bởi 2 gương = 1800
b, S1S2 lớn nhất khi S1 và S2 nằm ở hai đầu đường nối tâm của hai đường
tròn khi đó I và J là hai điểm tới của tia sáng trên gương (hình vẽ) hay SI là tia tới
G1 và IJ là tia phản xạ ở G1 và là tia tới G2. Gọi giao điểm của đường kéo dài 2
gương là O thì: JIO = 900 –

và IJO = 900 –

.

Do đó góc hợp bởi 2 gương là :
= 1800 - JIO - IJO
= 1800 – (900 –

) – (900 –

) hay

3. Vận dụng mối quan hệ giữa góc quay của gương với góc quay của tia
phản xạ để giải bài tập nâng cao về gương phẳng khi gương quay:
Ví dụ 6: Một gương phẳng phản xạ ánh sáng mặt trời lên trần nhà (có dạng
vòm tròn, tâm tại gương) tạo ra một vệt sáng cách gương 6 m. Khi gương quay
một góc 200 (quanh trục qua điểm tới và vuông góc với mặt phẳng tới) thì vệt sáng
dịch chuyển trên vòm (trần nhà) một cung có độ dài bao nhiêu?
Bài giải:
Chứng minh bài toán phụ: gương quay 1 góc α quanh trục qua điểm tới và
vuông góc với mặt phẳng tới thì tia phản xạ quay một góc 2α.
Khi cố định tia sáng SI, quay gương
N N'
1 góc
thì tia phản xạ quay từ vị trí IR S
R
đến vị trí IR'. Góc quay của tia phản xạ là
góc RIR'
i 
Ta có: RIR' = SIR' – SIR
I

=> RIR' = SIR' – SIR = 2(i + ) - 2i = 2
Như vậy khi quay gương một góc
= 400 ứng với đường tròn:
Chu vi đường tròn là:

R'



Mà : SIR' = 2(i + ) và SIR = 2i

= 200 thì tia phản xạ quay đi một góc 2

đường tròn.

C = 2 .r = 2.3,14.6

37,68(m)
4

Vệt sáng đã dịch chuyển một cung dài: l =
KL: Phương pháp giải bài tập nâng cao về gương phẳng khi gương quay đó
là phải chứng minh bài toán phụ: Gương quay 1 góc α tại trục quay bất kỳ nằm
trong mặt phẳng gương, vuông góc mặt phẳng tới thì tia phản xạ quay một góc 2α.
Từ đó vận dụng để giải bài tập.
Để rèn luyện kĩ năng tôi yêu cầu các em làm các bài tập sau :
Bài 1 : Hai gương phẳng AB và CD cùng chiều dài L (cm), đặt thẳng đứng,
song song, hai mặt sáng quay vào nhau, cách nhau d = L/3. Điểm sáng S nằm trên
đường AC vuông góc 2 gương, cách đều các mép A và C.
a. Nêu cách vẽ đường đi của tia sáng xuất phát từ S gặp gương AB tại I,
phản xạ gặp gương CD tại K và tiếp tục phản xạ tới gương AB tại B. Tính độ dài
đường đi SIKB của tia sáng .
b. Giữ nguyên vị trí hai gương và S, giả sử độ dài hai gương rất lớn. Xét tia
sáng SM xuất phát từ S tới gương AB và lập với gương một góc 60 0. Cho gương
AB quay một góc α rất nhỏ quanh trục vuông góc mặt phẳng tới, sao cho đầu A lại
gần gương CD, để tia phản xạ trên gương AB chắc chắn không gặp gương CD thì
gương CD phải quay quanh trục vuông góc mặt phẳng tới đi qua C một góc có giá
trị là bao nhiêu?
Bài 2 : Hai gương phẳng AB, CD đặt vuông góc với mặt đất, quay mặt phản
xạ vào nhau, cách nhau 1 khoảng BD = a, CD có chiều cao CD = H. Nguồn sáng
điểm S đặt cách mặt đất 1 khoảng h và cách AB một khoảng b.
1, Xác định chiều cao tối thiểu
C
(tính từ mặt đất) của gương AB để tia
A
S
H
sáng tới từ S đến AB sau khi phản xạ
b
sẽ đi đến mép C của gương CD
h
2, Quay gương AB quanh điểm B một góc
B
D
sao cho tia tới từ S đến vuông góc với AB khi
phản xạ sẽ đi qua C. Tính ?
Áp dụng số: H = 1,8 (m); h = 0,8 (m); a =
(m); b =
(m).
Bài 3 : Cho hai gương phẳng G1 và G2 đặt hợp với nhau một góc 300 và một
điểm sáng S nằm trong khoảng giữa hai gương.
1. Nêu cách vẽ và vẽ đường đi của một tia sáng phát ra từ S tới gương
G1 ở I, phản xạ tới gương G2 ở J rồi truyền tới S ?
2. Giữ nguyên gương G1 và phương của tia tới SI, quay gương G2 quanh
giao tuyến của hai gương một góc bao nhiêu để tia phản xạ đi ra từ
G2 :
a. Vuông góc với phương của tia tới SI.
b. Song song với phương của tia tới SI.
Câu 3: (5,0 điểm) Một người cao AB = h = 1,6 m đứng trước gương phẳng OM. Khi
gương đặt thẳng đứng người đó thấy dù đứng ở vị trí nào cũng nhìn thấy gót chân mình
qua gương. Bỏ qua khoảng cách từ mắt tới đỉnh đầu.
B
a. Tìm chiều cao của gương.
M5
M
'
A

O

b. Nếu người đó đứng cách gương một khoảng OA=a =4 m và
gương nghiêng một góc M'OM =
thì người đó thấy ảnh của
đỉnh đầu qua gương. Tìm
c. Gương vẫn nghiêng góc
như trên, muốn vừa đủ nhìn thấy
gót chân mình qua gương người đó phải đứng ở vị trí thỏa mãn
điều kiện nào? Khi đó khoảng cách của người và mép dưới O của
gương là bao nhiêu?
Giải

a/ (1,5 đ)- Vẽ ảnh
A'B' của AB tạo
bởi gương phẳng
như hình vẽ a.
Ta có O là trung
điểm của AA' và
OM//AB suy ra

OM là đường trung bình của tam giác A'AB
Vậy gương có chiều cao 0,8 m
B
'

B
M

O

A

M

B
A

M
'

O
B
'

A'

A
'

Hình b

Hình a
O

b/ (2,5 đ)Hình vẽ b:
'
Để mắt chỉ nhìn thấy ảnh của đỉnh đầu qua gương thì BB' vuông góc với mặt
gương tại O là mép dưới của gương.
- Do ảnh luôn đối xứng với vật qua gương nên đường kéo dài của AB, OM', và
A'B' gặp nhau tại O'
- Ta có:
- Xét tam giác vuông O'OB có
- Do OM// O'B suy ra:
c/(1 đ) Muốn vừa đủ nhìn thấy gót
chân mình qua gương thì người
đó phải đứng ở vị trí sao cho A, O
và B' là 3 điểm thẳng hàng nghĩa
là tia AO có phương đi qua B' là
ảnh của B thìgương OM' cho tia
phản xạ truyền tới B
- Xét tam giác vuông BKO'' có
Suy ra: AB' = AB. tan
= 1,6.tan
= 4 (m)
-Ta có:

B

I

A

K
O

B
'

O''

6

Vậy:
- Khoảng cách từ người đến mép O của
gương là: AO = AB.tan
AO = 1,6 . tan
= 1,68 (m)

7